V. Supposons que, par suite d’une hypothèse particu
Discussion DK L’ÊQUATION. 171
Hère, le coefHcienl de x s'évanouisse ; l’équalion [I] se réduirn alors à
[3] 0Xx = 6;
mais, tout nombre mis pour x et multipUé ensuite par 0, donne 0 pour produit, donc
égalité impossible, en général, à moins que l’on n’ait 6=0, auquel cas, l'équation [1] devient
[4] Oxa;=0,
ou 0 = 0;
quelle que soit la valeur qu'on attribue à x.
En résumé , l'équation sera impossible lorsque a sera nul sans que 6 le soit, puisque aucun nombre mis poui- x ne saurait la vérifier; au contraire, cette équation sera indéterminée lorsque a et 6 seront nnls simultanément , puisqu’elle se vérifiera pour tout nombre positif ou négatif mis à la place de l’inconnue.
, Des symboles ^ et
177. VI. Lorsque l’équation est impossible, la valeur de X déduite de la formule x = - devient x=^: lorsqu’au contraire a 0
l’équation est indéterminée, la même formule donne a:=g.
L’expression g représente en effet tous les nombres, puisqu’un
quotient quelconque, positif ou négatif, multiplié par le diviseur 0, donne 0, et reproduit , par conséquent , le dividende;
aussi , est-on convenu de regarder ^ comme le symbole indétermination * *.
* Nous avons dit que a* était le symbole de l’unilé; or, a* iirovieDt de — ,
fl"
qui pour a=o deviendrait — nu -, c'est-à-dire l’indéterminé. Ainsi quand 0* 1»
nous poserons = i , il sera sous-entendu que a n’est |>as nul.
I)KS SïMBOUS.
VU. Quant à l’expression cfle ne peut rien représenter par
cllc-méme, puisqu'aucun nombre multiplié par le diviseur 0 ne pourra reproduire le dividende b, qui, par hypothèse, est différent de O; remarquons d'ailleurs qu’il y aurait un parfait accord entre la valeur de l’inconnue déduite de la formule et la valeur déduite de l’équation si dans chacun des cas singuliers précédents on résolvait mécaniquement l’équation. Effectivement, les
équations [3] et [4] donneraient, l’une et l’autre
VIH. Au lieu «le supposer brusquement a=0, concevons que
dans le quotient a désigne une quantité susceptible de recevoir
diverses valeurs, et supposons que ces valeurs, décroissant successivement, puissent dépasser tout degré possilde de petitesse; dans ces hypothèses, il est évident que - croîtra à me-
sure que a décroîtra; mais ce qui n’est pas évident c’est que ce quotient pourra dépasser tout «legré possible de grandeur k, par exemple, quelque grand que puisse être le nombre k.
En effet, satisfaire à la condition
revient à satisfaire aux suivantes
b'^ak,
* D'aiirès cela , les équaliuns que nous avons résolues aux n"‘ 121 et 122 , savoir :
5x 4" V =; Sx 4- 7 ; .Sx 4“ 4 — Sx 4" ^ , ilonneraienl respecUvemenl
— — ~ — IS — .■>)x = ;l; 0X1 = 3; X=-^
Sx — 5l = V — V; (S — 5)x = 0; 0XX = 0; x=||.
DKS SY.MBOI.KS.
rs
or, celte condilion peul lonjours ôlrc remplie , puisque <«, par hypothèse , peul devenir plus petit que toute quantité donnée ,
cl, par conséquent, moindre que quelque petit que puisse
être j donc aussi, l’expression - peut dépasser tout degré pos-
sible de grandeur, en prenant a suffisamment petit.
Si i’on prend, par exemple,
les valeurs corrcspondanles de ^ seront lOô, 1006, 10006
or, ces valeurs sont de plus en plus grandes, et finiront par dépasser toute grandeur donnée, puisque les nombres euxmômes peuvent dépasser toute grandeur donnée, et qu’ici la quantité 6 sert, pour ainsi dire, d’unité. C’est pour cela que
l’on est convenu de regarder une expression de la forme ^
comme le symbole de l’infini. On le représente souvent par un
huit couché, et alors ^ a la môme signification que oc .
IX. L’infini ne pouvant jamais être pris sur le fait, le symbole de l’infini indique en général une impossibilité.
Dans les cas oii le symbole de l’infini se présente comme conséquence de la continuité d’un certain dénominateur qui peut devenir moindre que toute quantité donnée, il indique qu’aucun nombre n’est assez grand pour représenter la quantité cherchée.
X. 11 arrive quelquefois dans certaines parties des malliéma-
tiques que des quantités prennent la forme g en môme temps
que d’autres liées avec celles-là atteignent des valeurs finies el assignables qui peuvent répondre à certaines questions. Dans
ces cas exceptionnels, la forme ^ n’indique plus une impossibilité. (Trigonométrie).'
