THÉORIE DES QUANTITÉS NÉGATIVES

et U logement, à condition de toucher un* certaine somme chaque jour de travail, et tPen payer une autre chaque jour de repos; au bout de la première semaine pendant laquelle il a travaillé i jours, il paye 2' ,60; au bout de la seconde il n'a été que i jours oisif, et il ne paye que 80 centimes. On demande combien il recevait pour chaque jour de travail, et combien il payait pour chaque jour de repos.

Réponse. U recevait 0*,40 et payait l',40, cointue il est facile de le vérifier.

Remarque. Jusqu’à présent on a pu traduire immédiatement en langage ordinaire l'équation qui provient de l’équation du problème dans laquelle on change le signe de l'inconnue; mais il arrive souvent que la traduction, pour être possible , exige une transformation préalable, ayant pour objet deûtirc disparaître les opérations impossibles qui , pur conséquent , ne sont pas traductibles en langage ordinaire.

Id5. Exemple. Trouver un nombre tel que diminué de A, le produit du reste par ce nombre augmenté de 2 , soit égal à l'excès du carré de ce nombre sur 6.

On U

d’où X = — 1 ;

changeant x en — x dans l’équation [1] , il vient :

Celle équation , telle qu’elle est , n’est pas traductible en langage ordinaire parce que le facteur — x — 4 renferme des opérations impossibles; mais si, procédant toujours par extension des règles des monomes faisant partie de polynômes, on écrit x-f-^, on aura changé le signe du multiplicande — x — 4 qui équivaut à — (x-f-4); or, le changement de signe de l’un des deux tactcurs monomes d’un produit change le signe de ce produit ; si donc on change aussi le signe du deuxième facteur — x-f2, ce qui donne x — 2, le signe du produit sera le

TBÉOME DES QL'ANTITÉS NÉGATIVES. 147

même qu 'auparavant, en sorte que l'équation débarrassée des opérations impossibles , sera :

algébriquement équivalente à l’équation [2] ; elle est d’ailleurs la traduction d’un problème corrélatif dont la solution est 1.

La solution négative d’un problème peut provenir d'une fausse hypothèse que l’on a faite pour le mettre en équation.

154. Exemple. On donne 3 points X, B, C sur une droite indéfinie MN ; les distances du troisième C aux deux premiers Ael B sont, l'une de 6 décimètres, et l'autre de 2 décimètres; de combien de décimètres faut-il déplacer le troisième point pour que les distances aux deux autres soient quintuples l’une de l'autre ?

L’énoncé du problème n'indique pas dans quel sens le déplacement doit avoir lieu. Deux manières de procéder se présentent : 1“ faire toutes les suppositions possibles que comporte la question , et rejeter celles qui ne sont pas admissibles ; 2° faire une seule hypothèse, et interpréter, s’il y a lieu, le résultat obtenu. Employons ce dernier moyen.

Soit X le nombre de décimètres dont il faut avancer le troisième point. Sa distance au point A est sa distance au

point B est 2 -f x ; donc ,

[1] 6-fx = (2-t-a:)5,

d’où X = — 1 .

Traduisant la transformée en x, savoir :

qui donne x = 1 , on en conclut que le point C au lieu d’étre avancé de 1 décimètre, devra au contraire être reculé de 1 décimètre. Ainsi, la solution négative — 1 n’accuse pas une impossibilité dans le problème, mais seulement une fausse supposition dans la manière de le mettre on équation; au changement de signe de x correspond encore un changement d'acception.

THtoniE DBS OLANTITÉS NÉGATIVES.

De l’emiiloi des quanlilés négatives pour généraliser les formules.

Jusqu’à présent les quantités néfratives se sont prcscnlées d’eHes-mênies dans le cours des opérations , et nous les a\ ons interprétées; mais on peut les introduire volontairement dans les calculs pour renfermer le plus de choses possibles dans une formule, autrement dit, pour la généraliser.

188. ExEurLB. Déterminer la posilion d’un point mobile M, par rapport à deux points fixes A et B situés sur une roi

indéfinie PQ. . . o .

1“ Le point mobile peut être en M à droite de B ,

2" Ce point peut èîrc en M’ à gauche de B, onlrc A et B.

