ac

Deuxième dirision pariielle.

— 6«' — 8n’c — 12a’c4-16ac*i 3a* — Ane ^ , 4" I — 2n* — Ac

— 16ac*

Ainsi , le quotient cherché est (5a 4- 2c)a; — 2a’ ic.

Remarque. Les méthodes générales sont souvent remplacées 'par des simplifications que suggère l’habitude du calcul. Si l’on avait , par exemple , 8a^ — 4a*ft* 4- ta’ 4- 2«" — 6’ 4- 1 è diviser

DIVISION

par 2o* — ô* 4- 1 ; il suffirait de voir si ce diviseur est facteur du trinôme 8o* — + or, en mettant 4o’ en facteur com-

mun, il vient 4o\2a* — par suite, le quotient de la division proposée est exprimé par

De quelques divisions remarquables.

84. Si l’on divise les binômes x* — o’, x* — o*, x* — a* par X — a on trouve successivement pour quotients

x-|-a; + + x* + ax* «’a;

Une loi fort simple se présente dans ces quotients successifs :

1* Tous ces termes sont additifs;

2“ Tous ces termes ont pour coefficient l’unité,

3° Les exposants de x vont en diminuant d’une unité d’un tenue au suivant, tandis que ceux de a vont en augmentant d’une unité.

4» Le premier terme est d’un degré inférieur d’une unité à celui du dividende, et comme il ne contient pas la lettre a, on peut supposer que l’exposant de a y soit zéro ; pareillement , le dernier terme peut être censé renfermer x avec l’exposant zéro.

Cette loi remarquable est générale.

En effet, si on se laisse guider parl’inducffon, et quem représente un nombre entier quelconque , on sera porté à écrire :

= x"-‘ -f- ox"~* -f- a’x"^

dans laquelle les points indiquent une lacune qui doit être rempbe par des termes sous-entendus, et soumis à la même loi que les précédents ; or , le quotient de cette division peut être vérifié ainsi qu’il suit par la multiplication ;

x"’~' -}- ax""’ -f- a’x"-® 4- -}- a"~‘

— al — a’I — a*

DIVISION

D’après la composition même des deux facteurs du produit, il est clair qu’à chaque terme de la première ligne , et à partir du second , en correspond un égal et de signe contraire dans la seconde ligne, en sorte que le produit ne renferme que les deux termes irréductibles x* et — o", c’est-à-dire le dividende proposé œ" — O".

Uélbode par la division prolongée-

La loi précédente peut être établie par le fait même de la division ; cherchons les premiers termes du quotient.

— *• -(- ax»-’ ( x"“‘ -j- . . .

1" reste. .

-f- ox““* — û" ^ — ax"-' -(- o*x"^*

2* reste., .

3* reste.. .

etc. , etc.

A la première division partielle on trouve x"*-' pour quotient et ox’*-' — o" pour reste ; à la deuxième division partielle on trouve ox'*-’ pour quotient et o’x"~’ — a* pour reste ; à la troisième division on trouve o*x^' pour quotient et o’x’"^ — a" pour reste, et ainsi de suite.

On voit ainsi que chaque reste renferme deux termes : le second est toujours — a" ; le premier se compose de deux facteurs, l'un, qui est a avec un exposant croissant d’une unité d’un reste au suivant, et l’autre, qui estx, avec un exposant décroissant au contraire d’une unité à chaque division partielle; donc, après la j»”' opération, l’exposant de a sera tn, et celui de X sera 0; le wi”' reste sera, par conséquent, o’"x“ — o", c’està-dire o” — a" ou zéro.

On peut faire ressortir la loi précédente avec une évidence plus sensible encore, en faisant voir que si elle est vraie pour le quotient et pour le reste jusqu’à lan™ division, elle est encore vraie pour la (n-f 1)"'; en effet , le n"' terme du quotient étant o*-'x"-" et le reste correspondant o*x"~’*o’" on aura le terme

DIVISION

suivant au quotient en divisant le premier terme du reste — a" par X ; le quotient et le reste correspondant dans cette (n + 1)"* division sont respectivement 0*0^“"“' et — a",

ou et o*+'x”~" — o~; c’est-à-dire des quantités assu-

jetties à la même loi que les termes précédents ; or, la loi est vraie de fait à la seconde division , donc elle est vraie à la troisième ; étant vraie à la troisième , elle l’est à la quatrième, et ainsi 'de suite; donc enfin elle est générale.

Démonslratlon par la division non prolongée.

Déterminons le premier terme du quotient et le reste correspondant à ce terme.

— x"-f-ax*"‘ tx“~'

1" reste a ar~' — o",

ou o(x’*-' — a"-').

