XI. L’infini est parfois susceptible de deux acceptions cnn

DES symboles.

traînes : on peut avoir à distinguer le cas de Vinfi,ni positif, du cas de l’in^n» négatif.

Exemple. Si dans la fraction A et a sont de même signe;

pendant que a dépassera tout degré possible de petitesse, les quotients iront sans cesse en augmentant, en restant constamment positifs; mais si 6 et a sont de signes contraires, ces quotients seront tous négatifs; c’est pour cela que l’on dit que

l’expression ^ représente l’infini positif, ou l’infini négatif ;

quand les deux cas sont possibles, la valeur de ^ est ambigun. En conséquence, on peut avoir selon les cas ;

g := ±: 00 (p/ttf ott moins l’infini).

L’expression ^ n’est pas toujours un symbole d'indétermination.

i78. XII. L’expression avons-nous dit, est un symbole

d’indétermination ; toutefois , on rencontre des cas où cette indétermination n’est qu’apparente.

Exemple. Trouver la valeur de la fraction

quand on y suppose b = d.

Introduisant cette hypothèse , la fraction devient

Mais, si avant de supposer b=d on décompose en facteurs les

DES symboles. 175

deux termes de la fraction proposée, ce qui dans le cas actuel ne présente aucune difficulté , un pourra écrire

(b — dni^ + bd + cPy

Or, sous cette forme on voit immédiatement que le symbole ^

est dû à la présence du facteur commun b — d qui, dans le cas particulier de 6 = d, fait évanouir simultanément tes deux termes de la fraction proposée. Une pareille hypothèse équivaut, comme on le voit, à la multiplication par 0 des deux termes de la fraction; une opération de ce genre n’étant pas permise, nous diviserons préalablement haut et bas par b — d, après quoi nous supposerons 6=d; si la fraction ainsi simplifiée se présente encore sous ta forme de 5, il y aura indétermination; dans le cas contraire, on aura sa valeur unique et déterminée.

On obtient ainsi et par suite.

g(6 + d) l^-\-bd-\-<F

XIII. Toutefois , il est bon d’observer que si le facteur commun qu’on a supprimé était essentiellement lié avec les conditions d’une question, on n’aurait plus le droit de le faire disparaître.

XIV. En conséquence , si pour une certaine hypothèse une fraction algébrique prend la forme g, on la simplifiera d’abord autant que possible; trois cas pourront alors se présenter : l“le facteur commun qui s’évanouit entrera le même nombre de fois au numérateur et au dénominateur; 2° ce factem’ entrera plus de fois au numérateur qu’au dénominateur; enfin, 3° il entrera plus de fois au dénominateur qu’au numérateur. Dans le premier cas, la valeur de la fraction est déterminée ; dans le deuxième elle est nulle ; dans le troisième elle est infinie.

Exemples. Les fractions

(x — gyxM (x — tt)*XM {X — a)*xM

(« — a)*xN' (X — a)’xN’ {x — aj*xN’

DES ^VMRnLES.

se présenlt'iil toiilcs trois sous la fomic de }!, quand on suppose x=a. Mais, par la suppression du facteur commun x — «. ces fractions deviennent respectivement

M (x — g)xM M ,

N’ N ’ (x — »)xN’

et, par suite, pour x = a.

XV. Remarque. Si l’indétermination, au lieu de provenir d’une seule hypothèse , comme ci-dessus {b=à ; x=a) sc présente par suite de deux hypothèses, eUe peut ne pas tenir en général à

l’évanouissement d’un même facteur; dans ce cas le symbole ?

indique une véritable indétermination. (Les bornes de ce traité ne nous permettent pas d’entrer dans de plus longs détails à cet égard.)

XVI. Le syml)ole de l’indétermination se présente quelquefois sous la forme de

En effet , d’une part =

lors<|u’on suppose M = 0 et N = 0.

Mais , d’autre part , ^ ^ ^ ■»

bole d’indétermination.