Occupons-nous maintenant de la division de deux poly

nômes , et pour plus de simplicité, ordonnons-les, comme dans la multiplication, suivant les puissances ascendantes ou descendantes ; descendantes , par exemple , d’une même lettre , et concevons que le polynôme cherché soit ordonné de la même manière. ,

Exemple. Soit à diviser le polÿnome

2a‘ — 13ôa> + 31 6*a* — 38é’a + 246‘ par le polynôme 2o* — 36a + 4b'.

Le dividende proposé est supposé le produit exact du diviseur par un polynôme entier; donc, d’après le n" 60, le premier • terme 2a^ du dividende provient sans réduction du premier

mVISKM.

Si

terme 3a* du diviseur par le premier terme du quotient; par suite, four avoir U premier terme du quotient, on divisera lepre^ mier terme du dividende par le premier terme du diviseur. Exécutons cette division.

Sa» — ISrf'ô + 31a*6* — 38oi> -f 246* ( Sa» — 36a •4-46»

- — 10o»6 + 27o*6* 38aô’ + 246*

2a* divisé par Sa*, donne a* pour quotient que l’on écrit ; comme le dividende est b produit du diviseur par le quotient cherché , il est la somme des produits partiels de ce diviseur par chacun des termes du quotient ; si donc on fait le produit du diviseur par le premier terme du quotient, et qu’on le retranche du dividende, le reste ne renfermera plus que la somme des produits du diviseur par chacun des autres termes du quotient, et seru par conséquent le produit du diviseur par la partie encore inconnue du quotient.

Pour effectuer cette double opération ( multiplication et sous- * traction), on multiplie le diviseur par le terme a* écrit au quotient, et pour soustraire on écrit chaque produit sous le terme correspondant du dividende, en ayant soin de changer son signe; après quoi on fait la réduction. On obtient ainsi

Ce reste est, en vertu du raisonnement précédent, le produit exact du diviseur par la partie inconnue du quotient; on connaît donc encore un produit et l’un de ses facteurs; par suite, pour obtenir la partie restante du quotient, il suffit de diviser tout le reste par le même diviseur, ce qui ramène l’opération à une opération de même genre que la précédente, mais plus simple, puisque le nouveau quotient a un terme de moins.

Pour avoir le premier terme de ce quotient, c’est-à-dire le second terme du quotient de la division proposée, on divisera, d’après les mêmes raisons que précédemment, le premier terme du nouveau dividende par le premier terme du môme diviseur; mais ici, comme au premier cas, il faut avoir égard à la règle des signes de la multiplication des polynômes.

Si le premier terme du dividende actuel a le signe -j- , le quotient aura le même signe que le premier terme du diviseur.

DIVISIQI7.

Si le premier terme a le signe — , le quotient aura un signe contraire au signe du premier terme du diviseur.

— 10o>6 + 27a‘6‘ — 38a6> + 246‘ — 3afe + 46»

1 06«* — 1 56’a* + 206’a ( — bab

+ 12a'ô‘ — 18aô‘ + 246‘

En exécutant l'opération on trouve — bab pour quotient , et 12a*6* — 18a6’ + 246* pour reste; ce reste est le produit exact du diviseur par la partie encore à déterminer dans le quotient cherché ; pour obtenir le premier terme de ce quotient, c’est-àdire le troisième terme du quotient total, on divise 12a'6» par 2a».

12a»6>— I8a6»-t-246‘ (2a^ — 3ab + Al/

— 12a»6«-f I8ay — 246* (66»

On trouve 66* pour quotient, et 0 pour reste; en conséquence, la division est terminée, et le quotient cherché est le polynôme

à} — bab + 6b*.

En général, chaque terme du quotient de la division de deux polynômes ordonnés , se détermine successivement en qualité de premier terme d’une certaine division dans laquelle le quotient doit .avoir un terme de moins que dans la division précédente. Un finira ainsi par arriver à une division où le premier terme du quotient sera en même temps le dernier; là se terminera le quoticut , et en retranchant le produit du diviseur par ce dernier terme , un aura 0 pour reste , et toute l’opération sera terminée.

Remarques.’'!. Dans la pratique, on réunit les opérations partielles, comme on le voit ci-après :

— 2a' 3a»6 — 4o’6» ( a» — bab -j- 66»

— iOo’6-l-27a»6» — 38a6» -1-246' ' ‘ "

-j- 1 Oa*6 — 1 5o»6» -f- 20a 6»

— 12o»6» -(- ISafr» — 246*

DIVISION

En conséquence,

2o‘ — ISo’ô + 3J a»6’ — SSaô» + 246* 2o* — 3o6 + 4é*

n* — 5ah -|- ùl>‘.

Application nlmériqi'E. a = 20, 6 = 2.