Enfin, 3° produit peut être eu M" à gauche de \.

Examinons ces trois cas.

Désignons par a la distance invariable AB; par x y les distances respectives MA, à|Bdu pomt ntobile M , aux points fixes A et B ; la première figure donne ^

AM,= .\B-f B.M,

ou [JJ o!=a-fy. -

La deuxième donne

AM’=AB— BM',

ou [2] x=a-y.

Enfin , la troisième donne

AM"=BM''-AB,

ou 13] ■ x~y^.a.

TBÉOBIK DBS QUANTITÉS NÉUATIVBS. 1<J9

Cela fait donc autant de formules que d’hypothèses; mais, la première de ces formules sera géniale et rendra l'emploi c\es deux autres inutile, si l’on convient de regarder. coname positives les distances comptées à partir des points fixes dans le sens PQ, et comme négatives les distances comptées à partir de ces mêmes points dans le sens contraire OP.

En effet, dans le second cas,. nous poserons

f/;= — BM',

et l égalité AM = AB+BM-

deviendra AH+ (— BM') = AR.— BM’,

ou x — a — .y, ,

ce qui est la formule [2].

Dans le troisième cas, nous poserons

x=— AM", y=— BM", et l égalité AM=ÂB-f-BM

deviendra — AM"=AB+(— BM'),

ou — AM"=AB— BM";

et enfin AM"=BM"— AB,

ou x = y — a.

ce qui est la formule [3].

Donc , une seule formule suffit dans tous les cas possibles de la question.

L’emploi des quantités négatives a trouvé son application dans le problème précédent, parce que la position d’un point mobile par rapport à un point fixe est susceptible de deux directions contraires ;, en général , on pourra en dire autant de toutes les questions où entreront des quantités susceptibles d’acceptions contraires. I.es diverses branches des mathématiques en offrent de nombreux exemples; en voici un choisi dans la pratique et d’une application vulgaire.

IBO. La température sc mesure è l'aide du . Uiermomètre (Arith., Système métrique) sur lequel on Ut soit au-dessus, soit

130 TBtoBII DES QtTANTITtS NÉGATIVES.

au-dessous du zéro les degrés de température. Ces deux états de température étant .d’acceptions contraires, on regarde les premiers comme positifs , et les seconds comme négatifs.

Exemple. Un thcrmomctrc marquait a degrés, ou a“ au-dessus de 0 ; la température s’est abaissée de ô“, quel est l’étal actuel de la température?

Réponse. x=a—b.

Soit 0 = 10*, 6” d’où x = i\

0 = 10’, 6 = 14“ d’où x= — 4“.

Dans le premier cas, la température correspond au quatrième degré au-dessus de 0, et dans le second cas au quatrième degré au-dessous de 0 ; ainsi au changement de signe correspond une opposition d’acception.

Cooclusiom générales.

Itî7. 1* Les quantités négatives se présentent dans le calcul comme résultats de soustractions impossibles; plus généralement , par une réduction de termes semblables dans lesquels la somme des coefficients affectés du signe moins, l’emporte sur la somme des cocfflcicnls affectés du signe plus.

i” Une quantité négative indique une impossibilité quand on la trouve comme solution de l’équalion d’un problème.

3" La valeur absolue de la quanlilé négative satisfait à l’équation après le changement du signe de l’inconnue. '

4" La comparaison de l'équation transformée avec l’équation du problème, permet, en général, de trouver l’énoncé d’un problème corrélatif du premier, qui n’en diffère que par une opposition d’acceptions de certaines quantités.

5° Il en est encore de même pour un problème qui se traduit par un système d’équations entre plusieurs inconnues.

6° On peut admettre, à priori, et volontairement, les quantités négatives dans le calcul, pour renfermer dans une seule formule les divers cas d’une môme question, autrement dit, plusieurs problèmes corrélatifs , qui ne diffèrent les uns des

THÉORIE DES ODANTITÉS NÉGATIVIIS. 151

autres que par des oppositions de sens ou d’acceptions de certaines quantités.

7° Toutes les propriétés précédentes ont lieu sous la condition de traiter les quantités négatives , comme si elles faisaient partie de polynômes, et que toutes les opérations indiquées fus.sent possibles.

