Exemple I. Résoudre l’équalion [I
Réduisant les fractions et les termes enliors au même dénominateur 6, on a :
[3] llo;=660.
Dégageant l'inconnue de son coefficient, il vient :
rai ^60 .
et par suite
Renabqub. On est certain que le nombre 60 satisfait à l’équation proposée, puisque les transformations qui onl été faites
90 RtSOLOTlOn DKS ÉQLATIOm Dl! PBEMIK8 DIOBt.
pour la résoudre sont toutes réciproques', c'est-à-dir« que dans }a suite des équations [1], [2], [3], [<], [5], toute valeur de x qui satisfait à l’une d’elles, vérifie nécessairement la précédente. (Celte observation s’appliquant à toute équation , nous ne la ' répéterons pas ). Si on veut s’assurer à posteriori que 60 est bien la valeur de a-, il suffit de la substituer dans l’équation proposée , ainsi qu’on le voit ci-après ; .
Exemple II. Résoudre l’équation
Effectuant l’opération indiquée, on a
Transposant 24 dans le premier membre , il vient :
Ax
ou
X — 6-|-24 = 24-fa;— 6 =
Ax
transposant x dans le second membre, on a
ce qui donne successivement
Ht£OL(JTION DBS KQUITIONS DU PHBMIKB DBeKt.
Exxhple m. Résoudre l’équalion
Prenant 12 pour dénominateur commun^ on a successivement ;
9x— 84 = 1 Ox— 108 108+9x— 84=10x
Rehabque. Nous n’avons pas écrit 9x— 10*=84— 108 parce • qu’alors les soustractions eussent été impossibles. Ce n’est que plus tard que nous examinerons cette manière de résoudre les équations.
Exemple IV. Résoudre l’équation
rn ^ ^ ^
Chassant les dénominateurs, transposant et réduisant, il vient : (48x‘+28x— 48)— (36x*-f 36x— I6)=12x‘— 13X-I-4, , ,
Rbmabques. 1. On rencontre quelquefois des équations qui sont du premier degré, quoique renfermant le carré de l’in-
92 BÈSOLimON DES ÉQUATIONS DU PBEMIER DEGRÉ.
connue; c'est qu’alors le terme en x*disparait dans les réductions. Telle est l'équation [2] précédente.
Exemple V. Résoudre l’équation
15’— (14 — x)*=13* — a;’ d’où 15’— 196— x’ + 28a;=169—
II. Jusqu’5 présent, nous n’avons trouvé que des valeurs entières dans la résolution des équations, mais le plus souvent, les applications fournissent des équations numériques dans lesquelles les valeurs des iuconnucs sont fractionnaires.
Exemple VI. Résoudre l’équation 48=a;*-f-a:(6— x'-f-6x — -1x’4-4x — ^a;’ = 48
Exemple VU. Résoudre l’équation d’où a’-f-Aa:-f4 -H(x+ix + 4)-!-4 = 20
a*= ti
III. Dans la pratique, les coefficients de l’inconnue sont en généi-al des nombres décimaux.
Exemple VIII. Résoudre l'équation
Le calcul prouve que l'inconnue ne peut pas s’obtenir rigoureusement en décimales; on en calcule alors une valeur approebée; mais, dans ce cas, la substitution de cette valeur dans l’équation proposée ne la transforme pas rigoureusement en une identité.
121. IV. Dans les exemples précédents, nous avons trouvé une valeur pour l’inconmie que l’on cherchait h délerniiner;
RÉSOLDTION DES KQrATIONS DU PREMIER DEGRÉ. 93
mais il jwurrait arriver qu’uuc équation ne |>ùt être vcriliée par aiicitn nombre. Telle est l'équalion ;
Sx-^i=bx-\-7
Si on la résout mécaniquetnenl on trouve
ou 0=3,
ce qui est absurde.
L’équation 9867 + 1 87a; = 3(3289 + 1 87x) donne 187x = 561a:
équalion impossible, à moins cependant que ta question qu’on a en vue de résoudre, ne s’accommode de la solution x=0.