Ce premier terme est x^', et le reste est ox"-‘ — o", ou o(x"-' — donc, si x**-' — ar~' était divisible par x — a, le produit a(x"-* — o*"') serait lui-môme divisible par x — o * ; dans ce cas, le reste de la division étant nul, le dividende X* — a" serait exactement divisible par le diviseur; en conséquence, la division de x" — o“, dépend de la division de X*"' — 0’*“'; cela posé, x’ — o’ est divisible par x — a, puisque x*“' — 0*“' ou x' — a', est divisible par X — «; semblablement x’ — o* est divisible par x — a, puisque x*~‘ — o*"' ou x* — a’ est divisible par x — a; il en est de môme de x* — o*, x*— a‘..., et en général de X" — o".

Cette manière de démontrer la divisibilité peut donner aussi la loi des quotients. En effet, dans la division précédente on peut compléter le quotient par une fraction, ce qui donne

* Dans la division de ob pard, si b = dq, ob=odq = dX(Kf; donc — = aq

comme en arithmétique; ceci fait voir que si ar-'— a“-' est divisible par * — o , o(jr^‘ — o"-') est aussi divisible par * — a.

Digilized by f ' '.ile

DIVISION. 65

^ ^ z= Æ**“' 4- d’où U suit que si le quotient

de la division de — o“-‘ par x—a était connu , on le multiplierait par a, 'et on y ajouterait ar"~''pour former le quotient de af' — a” par a: — a ; on voit par là qu’on pourra déduire les uns des autres les quotients consécutifs de la différence des puissances semblables de deux quantités par la différence des racines à partir de la première puissance.

Or, =1; donc 1 X«=

de môme, ^ = x’ -)- (a; -|- a)a =■ ax -\- a'

^ — ^ = x’-|- (x*-(-ax-l- +<**• , •

On peut môme rendre la démonstration plus sensible. En effet , si l'on admet la forme du quotient pour la différence des puissances n“"’, on aura

et , par suite ,

— = x"+(x'*“'-l-ax''"’-|-a*x"~*4-...-|-a’^')a.

polynôme qui suit la même loi que le précédent.

84 bis. En résumé, x" — a" est exactement divisible par X — a; le premier terme du quotient est le premier terme du dividende dont on a diminué l'exposant d'une unité; l'exposant de X décroit d’dne unité d'un terme au suivant jusqu' au dernier où il est nul; l’exposant de a aug^nente au contraire d’une unité à partir du premier terme où il est nul , jusqu’au dernier où il est égal à celui de \ dans le premier terme du quotient. Tous les termes sont additifs et ont pour coefficient Tunité. Quant aux restes , chacun d'eux renferme deux termes ; le second est toujours — a"; le premier se compose de deux facteurs ; l’un qui est a avec

Divieioa.

un exposant croissant â^une unité d’un reste au suivant, et l'autre qui est x avec «n exposant décroissant au contraire d'une unité à chaque division partielle. - - - • < ’

ApPLICATIOiNS. '

x* — l=(x — l)(aî*-f 1), a:‘ — 1 = (ar — 1 )(x* + x* + x + 1 ). ,

88. Remarques. I. Les démonstrations précédentes serviront, à l'exception de la dernière, à établir les propositions suivantes :

La somme des puissances sembiables de deux quantités n'est divisible par la somme de ces quantités qu’autant que le degré de la puissance est impair.

La différence des puissances semblables de deux quantités n'est divisible par la somme de ces quu7itités qu autant que le degré de la puissance est pair.

'' La somme des puissances semblables de deux quantités n'est jamais divisible par la différence de ces quantités.

II. Nous exceptons la troisième démonslnition, pour prouver les théorèmes que nous venons d’indiquer, parce qu'elle exigerait des principes de divisibilité que nous ne connaissons pas.

III. Nous avons donné plusieurs solutions de la question relative à la division de x" — a" par x — a, parce que c’est le premier exemple d’une loi, et que l’élude des lois relatives aux nombres est spécialement du domaine de l’algèbre.

Preuves des quatre règles.

86. Pour vérifier une opération , on peut la recommencer dans l’ordre môme où elle a été faite.

Mais, comme les mêmes calculs peuvent re'produire les mêmes erreurs, il est souvent préférable de vérifier l’opération par une autre opération , lors môme que celle dernière serait plus compliquée que la première. C’est ainsi que l’on doit entendre les preuves suivantes ;

Pour faire la preuve de l'addition , ou peut soustraire de la

mviïlüN.

somme des quantités données l’une de ces quantités, et voir si le reste est égal à la somme de toutes les autres quantités proposées.

