CHAPITRE PREMIER

SIGNES DE L’ALGÈBRE. — CLASSIFICATION DES Dl. VERSES ESPÈCES D’EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES.

SOMMAIRE

Sï. Définition du calcul algébrique. — SS. Signes d’opérations.— S9. Des principales espèces d’expressions algébriques. — Ce qu’on entend en général par une expression algébrique. — 30. Quand dit-on qu’une expression algébrique est rationnelle ou irrationnelle. — 51. Quand

dil*on qu’une expression rationnelle est entière ou fractionnaire.

38. Ce qu’on appelle terme ou monome. — 33. Polynômes.— 34. Termes additifs d’un polynôme. — 58. Termes soustractifs d’un polynôme. — 36. Ce qu’on appelle évaluer un polynôme. — 37. Restrictions apportées à l’égard des soustractions indiquées dans un polynôme. — 38. Autre restriction relative aux polynômes. — 38. Usages de la parenthèse.

' Définition du calcul algébrique.

2T. La dénionslralion des théorèmes, et lit résolution des problèmes à l’aide de l’emploi des lellres ont lait déjà sentir la nécessité d’effectuer certaines opérations sur ces lettres ; nous avons reconnu que ces opérations ne sont, à proprement parler, que des indications de calculs arilhmcliqucs ; ces indications sont susceptibles d’une grande extension , et donnent lieu la plupart du temps à des transformations et à des simplifications.

Les règles relatives à ces transformations et à ces simplifica-

SIGNES DE l’algèbre. 16

ms constituent \aealeul algébrique, que nous définirons ainsi l'il suit ;

Le CALCUL ALGÉBRIQUE a pour but de substituer à un système opérations arithmétiques un autre système d'opérations qui conisent identiquement au même résultat numérique que le premier I arithmétique un calcul a pour objet de déterminer un ou pluurs nombres d'une valeur unique et déterminée).

• Signes d’opérations,

S8. Rappelons succinctement les principaux signes d'opérams dont plusieurs, déj\’i connus en arithmétique, ont été iployés dans l’introduction.

Une croix droite est le signe de l’addition, et se prononce

x + 4 a; plus 4.

a; -f a d X plus a plus b.

L'n trait horizontal — est le signe de la soustraction, et se énonce moins.

X — 4 a; moins 4 ,

X — a — b a; moins a moins 6.

ne croix oblique X ou un point . est le signe de la muUi- ::ation, et se prononce multiplié par. ..

x'X.Aomx.A a: multiplié par 4.

a;XaX6 ou a;. a. 6. x multiplié par a multiplié par b.

rrès-souTcnt on indique la multiplication par (a simple juxosition des facteurs en supprimant tout signe interposé, isi ab a la même signification que a X 6 ou que a.b\ pareillent, abc a la môme signification que oXôXcouque«. ô.c. ielte abréviation n’est pas applicable aux nombres; 23, par niple, ne peut pas signifier 2 multiplié par 3.

In eoelJicient est un niulliplicateur numérique placé en avant ne quantité sans interposition de signes, luns les expressions 3a, 0,75a les nombres 3, f et 0,75

t des coefficients de a.

.SlUNtS DE L'ALbÉBHB.

Toutefois, il est bon de remarquer que 56, j>ar exemple, signifie, d’après la déQnition du coefficient, 6 X 5 et non 5x6.

Une quantité telle que a est censée avoir pour coefficient i'untïe. En effet, la ou une fois a est évidemment la même chose que a.

Le coefficient tire son origine du cas particulier de l’addition ' où les parties de la somme sont égales entre elles : 0+0 = 2a. a + a + a = 3a — Ainsi, primitiven)ent le coefficient est un nombre entier; c’est donc par extension que tout mulliplicateur numérique d’une tpiantité littérale est un coefficient de cette quantité.

Un exposant est un nombre écrit à droite et un peu au-dessus d'une quantité pour indiquer combien de fois cette quantité doit être prise comme facteur. Le résultat provenant de ce ' produit de facteurs égaux se nomme puissance , dont le degré est indiqué pur l'exposant.

a*, ou aa, indique la seconde puissance de a ou le carré de a, et, par abréviation, s’énonce a deux, a*, ou aaa, indique la troisième puissance de a ou le cube de a et s’énonce a trois. a*, ou aaaa, indique la quatrième puissance de a, et s’énonce a quatre.

En général, a".... indique la m* puissance de a, et s’énonce a puissance m (on ne pourrait p:ts dire am, parce qu’alors on confondrait a" avec oX«). Réciproquement, a est la racine w de o".

Une quantité telle que a est censée avoir pour exposant l’unité. En effet, a' signifie que la quantité a est prise une seule fois comme facteur, ce qui ne peut représenter autre chose que a.

On commetlruit une grave erreur si l’on confondait le coefficient d'une quantité avec l'exposant de cette quantité.

Soita=10 3a=t0 + 10 + 10 = 30

Le coefficient et l’exposant peuvent entrer simultanément dans une même expression ; de là des expressions telles que 2a?, 40*6*0, qui signifient <^X2; a?xè’XcX4, ou bien encore aaa X 2 ; aaa X èà X c X 4.

L’ensemble de deux points : placés l’un au-dessus de l’autre est le signe de lu division, et sc prononce dtoùé par.

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SIGNES DE l’algèbre.

Le plus souvent on emploie la forme fractionnaire; a : A ou ^

s'énonce a divisé par 6; dans le dernier cas, on dit encore, par abréviation , a sur b.

L’ensemble de deux traits horizontaux placés l’un au-dessous de l’autre, =, est le signe de l’égalité, et se prononce éffale.

Les deux quantités entre lesquelles le signe est interposé sont les deux membres de l'égalité; la quantité placée à gauche en est le premier membre ; la quantité placée à droite en est le second membre.

a = b, a égale b, indique que la quantité désignée par a est la même que la quantité désignée par b. Il est utile de remarquer que l’égalité a = b comporte iinplicitcment l’égalité b = a (c’est ce qu’on appelle renverser une égalité).

L’ensemble de deux droites concourantes, < ou >, est le signe de ïinégalité; ce signe se prononce plus petit que dans le premier cas, cl plus grand que dans le second. La plus grande des deux quantités est placée du côté de rouvcrlurc.

Les deux membres de l'inégalité sont les deux quantités entre lesquelles le signe est interposé.

a < 6 O plus petit que 6,

6 > a b plus grand que a.

Le signe que l’on appelle radical, est le signe des racines, et s’énonce racine de; on le place en avant de la quantité dont on doit extraire la racine, de manière que la barre horizontale de ce signe couvre la quantité dont il s’agit.

L'indice du radical est un nombre placé dans l’ouverture du signe, et qui indique le degré de la racine à extraire.

On supprime l’indice du radical dans la désignation des extractions de racines carrées.

y/ a* — 6* racine deuxième ou racine carrée de a* — 6*.

racine troisième ou racine cubique de 18o’è*.

racine quatrième de o*è*.

et ainsi de suite.