122. V. Il peut arriver qu’une équation adincitc une infinité de solutions. Telle est l’équation :
si on la résout mécaniquement , on trouve
. " bx — 5x=4 — 4
ou 0 = 0.
Définitio.ns. L’hc équation du premier degré a une inconnue est déterminée, impossible ou l'ndé/eminée , suivant qu’elle n’ad' iiK't qu’une solution, ou qu’elle n’en admet [vas, ou enfin qu’elle en admet une infinité.
Ces différents cas seront plus tard l’objet d’une discussion approfondie. ,
Résolution des é<|ualions littérales.
125. Nous avons vu dans l’introduction (livre I") combien . il était utile de généraliser les problèmes numériques. Ces
94 RÉSOLCTION DBS ÉQUATIONS DU PREMtER DECRÉ.
généralisations conduisent à des équations littérales dont la résolution va nous occuper. ■
Exemple I. Résoudre l’équation
ax’\-b = cx-\~d.
On a successivement
ax-\-b — cx = d
ax — cx=d — b {a-~c)x = d — b d—b
Vérification :
aX. \-b = eX- — - + °-
ad — -|- flô — bc — cd-~- bc ad — cd
ad — bc — ad — bc.
Exemple II. Résoudre l’équation
ax , ex ex 9^
T + -iT-“=7“V + *'
Chassant les dénominateurs, on a
adpuc + cbfhx — mbdfh = ebdkx — gbdfx + kbdpi , par suite,
x{adpi -|- cbfh — ebdh -4* ybdf) = mbdfh -f- kbdfh, mbdfh + kbdpi
d'où X = j^cbfh—ebdh -\-gbdf
Exemple ID. Résoudre l’équation ■’*cx ' . dx «
Digilized by Googl
RisULLTlOX'DItS ËQLÀTIONS DU i•HEUIEB UB(HIÉ.
Ce calcul, déjà commencé au sujet de révanouissement des dénominateurs, donne
et par suite.
d'où
9aàdx-\- ^ iOcfbcde — &a*b^fx*
(9oc’d + 1 26’d* + 6a’é’/ )X = lOa^bode ;
10a*àcd« x:
9ac‘d + 12b‘d>-i-6a‘b‘f Exehtle IV. Résoudre l’équation
-j- 2ac — a’ = c*.
a’x — acx -j~2a'c — 2oc’ — o‘ + a‘c* = acx-j-c^x — oV + c'î (a’ — 2oc — c’)a; = o* — 20*0*4-0* — 20*0 4- 2ac*
g* — 2o*c*4-o* — 2o*c4~^oo*
a* — 2oc — c*’
(g* — 2ac — c*) (0* — c*) ....
* a’ — 2ae — 0* ‘ . . •
Les exemples traités précédemment nous conduisent à la conclusion suivante '
124. Règle. Pour résoudre une équation numérique ou littérale du ^premier degré à une inconnue :
« 1" On chasse les dénominateurs \
2» On effectue les opérations indiquées;
3* On fait, passer dans un membre les termes qui renferment l'inconnue, et dans l’autre les termes tout connus;,
4’ On fait les réductions ;
5* On dégage l'inoonnue de son eoeffieient, en divisant les deux membres de la dernière équation par le eoeffieient de eette ' tnoonnue.
06 KÉSOMJT10.N DES ÉQI’ATIUNS DU PREMIER DBURÉ.
Ueharque. Cette règle est actuellement subordonnée à l’hypothèse que l'équation ne renferme aucune soustraction impossible; elle exige aussi pour l'instant que l’on fasse passer les termes en x, tantôt dans le premier membre , tantôt dans le second, afin de satisfaire à la prescription de n’introduire que des soustractions possibles.
Uésolution des problèmes du premier degré è une inconnoe.
121Î. Mettre un problème en équation, c’est exprimer par une ou plusieurs équations, les relations qui existent entre les quantités connues et les quantités inconnues comprises dans l’énoncé de la question.
