II
ont reçu le nom de formule.
Ces formules, traduites en langage ordinaire, permettent de poser une règle générale. En effet , puisque a est la sonune ,
et que b est la différence, représente la moitié de la
INTBODÜCnO».
somme diminuée préalablement de la différence , et - est
la moitié de la somme augmentée préalablement de la différence. En conséquence,
17. Connaissant la somme et la différence de deux nombres, il suffit, pour avoir le plus petit des deux nombres , de retrancher la différence de la somme , et de prendre la moitié du reste ; pour avoir le plus grand, il suffit d’ajouter la différence à la somme, et de prendre la moitié du résultat. Appliquons les formules précédentes au problème du n° 11; remplaçons a par 53, 6 par 7, et nous aurons :
ar + 7 =
18. Un des principaux avantages de l’emploi des formules tient à ce que l’on peut confondre, dans un mode commun de solution , des problèmes qui , de prime abord , sont autant de questions distinctes.
10. Exemples 1. Partager 25 francs entre deux personnes , de manière que l'une ait 5 francs déplus que Vautre.
n. Deux frères ont ensemble 72 ans\ l'un a 12 ans déplut que Vautre, quel est V âge de chacun?
111. Deux piles de boulets contiennent 344 boulets; il y en a 64 de plus dans l’une que dans l'autre, combien chaque pile en renferme-t-elle?
Toutes ces questions , réduites à des nombres abstraits , reviennent à trouver deux nombres connaissant leur somme et leur différence.
Appliquant la règle du n° 17, on aura ; 10 et 15; 30 et 42 ; 140 et 204.
IHTR0DCCTI05.
Résolution des problèmes corrélatifs.
20. Un autre avantage qui est de la plus haute importance , va ressortir des considérations suivantes : nous avons en arithmétique posé quatre règles relatives aux questions d'intérêt, selon que l’on veut calculer Yintérét de la somme placée , le taux, le temps ou le capital-, représentons ces quantités par les lettres respectives x, i, t, a et nous aurons la formule ,
pour la traduction laconique de la règle du n* 520 (aritbm.).
Proposons-nous maintenant de trouver à quel taux une somme doit être placée pour rapporter un cerfat» intérêt au bout d’un temps donné.
La formule [1] aura toujours lieu , car elle exprime la relation nécessaire entre l’intérêt d’un capital quelconque, ce capital, le taux et le temps; seulement ici,' x, a, t sont les quantités connues, et i est la quantité inconnue qu’il faut trouver. Cela posé, en multipliant par 100 les deux quantités égales x et
on aura, d'après les principes de l’arithmétique,*
100x=aXiX^» divisant successivement de part et d’autre
par Πet par i, on aura f
Cette formule 'servira donc à résoudre les questions du n* 521; faisons, par exemple, a=5000, <=3, x=750; nous 100^750
aurons : i = = 5 , ainsi qu’on le trouverait par l’a-,
oUüil 3 ^
rithmétique. ,
On obtiendraitdemème t = ; cette formule servira à té-
ox» I
soudre les questions du n° 522.
lOOflf
Enfin, pour le n° 525, on aura la formule a =
Concluons de là, qu’une formule trouvée pour résoudre un problème, sert encore à résoudre autant de problèmes qu’il y a de quantités distinctes dans cette formule ; ce sont ces pro-
INTBO&OCnON.
blêmes que nous appellerons problèmef eorrélatifu. Plus tard nous en verrons d’autres exemples.
DéflDitions rondamentalee.
21. Une ODANTiTÉ littérale est une expression dans laquelle ks nombres sont représentés par des lettres.
22. Une formule est l'expression générale des opérations arith^ métiques que l’on doit effectuer sur des nombres donnés pour ovbir immédiatement la valeur d’un nombre cherché.
2S. Traduire une formule en largage ordinaire , c'est déduire de cette formule une règle pour résotsdre toutes les questions de même espèce que la question générale qui a conduit à cette formule.
24. Mettre dns formule en nombre, c’est remplacer les lettres par des nombres qui leur correspondent dans une question particulière pour effectuer ensuite les calculs indiqués.
25. £' ALGÈBRE est ia partie des mathématiques qui a pour objet l’étude des nombres considérés d’une manière abstraite et générale. Plus laconiquement, 1' algèbre est la science des formules.
26. Résoudre par l'arithmétique et par l’algèbre les questions suivantes :
Partager 25 fr. entre deux personnes, de manière que l’une ait 5 fr. de
plus que l’autre.
A a deux fois plus d’argent que B; A possède 12 fr. déplus que B. Combien ont-ils chacun ?
A a trois fois autant d’argent que B; C possède 20 fr. de plus que B. Combien ont-ils chacun?
Un père qui a trois 61s, leur laisse 1600 fr.
Le testament porte que l’alné aura 200 fr. de plus que le second, et que celui-ci aura 100 fr. de plus que le dernier. Trouver la part de chacun.
La somme de trois nombres est 230, l’excès du moyen sur le plus petit est iO ; l’excès du plus grand sur le moyen est 60. Quels sont ces nombres?
Partager 35 en deux parties dont l’une soit le quart do l’autre.
INTRODUCTION
Un père fait son testament de la manière suivante :
11 donne à l’ainé de ses enfants 3600 fr. et la sixième partie du reste le son bien. Il donne au second deux fois 3600 fr. et la sixième partie du 'este. Il donne au troisième trois fois 3600 fr. et la sixième partie du reste, St ainsi de suite, en augmentant de 3600 fr. la première portion de chaque enfant successif.
Par cette disposition, tout l’héritage est également partagé entre tous les enfants.
On demande le nombre des enfants, la part de chacun et la valeur de l’héritage.
Pevoir les problèmes de fausse position (i4rt(/i. n’ 3X4), et les traiter par l’algèbre. '
La moyenne arithmétique entre deux nombres est plus grande que leur moyenne géométrique : cas d’égalité.
La valeur d'une fraction diminue où augmente quand on retranche un même nombre de ses deux termes, suivant que cette fraction est plus petite ou plus grande que l’unité.
, Hbmarque. Dans chacune des questions précédentes, on comparera avec soin rariibmétique et l’algèbre.
A'vertissbhent. Ici, comme en arithmétique, nous recommanderons aux élèves de ne point chercher à retenir par cœur les réponses aux exercices que nous leur proposons.
