DISCUSSION DIRECTE DES STSTÈMBS

On pourra éliminer une des inconnues u, par exemple, entre ces quatre équations , et l’on arrivera ainsi à un second svstème [B] formé de l’une des proposées [i], par exemple, et de trois autres équations en x,y,zci t. En éliminant t entre ces trois dernières on aima un troisième système [C] formé de l’équation [1] en X, y, e,t,u\ de l’une des équations du système [B] pn X, y, Z, t et de deux équations en x, y, s. Eliminant s entre ces deux dernières on aura un quatrième système [D] de la

forme

ax-\-hy-\-cz-\-dt -\-eu=f.

gx-\-hy-\-iz-\-jt=k.

lx-\- my -\-nz=p.

qx-\-ryz=is.

L’équation [7] renfermant deux inconnues, on pourra donner à l’une d'elles, y, par exemple, une valeur arbitraire; par suite X sera connu ; l’équation [6] fera connaître s ; de l’équation [5] on tirera (0 et enfin, de l’équation [1] on tirera m, ce qui prouve que , en général , le système proposé est indéterminé.

Mais si , par exemple , l’élimination de u entre les équations proposées entraînait celle de t,' on aurait alors un second système [B'] formé de l’équation [1], par exemple, et de trois équations en X, y, Z. Ces trois équations en général n’ont qu’une solution ; après avoir substitué les valeurs de x, y, z dans l’cqualion [1] on obtient une équation en < et « , auquel cas l’une de ces inconnues est arbitraire ; par suite, le système [A] est indéterminé quoique dans chaque solution ,x, y, z conservent une valeur constante.

Si l’élimination de u entraînait celle de ji et de f, on obtiendrait un système [C ] formé de l’équation [t] et de trois équations en xc\y, deux de ces équations feraient connaître x et y ; leurs valeurs étant portées dans la troisième , il pourrait arriver qu’elle ne fût pas vérifiée; dans ce cas, le système [A] serait impossible; si au contraire elle était vérifiée, les valeurs dex et y sulistituées dans [1] réduiraient cette équation à trois inconnues seulement z, t, «, dont deux seraient indéterminées.