ÉQUATIONS GÉNÉRALES DD PSEMIER DEGRÉ

M. Amiot , professeur de matliématiqucs supérieures au lycée Saint-Louis.)

n. La substitution des valeurs [7], [8], [9] dans les équations [1]. [2], [3], établira a posteriori l’exactitude des valeurs de ces inconnues.

Formation des valeurs.

III. Les valeurs [7], [8], [9] ont le môme dénominateur, lequel ne se compose que des coefficients des inconnues.

rouir composer ce dénominateur, on prend d'abord les deuxper~ mutations des lettres a el b affectées des signes qu'elles ont dans h cas de deux inconnues, savoir : +ab, — ba; on introduit, è partir de la droite, la lettre c, successivement à la troisième place, à la deuxième et à la première; quant aux signes, la première permutation de trois lettres a le signe -f- ou le signe — , suivant qu’elle est déduite de ab ou de — ba; pour les autres permuta^ lions on alterne les signes; enfin, on met un accent sur la seconde lettre, et deux accents sur la troisième dans chaque permutation; le dénominateur ainsi formé, est

[10] ab'c" — ae'b" -j- cal>" — ba'c" -1- bc'a" — cb'a".

Pour obtenir le numérateur de chaque inconnue, on échange dans le dénominateur commun les coefficients de cette inconnue contre les termes tout connus d, d', d".

IV. Celte loi fort simple, qui a été établie pour la première fois par Laplace , est générale. Appliquons-la aux quatre équations littérales suivantes :

ax-{-by -{-cz -{-du =e, a'x -\-b'y -f c'3 +d'u =c', a"a: + è"y-l-c"5+d"«=e", a^x + ry -I- cTs + <Tu = e\

Prenons successivement chaque terme du polynôme [10], et laissons de côté les accents; dans chacune de ces permutations de trois lettres introduisons la lettre d à toutes les places en

A PLCSIBÜBS INCOIWtïS.

commençant par la Jroile ; conservons àla première permutation de quatre lettres le signe que porte la permutation correspondante de trois lettres , et alternons ensuite les signes, il viendra

-\-abc

— acb

+ CÆÔ

— bac

-|- bca

— cba

-\-abcd

— aebd

-\-eabd

— bacd

-j- bcad

— cbad

— abdc

-\-aedb

— cadb

-f-éode

— beda

-\-cbda

-f-odfrc

— adeb

-f-cda&

— bdac

~1- bdca

— cdba

-—dabc

-\-dacb

— dcab

-\-dbac

— dbea

-\-dcba

Plaçons l’accent ' sur la seconde lettre de chaque groupe ; l’accent " sur la troisième , et l’accent " sur la dernière; enfin, écrivons sans interruption les groupes qui commencent par a, puis ceux qui commencent par b, et ainsi de suite, nous aurons définitivement pour le dénominateur commun le polynôme suivant composé de vingt-quatre termes ;

aVd'd”—ab'd!'<f -{■ ad’b“c"’—ac’b"d’”-^ (ufi'b" ^ od'c"6’”-}-ôa'<re''

— 6o'c"(T-t- bt/d'â"— bd'd'c’’-\-bXd'a’"— bd^a” -^-cd^cC —cdd'b'’-{-cd:d'V—cVd'dr -f- cb'(fa”—cd:b"d’ ddd'b"

— ddb''c'" -1- db'd'(r—dc’d'l/’+dc'l/'d’—db'c''a''.

(Le lecteur qui voudra connaître la démonstration de la généralité de la loi, pourra consulter l’excellent Traité d’ Algèbre de M. Lefebure de Fourcy.)

VC CJLBiCTÊRI DES BONNES VALEURS