Pour faire la preuve de la soustraction, on peut chercher à retrouver la première quantité en additionnant le reste et la seconde quantité.

Pour faire la preuve de la multiplication, on peut chercher, soit à retrouver le produit par l'inversion des facteurs, soit h retrouver un des facteurs en divisant le produit par l’autre facteur. - . ' '

Enfin, pour faire la /ircuee de la division, on cherchera à reproduire le dividende en ajoutant au reste le produit du diviseur par le quotient. V

87. Nous omettons quelquefois les réponses aux questions proposées; parce qu’il est bon que les élèves ne connaissent pas toujours d'avance le résultat cherché.

Réduire iab -j- 3o’ — 3h* nn6 -j- 3o’ — 2h* 46* — 3a6 -j- c*.

Réponse. Co* -|- 6<i6 — 6“ c*.

Réduire 8o* — 3o*6 -f- 4a6* — 6* — 2a*6 — 4o6* -}- 3 6* -j- 5o’ ia'h

Soustraire 66 — 8a — 6 — 2o + 3J -j- 9a — 56

de 3a-t76— t06 + 13a — îo.

Réponse. tSa — 326 —

Effectuer (o + 6) — (2a — 36) (5a -f 76) - (2c — 1 5a). Effectuer 6o* - 2o*6 -f 36*c — (2a* 3a»6 — 86*c).

Effectuer (ex -|- c* -f- x*) (x — c) (x* — ex -(- c*) (c -f- ce)

Réponse. x* — c*.

Application numérique, cas 2, x = t200.

Multiplier 2x*-f- 3ax*-f-4o*x-f 8o* par 3x*-f2ax — a».

EXKHaC£S.

Multiplier + — c* par a* -j- 2a6 — 6* c*.

Réponse. o* — b* — 2a’6’ + Ja’c’ + 26*c*.

Multiplier (u* 4* =’} ptir (a* — as-f'-’l

Multiplier + 3<w“ P®’' 3x*-j- îoa; —

(On obtient malgré des réductions un polynôme complet.)

Multiplier ox’ + 6x’-|-cx+‘^ P*'" <w;’+6x*-f-c-

( On obtient un polynôme complet quoique les deux facteurs soient incomplets.)

Multiplier ax‘ + 6x*4-® P^f ox*4"®*’ + ®®+<^- '

Diviser le produit par le multiplicande.

Mulüplier (4o* + 8a6«) - {6o*6 — 26») par (in»4-5«6*)+(6o*6 + 26»).

Diviser a» -f- 5o*6 + 1 0a»6» 1 0o*6’ -|- 5a6* 6*

par o»4-3a»6 + 3a6» + 6».

Réponse. a* -j- 2a6 + 6’ .

Diviser (y*+iy* + 2y + 1)x*+ (»/+ + 5y*— 8ÿ — < S)* + 7ÿ*

— Uy»— 7y-f<i par + — î)

et compléter le quotient.

Diviser o» — 25o'6*+a*6-)-6a’6» par o*-|-5o*6».

Diviser (46* — 46c c*)®* — (6* -f- 26c -|- c*)a'‘&* + (6 ^

a*.r' — a*ÿ' — ox + ay par x — y.

fl*x* + o’yx + a’y* — a.

7o» - 5u*-f-<» — 3o' par ,1 — 3a.

Diviser (y* — 1)x*4-(!/»— <)x4-(î/’— ') par y — <•

Diviser o* — aj* par a-fx; par a* — x»; par a*— æ».

Diviser ' a" -)-.e* par a-f-x.

par

Réponse.

Diviser

Réponse.

Diviser

Réponse.

EXERCICRS.

Diviser îa^z’-|-o’i‘ lu’:‘ + IOa:‘ — iz* par 2a*: — 2:*-|-3or*.

Diviser < 6o’x* — 1 3o*x* — io’a: -j- 2u’x* — 3a ‘x* -f- 20ax* — Sox -j- ix’ par îa*x — 3o*x* + ix.

Diviser Ax”+A,x*^'+A,ar-'+AjX^+ 4-A«-iX+A» par x — a.

Le quotient est

A(x— ' -j- aA 1

-f- oAi,

-j-oA,

, Art"

-f- Aïo""' + Alû"-'

On remarqaera i* la loi des coefficients du quotient; 2° la loi du reste. 3* On s’exercera à des applications numériques.

Si deux polynômes ordonnés par rapport à une même lettre sont égaux quelque valeur qu’on donne à cette lettre, les coefficients des mêmes puissances de la lettre principale dans les deux polynômes sont égaux chacun à chacun.

Chercher les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un polynôme soit divisible par un polynôme donné.