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z; CO eo

MCLTIPLICATION. 45

68. REMARot’E. On peut se dispenser d’effectuer à part lesmulliplications partielles, ainsi qu’on le voit ci-après.

MuIUpIicande... j MullipUcaleur . . |

Produits partiels

du multiplicande

-i-Sab

+4ab‘

ali*

-rSab

— tb*

Produits partiels I

du multiplicande I

— ta’b'

— 2ob*

— tb*

So*

Produit total. . . t

— 5ab*

+ iab‘

—ah'

— tb*

Propriétés du produit de deux polynômes.

60. 1° Si deu.\ polynômes sont ordonnés par rapport aux puissances descendantes, par exemple, d’une même lettre, le produit du premier terme du multiplicande, par le q)remier terme du multiplicateur, est un terme du produit cherché, qui renferme la lettre principale avec un exposant plus grand que dans tous les autres ; au contraire , le produit des deux derniers termes est un terme qui renferme la lettre principale avec un exposant , plus petit que dans tous hîs autres; en conséquence, le premier et le dernier terme d'un produit de deux polynômes respectivement ordonnas par rapport à une même lettre , proviennent, sans réduction, l’un, du produit des deux premiers, et l’autre du produit des deux derniers termes du multiplicande et du multiplicateur.

Il résulte de là que le produit de deux polynômes quelconques, ne peut jamais renfermer moins de deux termes. (Ces termes sont dits termes irréductibles.) Quant au >naa;:mu>n du nombre des termes , on remarquera qu’il est mx« ; »» et n désignant respectivement le nombre des termes du multiplicande et du multiplicateur.

2« Le produit de deux polynômes homogènes est un poly-

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MVLTIPUCATION.

nome homiogène dont le degré est la sonmie des degrés des deux facteurs.

3* Le produit de deux polynômes non homogènes est un polynôme qui ordinairemcnl n’csl pas homogène, mais le degré du produit est encore égal à la somme des degrés des deux facteurs.

De quelques multiplicalions remarquables.

Nous terminerons ce chapitre par trois multiplications qui établissent des théorèmes d'un usage fréquent :

a' — ba — aô+ô-

o* — iab-\-U‘

a*-j-6a — ba — ¥

En conséquence ,

70. Le carré de la somme de deux quantités se compose du carré de lapremière) du double produit de la première par la seconde et du carré de la seconde.

71. Le carré de la différence de deux quantités se compose du

carré de la première ; du double produit de la première par la seconde et du carré de la seconde. '

72. Le produit de la somme de deux quantités par leur diffc' rencc est égal à la diHérence des carrés de ces quantités.

Rbmarqob. Ce dernier principe permet souvent d’abréger la multiplication. Si l’on avait, par exemple, à multiplier a*-f-2a6+ ¥ par a’ — 2aô-}-6’, on observerait que cela revient à multiplier (a* + ¥) -\-1ab par (a’ -f- ¥) — 2o6 , ce qui donne la différence des carrés , c’est-à-dire a*— 2a’à*-fà*.

DIVISION