138. Remarques. I. L’extension des règles du calcul littéral est nécessaire dès le commencement de l'algèbre pour pouvoir changer V ordre des termes d'un polynôme, même lorsque ce polynôme a une valeur positive et que toutes les soustractions indiquées sont successivement possibles ; car en changeant l'ordre des termes d’un polynôme, quelques-unes des soustractions indiquées pourraient devenir impossibles ; à plus forte raison, faudra-t-il admettre les mômes règles à l’égard d’un polynôme dont la valeur sera négative, et qui devra, par conséquent, ôire considéré lui-même comme une quantité négative.

II. Quand on admet les quantités négatives , on peut avoir une différence sous l’apparence d’une somme, ou une somme sous l’apparence d’une différence.

Exemple. a-\-b représente une différence, et a — b une somme si a = 5 et b= — 3, ce qui conduit aux distinctions suivantes ;

Somme algébrique, différence algébrique , quand les quantités sont littérales, et qu’elles peuvent être soit positives, soit négatives.

Somme arithmétique, différence arithmétique, quand on ne considère les quantités qu’avec leurs valeurs absolues.

UI. Toutes les restrictions qui ont été posées jusqu’ à présent dans les démonstrations des règles du calcul littéral et dans la résolution des équations, soit numériques, soit littérales, se trouvent actuellement écartées.

IV. C’est l’usage même et le parti que Von en tire qui justifient V admission des quantités négatives dans le calcul algébrique.

Nous avons soigneusement évité toute démonstration faite a priori; nous n’avons pas non plus cherché à nous appuyer sur ’ des conventions faites arbitrairement, car il faudrait démontrer qu’elles concordent d’ailleurs avec les principes du calcul déduits logiquement de raisonnements rigoureux.

EXnCICBS.

' KXERCICES.

1i>8. Réduire le polynôme Hx’i/ + ^

Ajouter les polynômes

— 2x— 19; — 9.r— V+I3I— 1; — 8x+ 1 ly— 9; + fl8 ;

— — 39; — æ + ISy + is +93 ; — 33a: — 30y— 20:— 36 ;

— COJ — tty + 2z — 107.

Multiplier — 5o* — iah — 36* par — 2a* — 8o6 — 36* et faire la preuve par la division.

Déduire la formule' (o — 6j*=o*— 3o6+6* de la formule (o+ 6)*=o*+2a6 +6*.

Évaluer la fraction • sachant que o = } et 6 = — J.

Transformer la fraction — — ■ — . (x=Jc et s= — }6).

O>mposer trois équations à trois inconnues,

Sachant que œ= — 1, y= — 2, := — 3. (VériGer par la résolution directe des équations.)

Quel âge avons-nous l’un et l’autre, demande un Gis à son père? Le père répond, votre âge est actuellement le tiers du mien, et dans six ans il en sera le quart. Trouver l’Age de chacun.

Trouver un nombre dont le double ôté de 65 donne pour reste le nombre cherché augmenté de 80. ’

Réponse, x =— 5.

Un maître maçon et son Gis ont gagné ensemble 72 francs en dix-huit semaines : le père recevait 6 francs par semaine. Combien le 61s gagnait-il dans le même temps?*

Réponse. x = — 2.

EXERCICBS.

Un caissier paye 44 francs avec sept pièces d’or et trois d’argent. Il rembourse ensuite une somme de 52 francs avec huit pièces de la première espèce et deux de la seconde. Quelle est la valeur de chaque pièce?

Réponse. x=fl',8ü — 4', 20.

Un marchand ayant fait le relevé de sa situation, trouve que le double de son avoir augmenté de 6000 francs forme une somme égale à la moitié de son avoir plus.2400 francs. Quel est le montant de cet avoir?

Réponse. x= — 2460.

Résoudre le problème qui termine le chapitre i du livre IV, en supposantque a=30, 6=9, c = 2i, d = 7.

Un bassin de 60 hectolitres a été rempli en vingt heures par deux fontaines; 1a première versait 4 hectolitres par heure; combien la seconde en foumissait-elie dans une heure ?