Soient donc les étiuations
ax by -i- es = 0
a’'x+bt'y+c"z=0;
D étant le dénominateur commun , on a
en conséquence, a: = 0,y=0, z=0 est la solution unique des équations proposées.
Si , par suite d’une hypothèse particulière , le dénominafenr
D devient égal à 0, les inconnues ppcnuent chacune la forme 5.
Nous allons faire voir qu’ici le système des équations [1], [2], [3] est réellement indéterminé, et qu’il offre de plus cette circonstance remarquable que les valeurs des inconnues conservent (astre elles des rapports déterminés.
En effet, on peut résoudre les équations [1] et [2] comme deux équations à deux inconnues x et y, en les mettant sous la forme
[fl
d’où l’on tire
ax-\-by=—ez, n'a; 4- b'y=. — c'z;
bc' — cb' ab' — 6a'
ca' — ac' ^~a6'— 6a'"‘
Substituant ces valeurs dans l’équation [3], on fait reparaître le dénominateur commun D, en sorte que, réduction faite, il vient
[8] aXD = 0.
À PLUSIXOltS IMCONNUSS.
On peut donc substituer aux équations [1], [2], [31 les équations [6], [7], [8]. Cela posé, pour que l’équation 5XD = 0 soit satisfaite, il faut avoir s = 0 ou D = 0.
Si 3=0, les équations [6] et [7] donnent a:=0, y=0, en sorte que la solution unique des équations [1], [2], [3] esta; = 0, y = 0, 3 = 0, résultat conforme à ce qui a déjà été dit.
Mais si D = 0, l’équation [8] est vraie quel que soit z ; alors on pourra prendre pour z telle valeur que l’on voudra, et les équations [6] et [7] donneront pour x et pour y les valeurs correspondantes ; il y a donc unevéritablc indétermination, et comme les équations [6] et [7] donnent
X bc' — cb'
z ab' — ba'*
y ca' — ac'
z~ab' — ba''
on en conclut que les rapports des deux inconnues à l’inconnue arbitraire, ont des valeurs parfaitement déterminées.
Remarque. Le raisonnement précédent suppose que le dénominateur ab' — ba' n’est pas nul dans les équations [6] et [7].
Si l’on avait ab' — 6o'=0, sans que l’on eût ab" — 6a” = 0, on cbercherait les valeurs de x et de y en 3 , à l’aide des équations [1] et [3]; mais, si l’on avait ab" — ba"—0, en môme temps que al/ — 6a' = 0, on ne pourrait pas recourir au système des équations [2] et [3], parce que les conditions ab' — 6a'=0, ab" — ba" = 0, entrainent généralement a’6" — b’a" = 0. 11 nous reste donc à examiner les hypothèses suivantes :
ab’ — 6a' = 0,
ab"—ba" = 0,
La première condition donne
q désignant le rapport commun ; par suite, a' = aq, b'=bq.
220 DISCÜSSIO:» 0KS BQOITIONS DO PREMIER DEGRÉ
La seconde condition donne a“ b"
â=ër=«’
d’où a" = flÿ» = bq' .
Remplaçant a', b', a" et b” par leurs valeurs les équations [1] [2] [3] deviennent
ç(ax + &ÿ)-}-c'5=0, q\ax + by) -|- é'z — 0.
Multipliant d’abord par q, et ensuite par g', les deux membres de l’équation [i], on obtient les deux nouvelles équations
q{ax-\-by)-{-\qcz = 0, q\ax -j- by) -f q'cz =0.
f^La comparaison des équations [9] et [il], à cause de la partie commune g(oa -j- by) exige que l’on ait
ou
cz= eqz, (c' — cq)z = 0.
Semblablement , la comparaison des équations [10] et [t2] exige que l’on ait
ou (c" — egO* = 0.
Si l'on n’a pas en même temps
c' = cq, c =cq,
il faut que s = 0; pour z=0, les équations [1], [9], [10] reviennent toutes en général à
À PLUSIECRS INCONNUES.
donc elles sont indéterminées, mais le rapport - = — - a une
valeur déterminée.
Si, au contraire, on a à la fois
c' = cq
d'=cq\
les équations [1], [9], [10] deviennent >
ax ■\-by-\~cz=:0, '
q[ax 4- fty + Ci) = 0, q'{ax + = 9 ;
et toutes sont satisfaites quand la première est ellc-méme satisfaite , d’où il résulte que l'on peut se donner arbitrairement les valeurs de deux inconnues et calculer la troisième. Dans ce cas il est évident qu’il n’y a plus de rapport obligé entre les valeurs des inconnues.
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