IV. 2> — Sdonne (2)*<( — 3? ou

3>— 3 donne (3)*=( — 3)’ ou 9 = 9

5>— 3 donne (5)*>(— 3)* ou 25>9.

En résumé, pour élever les deux membres d’une inégalité à une puissance de degré pair, il faut, pour éviter toute chance d’erreur, que les deux membres de cette inégalité soient de mème,signe.

Des inégalités simultanées.

168. L’addition des inégîdités membre à membre a lieu sans restriction, quand ces inégalités subsistent toutes dans le môme sens.

Exbuplks.

Les inégalités

donnent

Les inégalités

donnent

■ Les inégalités

donnent

Semblablement, on peut soustraire membre à membre une inégalité d’une autre inégalité, pourvu que ces inégalités soient de sens contraire. Ce principe est la généralisation du principe (161) lorsqu’on l’applique exclusivement à la soustraction , ce tpii veut dire qu’une inégalité étant donnée , on peut retran-

DBS miCALITÈS DU PRBHIEB DBGRi. 159

cher une plus petite quantité du plus grand membre , cl une plus grande du plus petit.

Exemple. Retrancher membre à membre l’inégalité tl >2 de l’inégalilé 4<10; on trouve — 7<8.

Pour la mulliplication des inégalités membre à membre , il faut que les deux membres de chaque inégalité soient positifs, comme dans le cas de l’élévation à une puissance de degré pair.

Si, par exemple, on multipliait membre à membre les deux ineg*alités

on aurait — 14> — 3,

ce qui est faux.

La même observation s’applique à la division sous la condition de diviser le plus grand nombre par le plus petit, cl le plus petit par le plus grand.

Remakoi'E. D’après ce qui précède, on ne peut plus dire d’uue manière générale que : un produit est d autant plus grand que ses facteurs sont plus grands; et que le quotient de la division de deux nombres est d’autant plus petit que le diviseur est plus grand et le dividende plus petit.

Ces énoncés ne conviennent que dans le cas des valeurs absolues.

Résolution des inégalités du premier degré.

168 bis. Dans la discussion des problèmes, on est conduit à examiner des conditions qui consistent presque toujours dans des inégalités auxquelles une ou plusieurs inconnues doivent satisfaire. Pour trouver les valeurs de ces inconnues, il est souvent nécessaire de faire subir à ces inégalités des transformations analogues à celles qui servent à résoudre les équations.

Soit, par exemple, l’inégalilé

DBS INÉGÀLITiS DU mEHIBR DEGRÉ.

faisan l (ILsparaltre les (lénominateut's, en multipliant les deux membres par 6, il vient :

transposant le tenue lOx dans le premier membre, et 18 dans le second , il vient :

24a: — l(te> 18 — 5, d'où 14a: >13;

et par suite , ^ > fif-

Ün satisfera donc à l’inégalité [1] en donnant à x des valeurs arbitraires, pourvu qu’elles soient' plus grandes que Si , pour second exemple , on prend l’inégalité

ci qu’on exécute des transformations semblables aux précédentes, on trouve' successivement :

40 — 42a:<315— lOSar,

ou x<4jH|.

Toute valeur de x plus petite que 4 satisfera donc à l’inégalité [2].

Kn opérant de la même manière sur l’inégalité [31 60— éa;<15 — 9x,

on trouve ' 9x — 6x<i5 — 60,

Toute valeur de x plus petite que — 15 satisfera donc à l’inégalité [3]. .

DES t\EGAUTES IUT PREMIER DEGRÉ.

Remarque. Si l’inconniie x devait vérifier à la fois les inégalités [1] cl [2], elle ne pourrait recevoir que des valeurs comprises entre cl 4§j{.

Si cette inconnue devait vérifier à la fois les inégalités [2] cl [3], elle pourrait recevoir des valeurs arbitraires, pourvu qu elles fussent plus petites que — 15.

Enfin, si l’inconnue devait vérifier à ta fois les inégalilés [I] et [3] , le problème serait impossible. '

Considérons actuellement deux inégalités du premier degré 5 deux inconnues.

Soient, par exemple,

[1] âx- —

[2] 7x -f- .■)(/ >■ 26 , on déduit de ces inégalités :

et X >•

26 — ây

On pourra donner à y des valeurs arbilraacs , et pour chaque valeur de y, x pourra recevoir toutes les valeurs plus grandes que la plus grande des deux quantités

3y-f7 ü6 — àtj 5 ’■ ~ •

On aurait pu aussi déduire des inégalités [1] et [2]

Pour satislaire à ces deux conditions , on ne peut pas donner à ir des valeurs arbitraires, parce que y devant être compris

entre les quantités et la première de ces deux

(|unntilés restant toujours supérieure à y, il s’ensuit qu’on doit avoir :

d'où l’on déduit ou x>2iji.

Ainsi , X pourra recevoir ries valeurs arbilraires , pourvu qu'elles