La variété des problèmes s’oppose à ce que l’algèbre donne une règle pratique pour les mettre en équation. A défbut d’une méthode générale, voici un précepte, dû à Bezout, qui réussit dans un grand nombre de cas :
Représentez la quantité ou les quantités cherchées, chacune par une lettre ; puis, ayant examiné avec attention l'état de la question, faites, à f’ai'de des signes algébriques, sur ces quantités et les quantités connues représentées par des nombres ou par des lettres, tes mêmes raisonnements et les mêmes opérations que vous feriez, si, connaissant les valeurs des inconnues, vous vouliez les vérifier.
i26. Remarque. L’énoncé d’un problème renferme quelquefois des conditions qui ne sont pas de nature à pouvoir être exprimées dans l’équation ; par exemple, un problème relatif à un nombre d’éfres vivants, exige que l’inconnue soit un nombre entier', or, l’algèbre ne possède aucun symbole qui exprime celte condition. Il en est de même lorsqu’un nombre cherché doit être compris entre deux nombres donnés; lorsqu’il doit êlrc premier. . . . Ainsi, on ne résoudra tout à la fois l’équatidn d’un problème, et ce problème lui-même, que lorsqu’il y aura une parfaite identité entre les conditions de ce problème et les conditions exprimées dans son équation ; dans le cas contraire, on devra s’assurer par une vérification directe si la valeur trouvée pour l’inconnue satisfait mix conditions implicites du problème qui n’auront pas pu être écrites algébriquement.
BÈSOLl'TlüN DES PROBLEMES. 97
Cela posé, appliquons le précepte du n° I2tî (dont nous avons déjà fait usage dans l’introduction) à la résolution de quelques problèmes.
127. Problème I. La somme de trois nombres est 100; l’excès du plus grand sur le moyen est 3 ; t’exces du moyen sur le plus petit est 7 ; quels sont ces nombres 1
Si le plus petit nombre cherché était connu, on lui ajouterait 7, et l’on aurait le moyen; à ce moyen on ajouterait 3, et l'on aurait le plus grand, après quoi la somme des trois nombres devrait être égale à 100.
Cela posé , soit x le plus petit , nous aurons le tableau suivant :
1'* partie, ou désignation des inconnues.
le plus petit y le moyen ; le plus grand.
2' iwrtie, ou mise
blême en équation. ' ' + +
3* partie, ou résolution de l’équation.
1' partie. Vérilicalion.
par suite x -|- 7 = 34 J, a,' -1-10 = 375.
Généralisons la question.
Problème 11. La somme de trois nombres est a; l’excès du plus grand sur le moyen est b ; l’excès du moyen sur le plus petit est c ; quels sont ces nombres? '
Dénomina-
tion.
Équation.
X le plus petit ; x-j-c le moyen; a--f< -}-6 le plus grand,
RÉSOLl’TION DSS PRUBLEMÿS.
Zx b = u,
Résolution.
par suite x-\-c:
/ ^(a — 2e— 6)+~5(a + f— 6) + K«+26-f <■)=«. Vérification, j J(a-(-26-|-c) — 3(o+c — b)=b,
Î Connaissant la somme de trois nombres ; l’excès du plus grand sur le moyen ; l’excès du moyen sur le plus petit, il faut pour obtenir le plus grand : à la somme ajouter deux fois l'excès du plus grand sur le moyen ; ajouter encore l’excès du moyen sur le plus petit , et enfin prendre le tiers du résultat.
On traduirait de môme les deux autres formules.
Remabqde. La traduction des formules a rarement lieu parce que le langage ordinaire n’offre pas le laconisme du langage algébrique.
, «= lOü, 6 = 3, P = 7 Mise en nombre des \ x = 27 j
formules. j a;-|-c = 34^
Rkuarqub. De la désignation des inconnues dépend souvent le plus ou le moins de simplicité dans la résolution du problème.
Exemple. 1“ Trouver un nombre dont lesj, le { cl les fassent enseiablc 105.
Soit X le nombre cherché, on aura successivement :
8x-|-3x-|-10x = 1260, 2la:=1260,
RiSOLUTION DES PROBLÈMES. 99
Autrement. Soit 12x le nombre cherché, on aura immédiatement :
8ar -f- 3x -f- 10* = 105
et 12a: = 60.
