fa:= 24-f 2a
[fl
[fl
En effet, dans 13 ans le père qui, aujourd’hui a 37 ans, en aura 37 13 ou 50 ; le fils en aura lî + 13 ou 25, et 50 est
l)ien le double de 25.
Conformément à la prescription imposée jusqu’à' présent d’éviter toute soustraction impossible,' nous avons résolu l’équation [2] en faisant passer x dans le second membre et 24 dans le premier, ce qui nous a ensuite obligé à renverser l'équation [4] pour avoir définitivement a: 13.
Le choix dn second membre pour y transposer ar,' et du premier pour y transposer 24 , était en effet obligatoire , puisque la transposition d’un terme additif d'un membre dans un autre repose sur ce principe évident : &i de quantités égales an retrandte des quantités égales, les restes sont égaux entre eux; d’après cela , il est clair qu’il n’était pas permis de faire passer 2a: dans le premier membre et 37 dans le second, puisque, d'une part , on ne peut pas ûter 2a? de a; ; et , d’autre part , 37 do 24.' • * '
Toutefois, la commodité qu’apporterait dans la résolution pratique des équations la possibilité de faire passer les x dans tel ou tel membre , sans se préoccuper des soustractions impossibles qui pourraient en résulter, suggère la question suivante ;
Qu’arriverail-il si, dans l’équation [2], on faisait passer 2a: dans le premier membre et 37 dans le second , puis que l’on résolût l’équation en appliquant mécaniquement la règle de la l’éduction des termes semblables d'un polynôme f 'Voici la tableau des opérations : , .
[3] 37 -fa:— 2a: = 24,
[Ôj . — a:= — 13.
THÉORIE DES QlTANTITiS NÉGATIVES.
Ainsi, dans le premier calcul , on est arrivé à ar = 13, tandis que dans le second on arrive à — x— — 13.
Ces quantités isolées, précédées du signe — , — x, — 13, ont ici une origine parfaitement déterminée : on a fait passer dans un membre ce que raisonnablement on aurait dû faire passer dansl’autre,et l'on &généralisé\& règle qui sertàréduire les termes semblables d'un polynôme en l’appliquant mécaniquement à un cas pour lequel elle n'était pas primitivement préparée; mais, que l’on transpose de nouveau les termes de l’équation [5] d’après l'application mécanique de la règle do transposition d’un terme d’une éqiiatiou, comme si les monomes isolés faisaient partie de polynômes, on retrouvera I3=x; et , par suite, x=13, c’est-à-dire la t^raie solution.
Le fait de calcul que nous venons d’établir est donc celui-ci : Dans la résolution pratique d’une équation numérique du premier > degré à une inconnue, il est permis de ne pas s’arrêter à une fausse transposition de termes, pourvu que l’on transpose ceux de l’équation finale , ce qui revient à changer simultanément les signes de ces termes.
Traitons un second exemple.
446. Problème, f’n père a 42 ans, son fils en a 12; combien d’années se sont-elles écoulées depuis l’époque où l’âge du fils était le quart de l'âge, du père "i
On a
ou [2] 42 — 07 = 48 — Ax.
Au lieu de faire passer Ax dans le premier membre et 42 dans le second, ce qui serait raisonnable, faisons le contraire, et nous aurons
[.3] 42 — 48=— Ax + x,
Mais, transposons les membres de l’équation [4], ou, ce qui
V THÉORIE DES OfASTITÉS NÉGATIVES. 137
revient au même, changeons le signe de chaque membre; il viendra
d’où • 3a? = 6,
cl 1 = 1 = 2.
Une chose essentielle à remarquer dans ce calcul , c'est que l’on parviendrait encore à a?= 2, si , 1* on regardait — 3a? non pas comme Zx affecté du signe moins, mais comme a? affecté du coefjicient — 3; et si, 2° on dégageait l’inconnue de son coefficient dans l’équation [4] en appliquant mécaniquement la règle de la division des monomes, comme si ces monomes faisoient partie de polynômes.
En effet, on aurait d’abord en renversant l’équation [4],
— 3xa?=— 6;
et, par suite, a? = — - = 2.
En résumé, on peut dans la résolution des équations ne pas s’inquiéter d’une fausse transposition de termes, ce qui éprgne un embarras.
L’avantage de faire passer indistinctement dans un membre les quantités connues ou inconnues, ressort encore mieux dans la résolqtion des équations littérales.
Exemple. Soit l’équation
ax-\-e=bx-\-d.
Si l’on s’interdit toute soustraction impossible, il faut, avant de commencer ta résolution de cette équation, fixer préalablement les relations de grandeur auxquelles sont assujetties les quantités a, b, e, d, afin de connaître à priori celui îles deux membres qui doit renfermer les quantités connues ou inconnues; or, c’est un embarras qui cesse dés que l’on généralise certaines règles, ainsi qu’on l’a fait prtTédemmenl.
THiORIB DBS QDANTITKS NiCATIVIS.
Ctda posé ,
nous aurons successivement
ax-^c=bx-[-d.
ax — bx=-d — c.
Si les soustractions a — b et c sont possibles, ou a eu raison de faire passer les « dans le premier membre, et les quantités connues dans le second; dans le cas contraire, on u fait une fausse transposition , ce qui n’en conduit pas moins à la vraie valeur de l'inconnue. Si, par exemple, a — 6 = — w, et d — c= — n, l’équation [3] deviendra — «x = — n ou {— m)x = (— n). en appliquant ici la règle de la maltipHaation des monomes faisant partie de polynômes; puis, dégageant l'inconnue de son coefficient, on aura
x = on Æ——, , .
d'après l’application mécanique de la division des monomes.
147. Définitions. On appelle quantité négative une quantité isolée précédée du signe moins. Par opposition, on appelle quantité positive une quantité isolée précédée du signe plus.
On appelle valeur absolue d’une quantité négative la valeur de cette quantité prise abstraction faite de son signe.
Les quantités négatives — l, — H ont pour valeur absolue 1 et i
Le plus souvent les quantités positives s’écrivent en sous-entendant le signe -f-; ainsi 4 a la même signification que -1-4.
A proprement parler, il n’y, a pas de quantité négative; car de rien on ne peut pas retrancher quelque chose; la dénomination de quantité négative est donc impropre ; néanmoins nous l’en)'' ploierons, parce qu'elle est consacrée par l’usage.
Les quantités négatives se sont présentées dans les problètnee, et on les rencontrera dans les calculs toutes les fois qu’on ré» duira mécaniquement deux termes semblables dont le second
TBÉOBIR DES OI'ANTITÉS NÉr.ATlVKS.
a un coefficient plus grand que le premier; et, en général , toutes les fois que dans la réduction mécanique des termes semblables d'un polynôme, la somme des coefficients des termes affectés du signe — , l’emportera sur la somme des coefficients des termes affectés du signe
Des solutions négatives dans la résolution des problèmes.
148. Dans les exemples précédents, la quantité négative n’était pas dans le problème; elle ne se présentait qu'accidentellemcnt dans la résolution de l’équation , afin de rendre cette résolution plus prompte et plus commode; voyons s’il en sera toujours ainsi.
Un père a 36 ans, son fils en a dans combien d'années l’dge (lu père sera-t-‘il le quadruple de l’ âge (lu /ils?
L’équation du problème est ’