Soient D , et 9 le dividende , le diviseur et le quotient , on aura successivement :

D = 2 XtaO)*— 13 X 2 X (20y+ 31 X(2)*X(20)*— 38X(Î)’X20 + 24 X(2)‘= 155904

D’autre part, g = (20)* — 5 X 2 X 20 + 6 X (2)*= 224.

II. On voit par la division précédente que si, pour diviser 246‘ — 386*0 +276*0* — 106o* par 46* — 36o + 2o’, on ordonnait les deux polynômes suivant les puissances descendantes de o, auquel cas le premier terme du dividende serait — 106o*, on aurait pour quotient — 56o + 66’; le premier ternie du dividende, provenant toujours du produit du premier terme du diviseur par le premier terme du quotient , le raisonnement serait le même que si l’on divisait

246‘ — 386*0 + 276*0* — 106o* par 46’ — 36o + 2o*;

on obtiendra le même quotient dans les deux cas; toutefois, les termes n’étant pas écrits dans le même ordre , la substitution de l’un des quotients à la place de l’autre ne serait présentement permise qu’à la condition de ne pas introduire de soustraction’ impossible.

80. Reharqds. Nous avons vu que la règle des signes de la division des polynômes est une conséquence nécessaire de celle de la multiplication; cette règle s’énonce ainsi qu’il suit ;

+ divisé par + donne +

+ divisé par — donne —

— divisé par + donne —

— divisé par — donne +.

by Gijugk

DIVISION

Plus brièvement encore, on sous-entend le mot ditiUé, et l’on , (lit simplement :

-f par -f donne + par — donne —

— par -1- donne — , '

— par — donne ■ >

81. Règle. Pour trouver le quotient de la division de deux polynômes, on les ordonne par rapport à une meme lettre; on divise le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur, et l’on écrit le résultat au quotient ; on retranche du dividende le produit du diviseur par te terme écrit au quotient, \ ce qui donne le premier reste ; on ordonne ce reste de la mime manière que l’on a ordonné le dividende ; on divise le premier terme de ce reste par le premier terme du diviseur, ce qui donne le second terme du quotient , et ainsi de suite.

Quant à la régie des signes , te terme du quotient est de mime signe, ou de signe contraire, que le premier terme du diviseur, suivant que le terme du dividende a le signe -}- ott le signe — .

Application. Diviser Ac^ — 9ft*c* -f- Qlfc — ô* par Sc* — 36r -f l?.

4c‘ — 9&’c’ 4- &l/c — f2c» — 36e4-y — Gif* — 26*c’ (2c*-(-3&c — V*

— 66r’-|- 96V — SA’c

Expliquons cette division telle qu’on la fait dans la pratique.

(On divise le premier terme du dividende par le premier • terme du diviseur.) par + donne -f- ; 4c‘ par 2c* donne 2c* (que l’on pose au quotient en omettant le sifçne -[-) i (on multiplie le diviseur par 2c*, et l’on écrit les termes de ces produits sous le dividcniie en changeant leurs signes) par -f- donne -j- , et par soustraction — ; 2c* par 2c* donne 4c* que l’on écrit (ce qui fait — 4c*) — par -f- donne et par soustraction -f; 36c

DIVISION

par 2c* donne 6i»c* que l’on écrit (ce qui fait + par +

donne +, et par soustraction — ; 6’ par 2c’ donne 26*c*que l’on écrit (ce qui fait — 26V); on réduit et l’on opère dans la deuxième division partielle comme d.ins la première.

Remaroi'e. Comme le premier terme du dividende et de chaque dividende partiel, est détruit par la multiplication du premier terme du diviseur par le terme écrit au quotient, on se di pense d’écrire le terme qui lui est semhlahle; dans la pratique, on barre ce premier terme au fur et à mesure que l’on forme le reste pour continuer la division.

Des cas d'impossibilités dans la division des polynômes.

02. La règle prescrite au n“ 81 conduit ?i la détermination du quotient toutes les fois que le dividende est le produit exact du diviseur par un polynôme entier; mais, si on en fait l’application b deux polynômes qui ne sont jias divisibles l’un par l'autre, on en sera averti par l’impossibilité qui se manifestera dans une division partielle. En effet, on ne trouvera pas zéro pour reste ; car si le reste final était nul , comme on y serait parvenu après avoir retranché successivement du dividende les produits partiels du diviseur par chacun des termes mis au quotient, il faudrait en conclure que le dividende est le produit exact du diviseur par un polynôme entier, ce qui est contraire à la supposition.

Cela posé, deux cas sont à distinguer ;

1" Cas. Le dividende et le diviseur sont ordonnés par rapport aux puissances descenda.mes de la lettre principale.