Problème lit. Trouoer vn nombre tel qu'en le retranchant de 37 et en multipliant le reste par 3, on ait le même résultat que lorsqu’on y ajoute 27, et qu’on divise la somme par 5.
Soit X le nombre cherché , on a successivemcDl :
VÉRinCATiOtf. (37— 33)X3= i(33-f 27)
Généralisons. (a— x) X. b = ^(x c)
abd — c
Application.
Problème IV. Un gétiéral ayant formé sa colonne en carré, trouve que pour rendre ce carré parfait il lui manque 59 lummes; il met
nÉSüLCTlOX DES PKOIILÉMES.
(dors un ttomvie de moins sur chaque côté du carré cl il lui reste 92 hommes. Quel était le nombre de ses soldats ?
Soit X le nombre d’hommes qui composüient chaque côte du 1" carré dont la superücio est exprimée par a; x æ ou par -c’ ; X — 1 sera le nombre d’hommes compris dans chaque côté du second caiTé dont la superficie est (x — 1)*; d’après le second essai, le nombre des soldats est (,r — 1)* -j- 92. En conséquence , l’équation du problème est
— 59 = (x — 1)* + 92, d’où X = 76.
Le carré de 76 est 5776; ôtant 69 de ce nombre on a 5717 |K)ur le nombre des soldats cherchés.
VÉaiFicxTiON. En mettant 76 homnaes siu' chaque côlé du carré, la totalité des hommes est de (76)’ — 59 ou de 5717 hommes. En y mettant un homme de moins, ou 75 hommes, la totalité des soldats est de (75)’-|-92 ou .5717 hommes comme auparavant.
Problème V. Un nombre est composé de trois chiffres; la somme de ces chiffres est ll\ le chiffre des unités est double de celui des centaines, et quand on ajoute 297 à ce nombre, on obtient une sotnvie qui'est le nombre renversé. Quel est ce nombre'!
Soit X le chiffre des centaines,
'Ix sera le chilîre des unités,
11 — 3x sera celui des dizaines.
Prenant chaque chiffre en valeur relative on aura :
100r-l-(ll— 3x)10-t-2x4-297 = x-l-(ll — 3x)10+200r, d’oii X = 3 ;
par suite 6 est le cbilTre des unités, et 2 celui des dizaines , en sorte que le nombre demandé est 326.
En cllel, 326 -1- 297 = 623.
Digilized by Gooj^e
RÉSOLITION DES PBORLÊME?. 101
Problème VI. Trouver deux nombres qui difjft>r‘>nt de 3, et dont les carrés diffèrent de 51 .
Soit X le plus petit,
a: + 3 sera le plus granil ,
d’où X —T \
par suite, r + 3=:10.
En effet, 10 — 7=3, 100 — 49=51.
Problème VII. Trouver les deux facteurs d'un produit, sachant qu’ils sont entre eux :: 3:7 et qu’en les augmentant respective- ' ment de ces deux derniers nombres, le second produit surpasse le premier de 4347.
Puisque les deux nombres sont entre eux :: 3 : 7, nous les df'signerons par 3x et 7x , et il viendra ;
par suite, 3a: ou 309, et 7a: ou 721 sont les deux nombrt>s eberchf^s. *'
En effet, 309 + 3 = 312 ; 721 +7= 728 ; 312 X 728 =227136; 309 X 721 = 222789 ; 227136— 222789 = 4347.
Problème VUI. Combien de pièces de 20 fr. et de 40 fr. faut-il mettre les unes à la suite des autres pour former la longueur du mètre ? les premières ont 21 millimètres de diamètre; les secondes un diamètre de 26 millimètres ; on sait d’ailleurs que fon doit prendre en tout 45 pièces.
Soit X pièces de 20 fr. , 45 — x sera le nombre des pièces de 40 fr. , on a donc
d’où • a: = 34; ^ '
par suite 45— a-=ll.
