CHAPITRE IV

ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU PREMIER DEGRÉ A PLUSIEURS INCONNUES. — RÉSOLUTION DE CES EQUATIONS.

SOMMAIRE

183. Équation la plus générale du premier degré à deux inconnues. Sa résolution. Ce qu’elle suppose. — 184. Équations générales du premier degré à deux inconnues. Forme symétrique et régulière de ces équations. Leur résolution d’après les méthodes d’élimination déjà connues. — 183. Méthode de Bezout. — 186. Remarques. Loi de formation des valeurs. Application à la résolution des équations numériques. — 187. Équations générales du premier degré à trois inconnues. Méthode de Bezout. — 188. Règle générale pour résoudre par cette méthode n équations à n inconnues. — 189. Remarques. Loi de formation. Application de celte loi à la résolution de quatre équations générales à quatre inconnues.

Des équations générales du premier degré à deux inconnues.

183. L’équation la plus fcénéralc du premier degré à deux inconnues est

[1] ax-\-by — c

a, b, c étant des quantités quelconques, positives ou négatives. Nous avons fait remarquer au n° 128, qu’une semblable équation laissait arbitraire l’une des inconnues. Soit y cette inconnue; on peut écrire

et attribuer telle valeur qu’on voudra à y; par suite, la formule [2] donnera à chaque fois pour x la valeur correspondante à celle de y. La résolution de l'équation [1] en nombres

186 k«;UATIONS (iÉNKRAI.KS DI' PKRMI^ DEr.RK

entiers appartient à l’analyse indéterminée, ainsi que nous l’avons déjà observé au n“ 142.

184. Si une équation à deux inconnues est insuffisante pour déterminer les valeurs de ces inconnues, nous savons qu’en général , il n’en est plus de même lorsqu’on a deux équations entre deux inconnues; nous disons, en général, car nous avons résolu an n° 139 deux systèmes d’équations qui ont conduit l’iin à 0=3, l'autre à 0 = 0. Ces particularités suffisent pour montrer la nécessité qu’il y a de comprendre dans une discussion générale les particularités remarquables qui peuvent se présenter dans les équations du premier degré à plusieurs inconnues.

Pour donner aux formules que nous allons chercher une forme régulière, nous désignerons les coefficients d'une même inconnue par une môme lettre; et nous affecterons cette lettre d’un accent dans la deuxième équation , de deux accents dans la troisième, et ainsi de suite. D’après cela, les équations les plus générales du premier degré à deux inconnues seront

[1] ax-\-by = c,

[2] (éx-\-Vy = c'\

a, h, r , a', b', c', désignant des quantités connues, positives ou négatives.

La théorie des quantités négatives nous permettant de résoudre les équations ci-dessus dans toute leur généralité, appliquons-leur les méthodes d’élimination qui ont déjà été exposées au chapitre (II) du livre IV.

Méthode par rédiicUon.

Pour éliminer y , par exemple , multiplions [t] par é'; el [2] par — b , c’est-à-dire par le coefficient de y changé de signe dans la première équation; puis, ajoutons membre à membre les deux nouvelles équations, il viendra

d'où [3]

(ab' — ba')x = rà' — bc'.

cb' — bç’ ah’ — i«'’

A PI.ISIEIRS I.NCONNI ES.

Si on voulait éliminer x, on inultiplierail [1] par n, f-2] par — a , et on ajouterait, ce qui donnerait

ac' — ca'

^ ah' — W

Ainsi, au lieu de retrancher ou (['ajouter les deux nouvelles équations, ainsi qu’on le faisait primitivement selon que les coefficients de l’inconnue étaient égaux et de môme signe, ou égaux et de signes contraires, on pourra toujours faire en sorte que l’élimination se fasse par addition. Cetle manière d’opérer est encore un avantage de l’emploi des quantités négatives.

Métiiode par comparaison.

Éliminons y.

[1] donne y = î—

[2] donne

égalant ces deux valem-s , il vient :

c — ax c’ — a'x

d’où eh' — a6'«=éc'— 6a'x;

. .. cb‘—bc’

et par suite,

Pour éliminer X, on résoudrait les équations [1] et [2] par rapport à cetle inconnue, après quoi on égalerait les deux valeurs. . ' . * ' (

Méthode pur subsUluUon. v-.. .

L’équation [2] donne

188 KÜI’ATIONS C.KMÉRaI,ES Dl PREMIER DEGRÉ

substituant dans [1], on a

d’où

et par suite.