PROBLEME UES COL’RRIËHS

La uiardie criiii counier esl uniforme s’il parcourt tics espaces égaux en des iiilervalles de temps égaux, quels que soient ces inlervalles égaux. Si , par exemple , un courrier parcourani 4 kilomètres en une heure, parcourait un seul kiloinèlrc dans la première demi-heure, et 3 kilomètres dans la seconde, le mouvement ne serait pas uniforme. L’uniformité du oiouvement exige qu’en fractionnant le temps comme on voudra en inlervalles égaux , l'espace parcouru dans chacun de ces intervalles égaux soit constamment le même.

Dans le mouvement uniforme, on appelle vitesse l’espace parcouru pendant l'unité de temps. Si la vitesse d’un courrier est V , il parcourra \ dans une unité de temps , 2V dans deux unités de temps, 3V en trois unités de temps , et ainsi de suite.

De même, en i d’unité de temps, il parcourra^ ; en J d’unilés de

temps, -J-, et ainsi de suite, d’où il suit que pour calculer

l'espace uniformément parcouru pendant un temps quelconque , il suffit de multiplier la vitesse par le temps, car la question est raniejiéc ii trouver un nombre qui se compose de V , comme le temps se compose de l’iinité de temps.

Cela posé, soit x le temps qui s’écoule depuis l’instant du départ simultané des deux courrier jusqu’à leur rencontre que nous supposerons avoir lieu en un certain point R. D’après les explications préliminaires, le courrier qui part du point A ayant une vitesse t> , parcourt un espace AH roprésenté par vXx ou vx pendant le temps x ; pareillement , l’espace 3R parcouru dons le même temps par le courrier qui part du point B aura pour expression v'x ; or, le premier courrier parcourt de plus que le second l’espace AB, ou d, qui les sépare à l'instant du départ, ou aura donc l’équation du 1'’ degré à une inconnue

[1] vx — v'x-\-d

ou vx — v'x = d

qui donne

Tel est le temps au bout duquel s’effectuera la rencontre

PROBLÈME ÜEâ COIRRIERS.

deinaiulce; par suite , courrier sera

l'espace vx parcouru jiur le premier vd

et l'espace v'x parcouru par le second courrier sera

[fl

Discussiou du problème.

Pour abréger , nous désignerons par a, b les deux courriers qui se trouvent au même instant aux points A et B.

Le signe de la valeur de x dépend du dénominateur v — v'. Il y a donc lieu à considérer si v est plus grand ou plus petit que v' , et comme cas limite , v=v'.

I" Cas.

Les expressions [2] [3] [4] sont positives; ainsi , on a une solution conforme à l’énoncé. En effet , le courrier a marche plus vite que le courrier b, il doit donc finir par l’atteindre.

2* Cas. v<o'.

Les expressions [2] [3] [4] sont négatives ; donc le problème est impossible tel qu’il est énoncé. En effet , le courrier a va moins vite que le courrier b qui a une avance sur lui ; et qui en prendra toujours de plus en plus , ee qui rend la rencontre impossible.

Pour avoir une solution positive, changeons x ea—x dans l’équation [1] , elle deviendra

— vx= — v'x-\-d

ou [5] v'x=vx-\-d

Cette équation exprime qu'à l’instant de la rencontre te chemin parcouru par le courrier b surpasse de d le chemin parcouru par le courrier a, ce qui ne peut être qu'aiitanl que la

l’HoniÈMK DF.S COnUIIEItS. 181

renconlre aura ou lieu on un point R' situé au dclfi du point A par rapport au point B,

Par conséquent , la nouvelle équation [5] convient au cas où la rencontre aurait eu lieu avant que les courriers fussent arrivés aux points respectifs A et B , ce qui modifie l’énoncé du problème proposé ainsi qu’il suit ; Trouver {toutes choses égales ' d’ailleurs) depuis combien de temps les courriers h et & supposés en marche depuis un temps indéfini, se sont rencontrés avant d’arriver respectivement aux points A B. D est clair, en effet , que le courrier b poursuivant le courrier a et marchant plus vite que lui, aura dù l’atteindre en un certain point R', à partir duquel il n’y a plus de rencontre possible.

