f-a: = 48-|--lx

ai =3— 4.

Or, si au lieu de faire passer les x dans le premier membre et les termes tout connus dans le second , on eût fait le con traire, on aurait eu :

et par suite.

comme précédemment; ainsi, la (pianlilé négative ne tient pas ici à une transposition indûment faite.

TlliOniE DES nrANTlTÉS NÉGATIVES.

Inlerprélallon de la solution négative.

1“ Si dans le problème précédent , on remonte d'équation en

équation suivant l’ordre [6]', [5], [4], [3] , on reeonnail une

impossibilité matérielle dans V équation {%y, en effet, les deux parties de la somme 36 sont respectivement moindres que les deux parties de la somme 48-}-4>^; dès lors, aucun nombre ne peut les rendre égales.

2° L’équation [1] exprime certainement une condition du problème proposé; or, cette équation est impossible, donc le problème lui-même est impossible. Ainsi, l’impossibilité à laquelle on parvient par l’application mécanique de certaines règles, correspond à l'impossibilité de trouver un nombre qui satisfasse à l’équation [1].

3° L'absurdité du problème peut être reconnpe à priori.

En effet , les années pendant lesquelles vivront le père et le fds s’ajouteront à leurs âges resi>ectifs. Or, actuellement, le rapport ^ de ces âges est 3, c’est-à-dire plus petit que 4, donc, à fortiori, ce rapport scra-t-il plus petit quand les deux termes de ce rapport auront été augmentés diacun d’un môme nombre (7).

4° La quantité négative — 4 satisfait à l’équation [1] quand on y opère mécaniquement la substitution , en appliquant aux monomes isolés les règles prescrites pour les monomes faisant partie de polynômes.

En effet , on a successivement,

6» Puisque la quantité négative —4 vérifie l’équation du problème , ce qui a donné lieu aux équations :

[1] 36-far = (l2-}-x)4

ou [3] 36— 4=(12 — 4)4;

TUKORIIi DES t.>LXNTITKS NÉGATIVES. I4l

nous pouvons cliaiigcr x en —x dans l’cquation [i] cl il vicn-

dra :

ou

mais

Cela posé.

la comparaison des deux dernières équations

prouvc que l’équation [5] , et par suite l’équation [4] , est vérifiée par le nombre 4 qui est la valeur absolue de la solution négative — 4; mais ici, l’application des règles du calcul ne présente rien qui soit en contradiction avec les principes de leur déiuonslration , parce que toutes les opérations indiquées sont , possibles.

6“ Si l’équation 36 — ar=(12 — a;)4 provenant de l’équation [1] dans laquelle on a changé x en — x peut être traduite en langage ordinaire , on aura un nouveau problème dont la solution sera connue d’avance. Cette solution (,x=4) sera précisément la valeur absolue de la quantité négative précédemment trouvée.

Pour découvrir, s’il est possible , ce nouveau problème , comparons l’équation du problème proposé avec celle qu’on obtient quand on y change a; en — x.

[1] 36-fa:=:(12-t-a:)4,

Cela posé, l’àgc actuel du père est 36; l’âge actuel du fils est 12; or, dans l’équation [1] le nouvel âge du père est 36-j- j-, et le nouvel âge du fils est 12 4-a:, parce qu’on a supposé que ces âges ont été augmentés chacun d’un môme nombre x d’années.

Dans l’équation [5] le nouvel âge du père est remplacé par 36 — X, et le nouvel âge du fils par 12 — x\ comme si ces deux nombres devaient être diminués chacun d’un niêrae nombre x d’années.

Cette comparaison prouve que pour trouver l’époque du rapport voulu entre l’âge du père et l’àge du fils, il faut remonter dans le passé d’un certain nombre d’années x=A. En consé-