En général, vne fraction algébrique ^exprime le quotient

de la division de deux quantités quelconques, que cette division puisse ou non s’effectuer. Le numérateur est le dividende et le dénominateur le diviseur. La fraction arithmétique diffère de la fraction algébrique en ce que scs deux termes sont des nombres essentiellement entiers.

Les propriétés et le calcul des fractions algébriques sont les mômes qu’en arithmétique , mais quelques explications sont nécessaires.

Propriétés des fraclions.

90. Théorème. On peut multiplier les deux termes d'une fraction par une même quantité, sans en changer la valeur. •

En effet , soit la fraction

Désignons par q le quotient complet de la division de a par b et nous aurons identiquement : • ' ^

mais J dans une division le dividende est égal au produit du diviseur par le quotient complet , donc a — bq.

Multipliant de part et d’autre pàr'»?t, on a

am r= bqm.

Mais , d’après raritlimétiquc , multiplier un produit bq de deux facteurs entiers ou fractionnaires par uné quantité quelconque ni , entière ou fractionnaire , revient à multiplier un des facteurs h par cette quantité ( conséquence 'du principe de Tintervertissement des facteurs d’un produit); donc

nwî = ô/»Xî; .

am est donc un produit de deux facteurs dont l'un est bm; par suite , on aura l’autre facteur g en divisant am par bm , ce qui . am

donne ^ = g. - Mais q représente ? , donc

72 CALCOI. AI.GÉBRIQrE

91. Conséquence. On peut diviser les deux termes d'une fraction par une même quantité sans en changer la valeur.

Ainsi

En effet, en multipliant les deux termes de la première par w, on ne change pas sa valeur; or, l’on trouve | , donc , etc.

Simplilication des fractions.

02. On peut simplifier une fraction par la suppression d'un facteur commun à scs deux termes.

Par exemple, les fractions du n* 7S,

AMb^c'd AMbhhl AdnWc'd ISrdfiV ’ ' l2rd6Ve

deviennent re.spcelivemenl

48a'd Aed Aa'cd

13 ’ ft ’ ce

par la suppression des facteurs respectifs, o‘frV, 12’nc, 12a‘6’e. On rencontre quelquefois d’heureuses simplifications :

Exemple.

05. Kemarqde. La simplification des fractions dont les termes sont des po/ynames SC ferait avec une extrême facilité, si l’on pouvait, comme dans le cas précédent, mettre en évidence les facteurs du numérateur et du dénominateur. La décomposition des polynômes en facteurs est un calcul qui dépasse les limites de cet ouvrage.

Réduction des [raclions au méoie dénominateur.

04. Pour réduire des fractions au même dénominateur, on opère comme en arithmétique : an multiplie les deux termes de chaque fraction par le produit des dénominateurs de toutes les

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DES QUANTITES FRACTIONNAIRES.

autres; parce que celle opération n’aUërc pas la valeur «les fractions, et qu'un produit ne change pas quand on intervertit l'ordre des facteurs, lors même que les facteurs ont des valeurs numériques fractionnaires.

ExniPLB. Les fractions :

sont respectivement équivalentes aux fractions ,

adfnp ebfnq ehdnq mhdfg pbdfn

bdfnq’ dbfnq' fbdnq' nbdfq’ qbdfn

Simplification île la mélhode préccilenle.

' 9S. La méthode générale peut être abrégée quand on reconnaît des facteurs communs aux dénominateurs; il suffit , dans ce cas , de trouver , comme en arithmétique , un multiple de tous les dénominateurs.

Exemple. Soient les fractions

20a’6” 15aV*’ I86*c’ 30e‘cr

dans lesquelles les numérateurs M, N, P, Q représentent des monomes ou des polynômes.

Ici, les dénominateurs se décomposent facilement en facteurs et donnent respectivement

2*X5x«’Xt’, 3X5X«’XC, 2X3*Xé’Xc, 2x3x5Xc*Xd.

Cela posé, pour former un multiple de ces dénominateurs , la condition nécessaire et suffisante est de prendre le facteur 2 à la deuxième puissance ; 3 à la deuxième ; a à la troisième ; b h la troisième; c à la deuxième, et d à la première, ce qui donne

2* X 3*X 5 Xa’ X 6’ Xc’ X d.

Pour ramener toutes les fractions h ce dénominateur com-

74 CALLXX ALGÉBRIOUI

mun , Il suffit de multiplier respectivement les numérateurs par les quotients que l’on obtient en divisant ce dénominateur commun par le dénominateur de chacune des fractions proposées ; on obtient ainsi :

lOn’écffP 6n’6*Q

ÎSÔÔWS’ Ï8ÔÎ?Ï-V3’

86. RsMAnouE. Dans cet exemple, on a pu trouver immédiatement le plus petit dénominateur commun, parce que les facteurs des dénominateurs se mettent facilement en évidence ; la détermination du plus petit multiple dans tous les cas possibles, ' dépasse aussi les limites que nous nous sommes imposées ; toutefois, on aura une simplification toutes les fois qu'on aper- "cevra des facteurs communs, car alors il suffira de former le dénominateur cherché avec les autres facteurs, et les précédents pris seulement autant de fois qu’ils entrent dans celui des dénominateurs qui les contient le plus de fois.