B>1, A<BX

Supposons que la première de ces inégalités, qui ne contient pas X, se vérifie d’elic-méme, on satisfera à la deuxième par une infinité de valeurs de x\ car, on en tire :

NOTE

x = l’exposant de toute puissance de 10, qui, multipliée par B, donne un produit >A.

De foutes ccs valeurs de x, il convient de prendre la plus petite, parce que A’ cl B' contiendront, dans ce cas, le plus petit nombre possible de décimales.

Après avoir trouvé la valeur de a?, tpii vérifie l'inégalité [3], cl, par suite, Q' — 0<1, il faut remarquer que, dans celle

dernière inégalité, Q' et Q sont les quotients complets de g;

et de ni m»'» if ‘f® prendre la partie entière de Q'; en B

effet, soient E' la partie entière, et » la fraction qui eoinposent Q'; représentons de plus par A la différence Q' — Q, on aura A<1, et il viendra:

Substituant cette valeur de Q’ dans [7], on aura :

d’où l’on tire : ,

Puisque l’on a A<1, w-<l, on a , à fortiori A — oxCI. L’égalité [8] prouve donc que E' est 1a valeur de Q , approchée , à une unilé près, par excès ou par défaut; car, on ne sait pas si l’on a :

A — ou <0.

L’égalité [7] suppose Q’>Q. Si l’on avait Q>Ü', on poserait Q — ^ = A, et en substituant à Q' sa valeur:

Q — E' — o)=A, d’où Q — E' = A-l-(o.

Cette égalité montre que E' serait la valeur de Q , approchée à moins d'une unité, si l’on avait A-j-w-<l. Pour le savoir, il faut remonter à l’égalité [!}, qui, après aroir changé les signes des deux membres, devient :

« B- — B'xiO*'