DISCUSSION DIRECTS DES STSTÈHES

des inconnues , après quoi il restera à résoudre n équations entre n inconnues , ce qui donnera , en général , une solution du système proposé: comme d’ailleurs on peut donner d’autres valeurs aux m inconnues , on pourra obtenir autant de solutions qu’on voudra , qui différeront au moins par quelques-unes des valeurs arbitrairement choisies.

En conséquence , n équations entre n+m inconnues forment un système qui, en général, admet une infinité de solutions, et qui par conséquent est indéterminé.

Remarque. Au lieu de commencer par résoudre n équations à n inconnues, on peut éliminer entre les n équations n — 1 inconnues , ce qui conduira à une seule équation entre m-{-\ inconnues, dont tn par conséquent seront arbitraires.

Remarque. Ainsi , en général , un système est déterminé, plus que déterminé, ou indéterminé, suivant qu’il y a autant , plus ou moins d’équations que d’inconnues.

210. Cas particuliers. Lorsque dans un système déterminé on fait l'élimination d’une inconnue entre l’ime des équations, la première , par exemple, et toutes les autres, on a un système de n — 1 équations qui ne renferme plus l’inconnue éliminée; mais il peut arriver qu’une autre inconnue ‘disparaisse en même temps ; il en résulte alors des paidicularités qu’il convient d’étudier.

1® Soit, pour fixer les idées, un système [A] de quatre équations à quatre inconnues , dans lesquelles les cocfficients sont censés des nombres donnés.

f[l] ax-{-by -j-cs -\-dt =e,

[2] a’x+b'ij -\-c'z -f-d'i =e',

L’élimination de l’une des inconnues, de t par exemple, entre la première équation et chacune des autres conduira à trois équations à trois inconnues,*, y, z, qui, avec l’équation [1], formeront un système équivalent au proposé, en sorte

d’éoüations du premier degré. 225

que ce système sera identiquement remplacé par un autre [B] de la fonne

f[l] ax-\-bij -\-cz -\-dt=-e,

[5] * fx + gy -\-hz=k,

[6] rx + g'y-\-h!zx=h,

[7] rx+g''y + h'z=k'.

L’élimination de z entre l’équation [5] et les deux équations [6] et [7] donne deux équations en a: et y qui avec l’équation [5] représentent le système de ces trois équations ; en sorte que le système proposé peut être remplacé par

Î[l] ax-\-by-\-cz-\-dt = e [5]

[8] lx+pij=q,

[9] Vx+p’y = q'.

Éliminant de môme y entre les équations [8] et [9], on aura enfin :

ax + 5y + CS = c , fx + gy + hz = k, /x + py = y, yx = 5.

Cela posé, tant qu’on pourra arriver à un système de la forme [D], ce système et tous les précédents, [C], [B], [A], seront déterminés ; mais, il peut arriver que l’élimination d’une inconnue entraîne en même temps l’élimination d’une autre ; par exemple , l’élimination de t peut entraîner en même temps celle de s ; dans ce cas le système [B] serait remplacé par un système [B^ de la forme

’ [1] ax-\-hy-\- cz-^dt = e

rjjn fx-\-gy = k,

Le groupe des équations [11], [12], [13], considéré iso-

lément, donne lieu en général à un système plus que déterminé

DISCCSSION DIRECTK DSS STSTtUlS

et impossible ; il en est donc de même du système proposé [A] à cause de l’équivalence des sysièmes.

Or, on reconnaîtra l’impossibilité des équations [11], [12], [13] en substituant les valeurs de a; et de y tirées des équations

[11] et [12] dans l’équation [13] qui alors prendra la forme O = N; mais si elle prenait la forme 0=0, les équations [11],

[12] , [13] donneraient un système de valeurs de x et y qui, substituées dans l’équation [1] , la transformeraient en une équation à deux inconnues 2 et qui par conséquent seraient indéterminées.

Nous devons encore remarquer que l’impossibilité ou l'indétermination peut se manifester par le fait seul de la résolution des équations [1 1] et [12] si l’élimination de y fait disparaître en même temps l’autre inconnue x , ce qui donne alors 0 = N, ou 0=0. Dans le premier cas , l’impossibilité est manifeste et arrête tout calcul ; dans le second cas , au contraire , les équations [11] et [12] rentrant l’une dans l’autre, il est nécessaire de combiner l’une d’elles avec l’équation [13] , et l’cn pourra encore trouver 0 = N, ou 0 = 0.

On raisonnerait de même sur les autres systèmes [B] , [C] , [D].

211. En résumé, si dans la résolution de n équations à n inconnues, l’élimination de Vune de ces inconnues amène en même temps l’élimination de quelque autre, le système est impossible ou indéterminé.

2* Si l’on a n-\-m équations à n inconnues, on résoudra n équations à n inconnues, après quoi on examinera si les valeurs trou- Tées satisfont aux m équations qui auront été laissées de côté.

Mats il peut arriver qu’en éliminant une inconnue entre les n équations, plusieurs inconnues disparaissent en même temps.

Soiait, pour fixer les idées, 4-f2 équations à quatre inconnues

[1] ox-féy-4-cs -\-dt =c,

[3] cl-x + b"y -f d'z -f drt = c",

[4] cTx -I- h’y c”z -f drt = c"’,

[5] a^x-\-bf'y-\-<^z-\-d"t=e",

[6] a^x -|-é’y-flc’2-f-d’#=^.

d’éqïïations dü prewer degré. 227

les quatre équations [1] , [2] , [3] , [4] , senriront à trouver les valeurs de x, y, 2, t, et on les substituera dans les équations [5] et [6]. Si elles sont vérifiées, le système proposé est possible et n'admet en général qu'une solution; dans le cas contraire, il est impossible.

Hais il peut arriver que , dans la résolution des équations [1] , l^]> [3], [4], l'élimination de t entraîne par exemple celle de 2; le système proposé serait alors représenté par un système de la

forme

ax -f- by cz -j- dt =e.

fx-\-gy =h,

rx + sry = h'\

En vertu du n" 211 ce système est impossible ou indéterminé; dans le premier cas, le système lui-mème des équations proposées est impossible; dans le deuxième cas, on fera concourir à l’élimination une équation de plus, [5] par exemple; si alors on a im système déterminé , on en tirera les valeurs des inconnues et on les substituera dans l'équation [6] pour voir si le système est possible ou impossible ; si le système était encore indéterminé en prenant l'équation [5] , il faudrait prendre aussi l’équation [6]; et si même avec cette équation le système était in^terminé, il est clair qu’il en serait de même du système proposé , puisqu’on aurait épuisé toutes les équations de ce système.

212. En résumé, un système ds n-f m équations à n incon~ nues, peut être déterminé, ou même indéterminé.

3“ Si l’on a » équations entre n -f® inconnues, le système admettra en général une infinité de solutions, mais il pourra arriver que le système soit impossible ; dans aucun cas il ne sera déterminé.

En effet, soient, pour fixer les idées, 4 équations entre 4-f 1 inconnues

[1] ar-|-éy-j-cs-f-dt-j-eu=/',

[2] fl'* -j-yy-}- c'a-}- «fl -f- «'«=/■',

[3] crx + b^y + e^z + d"t+é'u=^',

[4] fl**-|-é>-fc^2-f