THEORIE T5ES QUANTITÉS NÉGATIVES

(luencc, l'équation [5] qui admet la solution 4, est la traduction alg^rique du problème suivant :

Un père a 36 ans et son fils en a 12 ; de combien d'années faut-il remonter dans le passé pour que l'àge du père soit le quadruple de l'âge du fils ?

Réponse. 4 ans.

En effet, il y a quatre ans le père avait 32 ans, le fils en avait 8, et 32 est bien le quadruple de 8.

7* La quantité négative — 4 trouvée comme solution du problème n'est pas perdue, puisque, outre qu'elle a fait voir que le problème proposé est impossible, elle a mis sur la voie pour découvrir un problème susceptible dune solution; ce problème a d’ailleurs une certaine relation d’opposition de sens avec la question proposée.

8° Le problème du u’ 148 , ainsi que ce problème modifié , peuvent être confondus ainsi qu’il suit dans un môme énoncé ;

Un père a 30 ans et son fils en a 12; trouver l'époque , soit future , soit passée, du rapport 4 entre l'âge du père et l'âge du fils.

Si l’on met le problème en équation dans l'hypothèse d’une époque future, on trouve une quantité négative qui correspond , abstraction taite de son signe, à une époque pawée, tcUemenl, que si l’on eût mis le problème en équation dans cette supposition, on eût trouvé un rrat nombre (4j pour solution, au lieu d’une quantité négative ( — 4) qui, à proprement parler, n’est pas uti nombre.

Si, reprenant le problème du n°(14i>), on le mettait en équation dans la supposition d'une époque passée, on trouverait une solution négative , et l’on reconnaîtrait, sans plus de peine, que cette solution répond à une époque future. conséquence, l’opposition des signes -f- et — manifeste une certaine opposition entre les deux acceptions différêntes dans lesquelles il faut prendre une certaine quantité pour répondre respectivement à deux problèmes que nous appellerons encore problèmes corrélatifs, à cause de leur mutuelle dépendance.

Traitons d’autres exemples.

140. Problème. Quelle est la fortune d' une personne qui possède a francs et qui doit h francs ?

TUiORIK DES QUANTITÉS NÉGATIVES.

X üésifÿuant l’inconnue, on a immédiatement

Si l’on a «>6, a — b est positif, et exprime l'aDotr de la personne après qu’elle a remboursé ce qu’elle doit; mais si l’on a a<6, auquel cas o — b est négatif, le problème est impossible. Pour remonter, s’il est possible, de l’équation [l] à un problème susceptible d’une solution, changeons dans cette équation » en et il viendra

— a: = O — b, ou [2] X î= 6 — O.

Dans ce cas, x e.xprime ce qui reste, quand de ce qu'on doit on retranche ce qu’on jiossède; ainsi l’équation [2] est la traduction de ce problème.

Quelle est la dette d^une personne qui doit b francs, et qui ne possède que a francs ?

Réponse. , b— a.

Les solutions des deu.\ prolilèmes correspondent respectivement , l’une, à un noir, et l’autre à une dette, ce qui fournit une nouvelle preuve que le changement de signe dans le calcul correspond au changement de sens dans l’acception d’une certaine. quantité.

180. Problème. Qe quel nombre faut-il augmenter les deux termes de la fraction ^ pour qu'elle devienne équivalente à J ?

On a successivement