D’abord, l’impossibilité est manifeste si dans l’une des divisions partielles le coefficient du premier terme d’un dividende n’est pas divisible par le coefficient du premier terme du diviseur, ou bien encore si une lettre se trouve dans le premier terme du diviseur sans être dans le premier terme du dividende partiel , ou encore si le premier terme du diviseur renferme une lettre avec un exposant supérieur à celui qu’elle a dans le premier terme d’un div idende partiel ; si aucune de ces impossibilités ne se présente on continue l’opération ; mais alors comme le premier terme du dividende proposé et celui dc.cha-

DIYISIO^.

Clin des dividendes partiels disparaissent successivement dans la rédudion , le dcfiré de chaque reste , par rapport à la lettre principale, est toujours moindre au moins d'une unité que le de^rc du reste précédent ; donc on finira par arriver 5 un reste dont le premier terme renfermera la lettre principale avec nii exposant moindre que l’exposant de cette lettre dans le premier terme du diviseur, ce qui rendra la division partielle impossible.

Quelquefois l’impossibilité se manifestera sans pousser la ilivision aussi loin; à cet effet remarquons que si l’opération prol»osée était possible, le dernier terme du dividende serait le produit exact du dernier terme du diviseur par le dernier ternie du quolient cherché , en sorte que , dans ce cas , Vexposant de la lettre principale dans le dernier terme du quotient serait égal à la différence des exposants de la même lettre dans les derniers termes du dividende et du diviseur, tandis que dans chacun des précédents Vexposant de la lettre principale serait plus grand. On sera donc averti de l’impossibilité de la division proposée quand on sera conduit h mettre au quotient un terme où cette lettre principale sera affectée d’un exposant plus petit que la différence des exposants de cette lettre dans le dernier terme du dividende et dans le dernier terme du diviseur ; on peut même s’arrêter quand on trouvera au quotient un terme où l’exposant de In bdtre principale sera égal à la différence énoncée ci-dessus sans que le lesle correspondant à ce terme soit nul.

•2' Cas. Si le dividende et le diviseur sont ordonnés suivant les puissances ascendantes de la lettre principale, l’impossibilité de la division pourra se manifeslcr comme dans le premier ca.s par l’impossibilité de diviser le premier tenue d’un des dividendes successifs par le premier terme du diviseur; toutefoi-i remarquons que comme le degré des restes, par rapport à la lettre principale, va en augmentant d’une division à l’autre, l’impossibilité de la division du premier terme d’un reste par le premier terme du diviseur ne sera jamais due à cette lettre principale; mais alors si celle impossibilité ne s’est jias présentée .à la première division elle-même, elle sera évidente dès qu’on sera conduit à mettre au quolient un terme qui renferme celt<* lettre avec un exposant plus grand que la différence des expo-

DIVISION

sanls dont il esl affeclé dans les rfermers lermes du dividende et du diviseur, car on ne pourra pas , à partir de là, trouver au quotient un terme qui , multiplié par le dernier terme du diviseur, reproduise exactement le dernier terme du dividende.

Co.NsÉüi'ENCES. Un polynôme n’est pas divisible par un autre polynôme , quand pour l’iine quelconque de ses lettres le terme du dividende où cette lettre a le plus fort (ou le plus faible) exposant, n’est pas divisible par le terme du diviseur où elle a de même le plus fort (ou le plus faible) exposant.

(La même observation s’applique aux divisions successives.)

A plus forte raison, un polynôme n’est pas divisible par un autre polynôme quand le diviseur contient une lettre qui ne se trouve pas dans le dividende.

Exemples.

2x»-f9a:*-|-15ar-|-8 f *Mi3£±2 — 6x* — Ax ( 2x-|-3

3x*-l- llx-f 8 2x -f-2

Le premier terme du reste, 2x, esl d’un degré inférieur à celui de x*, donc la division est impossible.

— t X* — x’-fx — 1 x’-f 1

Reste 2

2 n’est pas divisible par x, donc , etc.

-fx*

Reste 2x*

Le quotient de la division du dernier terme du dividende par

DIVISION

le dernier tenue du diviseur est x* ; or, parvenu au reste 2x* , on serait conduit à écrire au quotient un terme en x*; donc, etc. Ce cas est remarquable en ce que la division est impossible, quoique le premier terme de chaque reste soit divisible par le premier terme du diviseur. D'après ce que nous avons dit, cela ne saurait avoir Heu lorsque le dividende et le diviseur sont ordonnés par rapport aux puissances descendantes de la lettre principale.

Remarques diverses sur la division.

bit bis. fLudivision algébrique est plus simple que Indivision aritlimétiquc , en ce sens que l’on trouve avec certitude chaque terme du quotient sans tAtonneinenIs et sans produits auxiliaires formés d’avance ; cela tient à ce qu’en algèbre on connaît le produit du premier terme du diviseur par le premier tenne du quotient cherché; tandis qu’en arithmétique on ne peut que détcrinincr la partie du dividende dans laquelle se trouve renfermé le produit du divisour par le chiirrcdu quotient cherché.