On voit donc que la solution négative correspond à un temps passé au lieu d’un temps futur ; ainsi , le changement de signe de l’inconnue correspond à un changement de sens dans l’acception ; en même temps , ce qui est conforme à la théorie des quantités négatives , les espaces représentés par vx et v'x , qui changent aussi de signes, sont comptés en sens contraire; par conséquent, le changement de signe pour les espaces parcourus correspond aussi à un changement de sens par rappoti à celui dans lequel marchent les courriers.

3* Cas. v=v'.

Les expressions [2], [3], [4], prennent des valeurs infinies; donc le problème est impossible. En effet, les courriers marchant également vite, resteront toujours à la distance d qui les sépare quand ils se trouvent en même temps aux points A et B ; donc toute rencontre est impossible avant comme après.

Si, au lieu de supposer nulle la différence des vitesses, on la suppose seulement très-petite, l'impossibilité cesse et la rencontre a lieu d’un côté ou de l’autre à une très-grande distance des points A et B, de sorte que v — «' = 0 rend toute rencontre impossible parce que la jonction devrait se faire à des distances de A et B, plus grandes que toute longueur donnée. On dit, dans

PROBI.ÈME DES COÜRKIERS.

ce cas que le point de rencontre s’en va à rinflui, ce qui veut dire, en d’autres termes, qu’il n’y en a polrit.

Remarque. Si, en même temps que v = v\ on a d = 0, les expressions [2], [3], [4], se présentent chacune sous Informe j}; et en effet, dans ce cas, les deux points A et B se confondent, et comme la vitesse est la même , les courriers sont toujours ensemble avant comme après; la rencontre a donc lieu partout, et la forme g indique ici une véritable indétermination, ce qui confirme la remarque (XIV, chap. tu), puisqu’elle résulte de deux suppositions distinctes, rf =i 0, v — v' — o.

Applicalimi des t|iianlilé$ oégatives au problème précédent.

182. XIX. Le problème précédent est susceptible d’une plus grande extension , parce que , ainsi que nous l’avons vu , les quantités négatives correspondent à des changements d’acceptions.

1® Supposons que le courrier b arrivé en B retourne sur ses pas pour aller au devant du courrier a ;

Pour exprimer cette condition, nous changerons le signe de sa vitesse, ce qui fera changer en même temps le signe de l’espace parcouru. L’équation [l] deviendra alors

vx -\-v'x = d

qui donne la solution toujours positive r —

En môme temps les espaces parcourus sont et

ils deviennent égaux chacun à pour t> = v'; ainsi, toutes les circonstances s’accordent parfaitement avec la nature de la question.

2* Les deux courriers marchent tous deux en sens contraires. A (# B

PRUBI.ÈMK DES nU’RIllEHS. 183

Pour exprimer celle condition nous changerons h la fois les signes lie v et de v\ et l'équation [I] deviendra

v'x = vx tl.

d’où X = « •

La solution est positive ou négative selon que l’on a v">v, ou v'<v, ce qui s'accorde avec la discussion primitive du problème.

3” Le couiTier a marche vers la gauche, et le courrier b vers la droite.

R'" rf

Changeons» en — », et l’équation [1] deviendra — vx — v'x -f- (/

OU

vx — d — v'x ;

d’où

Cette solution essentiellement négative indique que la rencontre a lieu avant que le courrier a soit en A , et que le courrier b soit en B. En effet , si la rencontre avait lieu en R”, le courrier a, par suite du sens du mouvement, aurait déjà passé en A, par conséquent, le courrier b aurait déjà passé en B, donc ce dernier serait au delà du point B en R" , par exemple , ce qui exclut la rencontre ; de même , si la rencontre avait lieu en R", le courrier b aurait passé en B, par conséquent le courrier a aurait passé en A , et serait en un certain point R", ce qui exclut encore la rencontre; donc, dans le cas actuel, la rencontre ne peut avoir lieu qu’en un certain point R’, situé entre A et B, par conséquent avant

que a soit eii A , et que b soit en B , c’est-à-dire dans un

l'KOBI.FMK DES r.Ol'URIERS.

temps antérieur ^ l’arrivée des courriers aux points A et B. Quant aux distances respectives de R'' aux points A et B, elles

sont représentées par — “pp — indique

que ces distances sont comptées en sens contraire du mouvement des courriers à partir de ces points ; ainsi, la solution algébrique avec ses valeurs négatives est parfaitement d’accord avec toutes les circonstances du problème.

ÉOt’ATION? GÉNKBALES lU' PREMIER DEGRÉ