Soient actuelteinent les équations

ax-\-by -(- C5 = d.

Uélhode par rédiicijon.

Pour éliminer z, on multipliera [1] par — c', [2] par r, el l'on ajoutera les deux nouvelles équations; on multipliera [1] par — e", [3] par c, et l’on fera la somme après quoi on éliminera y, par exemple, entre les deux nouvelles équations ainsi obtenues.

Méthode de Uezoul.

Cette méthode se présente ici avec avantage , puisiju’on élimine d’un seul coup deux inconnues.

A cet effet, multiplions respectivement les équations [1] el [2] par les facteurs iniétermitUs — m, — n ; laissons réqualioii [3] telle qu’elle est, et ajoutons les trois équations, il viendra

[4] («" — >na — na')x -j- (6" — mb — nb')y -|- (c" — me — nr')z = (/" — md — nd'.

ÉOrATIONS (JEXÉHALES DI’ IKEMIER DEGRÉ

Cela posé, si nous voulons avoir la valeur de x, nous piofiterons de riiidéternnnalion des lacleurs m cl n poiu’ égaler à zéro les coclTicienls des ineonnues y cl s; de là les équations :

[5] mb + nb' = b",

[6] me ne' ~

(jui serviront à trouver wi et »; par suite , l'équation [4] se réduit à

(«" — ma — nu')x = d' — md — nd',

d’où

d" — md — tul' .

a" — ma — »«'’

or, les équations [5] et [6] donnent

c'b" — b'c" bc' — cb' ’

bc" — cb" be' — cb''

Par suite, la valeur de x devient par la substitution de ces quantités,

cb"—b'c" , bc" — cb"

bc' — cb' •“ bc'—cb' ■“

„ c'b' — b'c" bc'' — cb" .

“ bc' — cb' ■“ bc'—cb'

bc'd" — cb'ir — de' b" + db ’c" — bd'c" + cd'b” bc'a" — cb'a" — ae'b" ab'd' — ba'c" -j- ca'b"'

(On a supprimé le dénominateur commun bc — cb', ce qui suppose qu’il n’csl pas nul.)

On a l’hahi tilde d'écrire ainsi qu’il suit, la valeur de x, en vertu du principe général de rinterverlisseincnl des Icrincs d’un polynôme :

ilb'c' — dc'b" -\~rd b" — bd'c" +- bc'(f — cb'd'

tib'c' — n&b" -)- eu' b" — ba'c'' -f- bca" — cb'u"'

A PLUSIEURS INCONNUES

.. Pour obtenir y on égalerait à O les coefficients de a; et de a dans l’équation [4] ; et , enfin , pour avoir z, on égalerait à O les coefficients de x et de y.

Mais la forme symétrique et régulière des équations littérales [1]» [2]i [3], permet de poser immédiatement les valeurs de deux des inconnues dès qu’on a trouvé la troisième. A cet effet, remarquons que si l’on permute les lettres y dix, b et a, et que l’on conserve les accents, les équations proposées ne seront point altérées, d’où il suit que le calcul qui donnerait la valeur de y, ne différerait de celui qui a donné la valeur de x que par la mutation réciproque des lettres b et a. Une observation analogue montre que l’on aurait la valeur de z en permutant les deux lettres <? et a dans l’expression de x. On obtient ainsi , après des inversions de termes ,

ad'e" — ae'd" -|- ca'ct' — da'c" dc'o" — cd'd'

^ ^ ^ ab'd' — ae'b" -|- ca'b" — ba'c' -j- bc'à' — cb'a!' ’

ab'd' — ad' b" -i- da'b" — ba'd' + bd’ al' — db'd'

^ ^ ab'd' — oe'é" -j- ca'b” — ba'd' -j- ôc'o" — cb'a!''

188. En général, |?OMr résoudre n équations littérales du premier degré à n inconnues par la méthode de Bezout, on multipliera par des quantités indéterminées toutes les équations moins une; on ajoutera membre à membre toutes ces équations, ainsi que celle qui n'aura pas été multipliée, ce qui fournira une' nouvelle équation; on égalera à 0 les coefficients des n — 1 inconnues qu’on veut éliminer; on résoudra l’équation à une seule inconnue n, par exemple, on cherchera les valeurs des facteurs indéterminés à l’aide des n — 1 équations, provenant de P évanouissement des n — 1 inconnues; ces valeurs étant trouvées, on les substituera dans la valeur de x , après quoi de simples permutations de lettres fourniront les valeurs des n — 1 autres iriconnues.

189. Reharques. I. La méthode des facteurs indéterminés peut être en défaut dans des cas particuliers. Pour obvier à cet inconvénient, il suffirait d’employer autant d’indéterminées qu’il y a d’équations. (Le lecteur qui désirera approfondir cette question , fera bien de lire la note insérée sur ce sujet dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, tome VI, page 409, par