Lorsqu’on a effectué autant que possible la division de deux polynômes qui ne sont pas divisibles l’un par l’autre, on complète le quotient par une fraction dont le numérateur est le reste et le dénominateur le diviseur.

Exemples. Les divisions exécutées précédemment donnent lieu aux quotients fractionnaires suivants :

et

2jr*

2” Dans toute division , le dividende est le produit du diviseur par le quotient augmenté du reste', car ce reste a été trouvé en retranchant du dividende tous les produits partiels du diviseur par les différents termes du quotient ; ou , ce qui revient au môme, en retranchant le produit du diviseur par le quotient.

3" Dans une division qui ne se fait pas exactement, la partie entière du quotient est le polynôme du plus haut degré qui ,

DIVISION

multiplié par le diviseur , donne un produit de même' degré que le dividende. Cela tient à ce qu'on a raisonné dans l'hypothèse où le dividende contient la somme des produits du diviseur par les différents termes du quotient , et que l'on a supposé le premier de ces produits partiels de môme degré que le dividende.

Si les divisions partielles ne sorti arrêtées par aucune impossibilité dans le cours de l’opération , le fesle final est d’un degré inférieur au moins d'une unité au degré du diviseur.

■4* On a quelquefois à diviser un polynôme par une quantité indépendante de la lettre par rapport à laquelle le polynôme a été ordonné; dans ce cas l’opération se présente d’clle-méme; il suffit d’effectuer la division sur chacun des coefficients de cette lettre.

Exemplb. Pour diviser 7(6*— — c*)a’-|-2(6-|-c)a par 6-|-c, on divise cliacun des coefficients 7(6* — c*), 5(6‘ — c*)et 2(6 -j- c) par 6 -j- c, ce qui donne respectivement "(6 — c) , 5(6*— c6*-|-c*6 — c*j et 2; par suite, le quotient cherché est

Cette règle est la conséquence de ce qüe,

Pour multiplier un polynôme par une quantité indépendante de la lettre suivant laquelle ce polynôme est ordonné, il su f fil d’ effectuer la multiplication sur les coefficients des diverses puissances de cette lettre.

Ainsi, pour multiplier le polynôme

7(6 — c)o*-f5(6* — c6*-l-c*6 — c*)o-f2a par 6-|-e,

il suffit de multiplier respectivement 7(6 — e),5(6* — c6*4-c*i— c*). et 2 par 6 -f-c, ce qui donne 7(6* — c*), 5(6*— c*) et 2(6-f-c); par suite ie produit cherché est

7(6* — c*)a’ -1-6(6* — •*)o* -t- 2(6-t- e)« ♦ ce qui vérifie la division précédente.

DIVISION

Division des polynômes dans le cas où les coefilcienU de la iettre principale sont eux-méntes des polynômes.

83. La division des polynômes, dans le cas où les coefficients de la lelire principale sont eux-mêmes des polynômes , repose comme la division dans laquelle les coefficients sont des monômes, sur la propriété remarquable dont jouit un produit de polynômes, de renfermer deux termes irréductibles’, en conséquence , nous n’avons pas à reprendre la théorie de la division à l'égard du cas actuel ; le seul point particulier sur lequel il y ail lieu d’insister est le suivant :

La divisidh de deux polynômes dépend de la division du premier terme du dividende par le premier terme du diviseur. Cela posé,

Si l’on regarde comme coefficient tout ce qui est indépendant de la lettre principale dans chaque terme, la division des coefficients pourra être elle-même une division de polynômes. Pour l’exécuter, on ordonnera par rapport à une autre lettre ; mais on pourrait encore rencontrer des coefficients , et ainsi de suite. On pourrait craindre au premier abord de ne pas retomber sur une division de monomes que l’on sût effectuer; mais il est facile de lever celte objection. En effet, les premiers coefficients polynômes ne renferment pas la lettre principale qui est mise à part; si l’on ordonne ces coefficients eux-mêmes pour faire la division des coefficients, on mettra aussi une autre lettre à part; si l’on continue de même, il arrivera de deux choses l’une; ou bien on tombera sur une division dans laquelle les coefficients du premier terme du dividende et du diviseur, sont des monomes; ou bien toutes les lettres seront successivement épuisées , et l’on arrivera à des coefficients numériques; donc, dans tous les cas, l'opération primitive et les opérations subséquentes, dépendront en définitive, d’une opération qu’on saura effectuer : une division de monomes, ou même une division de nombres.

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DIVISION

Traitons un exemple qui suffira pour faire' comprendre la marche de l'opération :

15o* — 20a*c 4” 6a*c — 8oc*

— 8a’f — 12o’c 4-16ac*

— lOo’ 4-150C* — Aac 1 4- 6c»