Une question importante se présente

Les transformations précédentes sont-elles encore vraies , quand on admet les quantités négatives? Supposons pour un instant qu’il en soit ainsi, et voyons à quelles conséquences nous arriverons.

Soit l'inégalité

Retranchons 12 des deux membres, nous aurons -5>-7

ou [2] -7<-5;

DES INÉOAUTÉS DC PREînEK DBCRÉ.

actuetletncnt , muUiplions par — 1 los deux membres de rin<^galité [1], nous obtiendrons

ainsi , il y a contrailiction entre les inégalités [2] et [3] ; clierchons à l’expliquer.

A cet effet, observons que les quantités négatives proviennent de la soustraction. Si, du nombre 3, par exemple, nous retranchons suceessivement une, deux, trois, unités, nous

trouverons pour résultats, 2, 1, O, — 1, — 2, — 3,

' Or, en général, plus la quantité retranchée est grande, plus le reste est petit; donc, pour conserver ce principe, même à l’égard des quantités négatives, il faut admettre que l’on a les relations ;

ré*ciproquement. on peut écrire

de là les conséquences suivantes :

166. Tout nombre négatif doit être regardé comme plus petit que zéro.

De deux nombres négatifs, celui-là doit être le plus petit qui a la valeur absolue la plus grande.

Ces nouvelles conventions naturellement introduites pour conserver une analogie, nous montrent que l’inégalité [2] — 7-< — 5 doit être regardée comme vraie ; la relation [3] — 7> — 5 doit donc être écartée ; or, elle provient de la multiplication des deux membres d’une inégalité 7>5 par un nombre négafif — 1 , donc, jamais on ne pourra multiplier les deux membres d’une inégalité par un nombre négatif, qu’à la condition de renverser l’inégalité.

Exemple. Soient les inégalités 7 >5

DES INÉGALITÉS DU rREMIER DECBE. 15"

Multiplions pur — 2 les deux membres de chacune d'elles; nous trouverons :

ce qui est faux; mais renvci'sons les deux membres de chacune, et nous aurons :

ce qui est vrai.

167. En résumé, le principe du n° 161 subsiste sans restriction; celui du n” 162 a lieu sous la condition de renverser l’inégalUé quand on multiplie ou quand on divise par un nombre négatif.

Quant au principe du n* 164, deux cas sont à distinguer :

1“ Si le degré de la puissance est impair, l’inégalité subsiste dans le même sens.

2® Si le degré de la puissance est pair, et que les deux membres soient positifs, l’inégalité subsiste dans le même sens.

3' Si le degré de la puissance est pair, et que les deux membres soient négatifs, l’inégalité a lieu en sens contraire.

4” Si le degré de la puissance est pair, et que les deux membres soient de signes contraires, on ne peut plus rien affirmer.

Exemples. I. — 2>— 5

donne (— 2)*>( — 5/

ou — 8> — 125,

donne

158 DBS INÉr,AUTiS DU PRBMIBB DB6RÉ.