IX
bc' — ba'x
ab'x-^hc' — ba'x =cb'\
cb' — bc'
^ nh' — bn’‘
On peut obtenir directennent la valeur de y, mais on peut aussi la déduire de celle de a: ; il suffit pour cela de substituer la valeur trouvée dans l’équation [4], ce qui donne successivement
, ro'ft' — bac' nlic' — ba'c' — ca'b'-\- ba'c' ub' — ba! ab' — ba'
ab'c' — ca'b' ab’ — ba'
ac' — co'
~ ab' — ha''
(On a supprimé le facteur commun b' ce qui suppose implicitement qu’il n’est pas nul.)
Méthode de Bexoul.
185. Bezout a attaché son nom à une méthode d’élimination qui consiste à éliminer d’un seul coup toutes les inconnues moins une.
Soient toujours les équations générales
[1] <»a;-|-fty = e,
Multiplions les deux membres de l’équation [1] par un nombre quelconque et indéterminé — m , et laissons l’équation [2] telle qu’elle est ; il viendra
— amx — bmy = — cm, a'x -f - b' y = c' ;
A PLCSIKURS INCONNUES.
ajoutons membre îi membre et nous aurons [5] (a' — am)x-\-{b' — bm)y~ c — cm .
Cela posé, pour éliminer y, par exemple, on profitera de l’indctcrmination de m pour égaler à zéro le coeflicienl de cette inconnue , ce qui donne l'équation du premier degré
d’où
b' — bm — 0, b'
par suite , l’équation [5] se réduit à
(«' — am)x = v' — cm ,
d’où
c' — cm a' — am ’
OU bien encore , en renversant l’ordre des soustractions , ce qui revient à multiplier haut et bas par — 1 ,
cm — c'
am — O
Mettant pour m sa valeur, on trouve , réductions faites ,
eb'— bc'
^ ab' — 6a'"
Si l'on voulait éliminer x afin d’avoir y, on poserait a' — «ttn = 0,
doù .> .► w=—
et le reste s’achèverait sans difficultés.
186. REMARonss. I. La substitution des valeurs des inconnues dans les équations [1] et [2] établirait à posteriori, l'exactitude de ces valeurs. (Nous engageons le lecteur à faire le calcul.)
II. La régularité des équations [1] et [2] permet de déduire par de simples mutations de lettres, la valeur de y de la valeur
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190 KOL’ATIONS UÉNÉBALES DU PREMIER DEGRÉ
de Æ, et vice versa; en effet, les équations [1] et [2] restent les mômes lorsqu’on j change x en y, et y eux; a en b, et ô en a, en conservant d’ailleurs les accents; par conséquent, la valeur de X, savoir :
cb’ — bc'
<ib — ba
étant obtenue, on aura inuuédiatement celle de y en changeant dans ta précédente a en b, a' en b', et vice versâ; faisant ces changements , il viendra
en' — ac' ac' — ca'
y — ha'— ah' ~ ab' — ba''
Tel est le premier exemple de cette symétrie les formules algébriques qui joue un rôle si important dans les diverses parties des mathématiques.
ni. La comparaison des équations [1] et [2] et des valeurs trouvées pour les inconnues , fait apercevoir une loi de formation qui permet d’obtenir immédiatement ces dernières sans résoudre les équations.
Le dénominateur al/ — ba' est commun, et ne se compose que des coefficients des inconnues. Pour l’obtenir : on écrit tur une même ligne les deux permutations ab et ba ; on interpose le signe— . ce qui donne ah — ba; enfin, on accentue la dernière lettre dans chaque terme.
Pour former le numérateur de x , on remplace dont le dénominateur les lettres a et a' par les lettres c et c'; pour former le numérateur de y, on remplace les lettres b et b' par les lettres c et c'; c’est-à-dire que le numérateur de chaque inconnue s'obtient en échangeant dans le dénominateur commun les lettres qui servent de coefficients à cette inconnue contre les termes tout connus et en conservant les accents.
IV . Les valeurs générales [3] et [4] permettent de trouver immédiatement les valeurs des inconnues dans des équations particulières, sous la condition toutefois que les quantités données entreront chacune avec les signes dont elles sont affectées dans les équations proposées.
A rtUSIEl'RS I^CO^NllES.
Exemple. Hcsoiulrc les équations
Sx — 3y = I,
Pour identifier ces équations avec les équations générales [1] et [2], nous poserons a=5, 6=— 3, c = l, o'=— 4, ô' = 7, e'=13, et nous aurons, d’après les règles des quantités négatives ,
