CHAPITRE V

DmSICHV.

SOHMAiaE.

75. Dé6nition delà division algébrique. — 74. Division des monomes. — 74 bû. Règle pour diviser deui monomes. — 78i Trois cas d’impossibi- Mlités. Fraction algébrique. — 76. Exposant zéro. — 77. Division d'un polynôme par un monome. Règle des signes. —78. Cas où le polynôme dividende n’est pas divisible par le monome diviseur. — 78. Division de deux polynômes. Remarques. — 80. Remarque. — 8 1 . Règle pour diviser deux polynômes. Application. —82. Cas d’impossibilités. — 82 bis. Remarques diverses sur la division. — 83. Division des polynômes dans le cas où les coefficients de lalettre principale sont eux-mémes des polynômes.

— 84. De quelques divisions remarquables. Division de x* a*,

x' — a*....xr~a" parx— O. Méthode d’induction. Vérification par là multiplication. Méthode par la division prolongée. Méthode par la division non prolongée. — 84 bis. Principe relatif à la division de x“ — a“

par X — a. — 88. Division de .r“-|-o" par x-f-o; de x" o“ par

x-f-o;de x“-fa“ par x— o. — 86. Preuve des quatre règles. — 87. Exercices.

73. La division algébrique a pour but de trouver une quantité appelée quotient qui, multipliée par une autre quantité appelée diviseur, reproduise une autre quantité donnée appelée divittende, quelles que soient les valeurs des lettres que l’on considère.

Division des monomes.

74. Le quotient de la division de deux monomes ne peut être qu'un monome, car un monome multiplié par un polynôme donnerait pour produit un polynôme (69).

Kuiipli. Soit à diviser 48a’éVd par tia*bl>c. D’après la règle ^ de la multiplication des monomes , nous dirons :

I* Le coettlcient 48, du dividende, doit être leprodaitda coefficient 12, du diviseur, par le coefficient inconnu du quo-

Digilized by Googic

DIVISION

tienl; donc, pour obtenir ce coefficient du quotient, on divi> sera 48 par 12, ce qui donne 4.

2° L'exposant d'une lettre du dividende doit être la somme , des exposants de cette môme lettre au diviseur et au quotient; donc pour connaître l’exposant de la lettre a, commune au dividende et au diviseur, il suffit de retrancher l’exposant 4 de l’exposant 7, ce qui donne a’.

3° La lettre b a le même exposant au dividende et au diviseur; donc, elle ne peut entrer dans le quotient , car, autrement, ce quotient^ multiplié par le diviseur, reproduirait la lettre b avec un exposant plus grand que son exposant dans le dividende.

4° Enfin, le facteur c’, se trouve dans le dividende sans que la lettre e entre dans le diviseur; ce facteur doit donc venir tel qu’il est du quotient.

On trouve ainsi 4aV pour le quotient demandé. En conséquence,

74 bis. IlÈGLE. Pour diviser deux monnmes l'un par l'autre, on divise te coefficient du dividende par le coefficient du diviseur; on écrit au quotient les lettres communes avec un exposant égal à l'excès de l’exposant de cette lettre au dividende sur son exposant au diviseur; on supprime les lettres communes ; enfin , on écrit avec leurs exposants respectifs les lettres du dividende qui n’entrent pas dans le diviseur.

Cas d’impossibilités.

78. La règle précédente a été établie dans la supposition qu’il existait un monome entier, qui, multiplié par le diviseur, reproduisait le dividende; celte condition ne sera remplie dans aucun des cas suivants ;

1° Lorsque le coefficient du dividende ne sera pas un multiple du coefficient du diviseur, car alors on ne pourra pas trouver pour le quotient un coefficient entier.

2" lorsque le dividende renfermera une lettre avec un exposant moindre que celui qu'elle a dans le diviseur; car si l’on ne mettait pas celle lettre au quotient, le produit du diviseur par le quotient la renfermerait avec un exposant trop grand, et à plus forte raison si on la mettait au quotient avec un exposant quelconque.

DIVISION

3» Lorsque le diviseur renfermera une lettre qui n'entre pas dans le dividende; car le produit du diviseur par le quotient renfermerait cette lettre avec un exposant au moins égal à son exposant dans le diviseur, et ne pourrait, par conséquent, être identique avec le dividende.

Dans chacun de ces cas d’impossibilités, on indiquera la division proposée, comme en arithmétique, par une fraction dont le reste est le numérateur, et le diviseur le dénominateur ; après quoi, s’il y a lieu, on en simplifiera la valeur, ainsi que nous apprendrons bientôt à le faire dans les cas les plus simples.

Applications.

48o’éVd : 13a‘ô*c

48a'6Vd

48oWd: 12a»ô*c

48<i’6’c’rf

48a’6*c*d ; 12a‘6’ce

AiaWc'd 12o*6*ce '

76. RsMARQnB. Si on avait à diviser a" par o", et qu’on suivit la règle des exposants , on aurait a" ; mais , d’autre part , a" : a" = 1 ; par suite il est permis , pour conserver l’analogie des exposants, de convenir que o° = 1 ; ainsi , il ne faut pas confondre o' avec a.

Un momme n’étant jamais divisible par un polynôme, on se contentera d’indiquer la division quand une pareille opération se présentera.

Division d’un polynôme par un monome.

77. Exiuplb. Soit à diviser le polynôme 6a*6 — Aabe -f- 8aôd — 12aô’ par le monome 2ab.

Le quotient de cette division est un polynôme ; d’ailleurs ce polynôme est tel, que, multiplié par le monome diviseur, on reproduit terme pour terme le polynôme dividende. Cela posé, puisque chaque terme du dividende est le produit exact du diviseur par un terme du quotient, pour avoir ce terme il suffit

50 ' DITISIOS.

de faire la dirision de deux raonomes; mais ici ü ÿ a «ne précaution de plus à prendre; comme ces monomes font partie d’un polynôme , il faut avoir égard à la règle des signes de la multiplication.

Si le terme que l'on divise a le signe le quotient doit avoir le même signe que le diviseur, parce que le produit a le^igne -f quand les deux facteurs sont de mêmes signes.

Si le terme à diviser a le signe — , il faudra donner au quotient un signe contraire à celui du diviseur, parce que le produit à le signe — quand les deux facteurs sont de signes contraires.

D’après cela, le quotient cherché est

78. Remarque. La division d’un polynôme par un monome n’est pas possible si le diviseur ne divise pas exactement un ou plusieurs termes du dividende ; dans ce cas on fait toutes les divisions possibles , et on se contente d’indiquer, sous forme fractionnaire, celles que l’on ne peut pas exécuter.

Exemple.

24a*b-4abc-{-î lqbd—15ab‘ : 2aù = 12a— 2o +

Division de deux polynômes.