CHAPITRE IL
RÊSOLUTIOX ET DISCUSSION DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ DE LA FORME x*+px+y = 0. — RELATION DES COEFFICIENTS ET DES RACINES. — APPLICATIONS. — PROPRIÉTÉS DES RACLNES.
SOMMAIRE
224. Équation la plus générale du second degré à une inconnue. — 22t>. Comment on la ramène à avoir l’unité pour coefficient au premier terme. — 226. Résolution de l'équation x’+pa;-f-</ = 0. Formule à laquelle on arrive. — 227. Ce qu’on appelle racine d’une équation. — 228. Règle pour trouver les deux racines d’une équation du second degré. — 220. Vérification des racines. Équations résolues. — 230. Résolution d’une équation algébrique qui montre qu’on devra apprendre à extraire la racine carrée d’un polynôme. — 231. Discussion des racines de l’équation x*-f-pa!-t-q'=0. Les cas principaux répondent aux hy-
polhèses suivantes — g>0; ^ y — </ = 0. Pourquoi ,
dans le second cas l’équation est impossible. Pourquoi l’on dit dans le troisième cas que l’équation a deux racines égales. — 232. Examen particulier du cas où l’équation est impossible. Les valeurs trouvées vérifient
cinés imaginaires. Racines réelles. — 233. Forme sous laquelle on peut écrire une expression imaginaire ^ — A. Application aux racines imaginaires. Les racines ainsi représentées vérifient l’équation. — 234. Discussion relative aux signes des racines. Conséquences auxquelles on arrive. Une équation dont le dernier terme est négatif n’a pas de racines imaginaires. — 2.33. Cas particuliers de l’équation -j- px -|- q = 0.
— 236. Des relations des coefficients et des racines — (x'-j-x‘’) = — p. x'x' = q. Autre manière d’établir la première relation. Applications.
— 237. Une équation du second degré ayant des racines réelles, on peut connaître, sans la résoudre, le signe des racines. Si l’équation a une racine positive et une racine négative , on peut dire quelle est la plus grande en valeur absolue. — 238. Problème : trouver deux nombres
254 RâSOLlTIOK ET DIBCDSSION
connaissant leur somme et leur produit. Pourquoi les deux solutions se réduisent à une seule. — 250. Produit maximum que l’on peut former en partageant en deux parties une quantité donnée. — 240. Problème inverse de la résolution d’une équation du second degré ou composition d’une équation qui ait des racines données. Examen des diverses méthodes. — 241. Théorème. Sio est racine de l’équation x*-|-p5r-f~î= 0, le premier membre est divisible par as — a, et réciproquement.— 242. Remarque relative à l’extension de ce principe. Son application aux conditions de divisibilité de a;'"±:a’” par x±a. — 243. Comment on déduit du principe 241 la composition des coefficients de l’équation. — 244. Théorème. L’équation a3*-f-/w;-|-7=0 a deux racines et n’en a que deux. Restriction à ce sujet.
Forme générale des équations du second degré.
ÎÏ24. Une équation complète du second degré peut toujours être ramenée à la forme
[1] ax* -j- ôx c = 0.
En effet, on cliasscra les dénominateurs, et l’on fera les réductions s’il y a lieu ; on fera tout passer dans le premier membre, et l’on ordonnera le polynôme ainsi obtenu, suivant les puissances descendantes de l'inconnue.
Remarque. Ou pourra toujours faire en sorte que le premier terme de l’équation [l] soit positif, puisque l’on peut multiplier par — 1 tous les termes d’une équation.
22d. On peut aussi faire en sorte que l’équation [1] ait pour coefficient du premier tenue l’unilé ; il suffit pour cela de diviser tout par a, ce qui donne
posant pour abréger -=P. ^ — 9^ l’tîquation [1] deviendra ■finalement
[2] a?-\-px-\-qz=0.
Résolution de l'équation + px + q = C.
286. On résoudrait facilement l’équation 3?-\-px-\-q=Q, si l’on pouvait décomposer son premier membre en une tlifférencc de deu.\ carrés; or, le carré d’ttii binôme se compose de trois parties : du carré du premier terme, du double produit du premier terme par le second terme, et enfin du carré du second tenue (70) ; cela posé , on peitt regarder x’ et px comme les deux premiers termes du carré d’un binôme :
En effet, x* est le carré de x, et px peut être considéré comme le produit de 2x par un second terme qu’on obtiendra
par conséquent en divisant px par 2x , ce qui donne | ; pour compléter le carré du binôme, il faut ajouter le carré de I qui est et, pour ne pas troubler l’équation, il faut retrancher celte môme quantité du premier membre ; on obtiendra ainsi identiquement au lieu de l’é’tpiation proposée
ou encore f) ~ ~ ~ ® ’
or, une quantité quelconque peut être regardée comme le carré de sa racine carrée, on pourra donc écrire
on a ainsi la différence des carrés de x-f-|, et de y;
donc , le premier membre de l'équalion est identiquement égal au produit de la somme Je ces deux quantités par leur différence; par suite, on a identiquement au lieu de l’équation proposée,
hÉSOLL'TION ET DISCUSSION
Mais, pour qu’im produit soit nul, H faut cl il suffit queTun des facteurs soit nul , on aura donc
<'t d’autre part
c’est-à-dire deux éijuations à une seule inconnue x , et chacune du premier degré.
L’équation [4] donne immédiatement
l’équation [5] donne
l éunissanl les deux formules en une seule , on a finalement
La résolution de l’équation du second degré x’ -f px -f- y = O ainsi ramenée à celle de deux équations du premier degré, nous montre qu’une équation du second degré admet deux valeurs pour X, c’est-à-dire deux solutions; si d’ailleurs on se reporte à l’explication de la remarque du n° 218 , on pourra conclure qu’elle n’en admet que deux. (Plus tard nous reviendrons sur ce point.)
Chacune de ces solutions s’appelle une racine de l’t^uation. En général ,
227, On appelle racine d'une équation quelconque, toute valeur ou toute expression algébrique , qui, mise à la place de l’inconnue, rend le premier membre identiquement égal au second.
Si l’on observe que p est le coefficient de la première puissance de X pris avec son signe dans l’équation , et que g est le terme tout connu passé dans le premier membre; si ensuite on
compare la formule [5] avec l’équation [2J on pourra énoncer la régie générale suivante :
228. Les racines d'une équation du second degré ramenée à la forme x’-|-p.v-(-q = 0, sont égales à la moitié du coefficient du second terme pris avec un signe contraire , ou moins la racine carrée du carré de cette moitié diminué du terme tout connu pris avec le signe qu'il a dans le premier membre de l'équation,
220. On peut vérifier, a posteriori , les racines dd’équalion
[1] a;*+px-l-ÿ = 0,
en mettant chacune d’elles à la place de x dans celte équation. Voici le calcul pour l’une des racines ;
barrant les termes qui se détruisent on trouve l’identité
Remarque. On pourrait encore faire ce calcul en mettant d’abord x en facteur commun dans le trinôme x'-\-px + q, après quoi l’on substituerait la racine que l’on veut vérifier. Applications de la règle du n° 228.
Exemple I. Résoudre l’équation
Prenant le signe -f on trouve x = 6.
RÉSOLITION ET DISCUSSION
Prenant le signe — on trouve x—2.
VÉRIFICATION. (Gf — 8.6+12 = 0,
On vérilierail de môme la seconde racine.
Exemple II. Résoudre l’équation
Ramenons-la d’abord à la forme
X* +pa: + ÿ = 0.
Faisons tout passer dans le premier membre, et il viendra . 9x — X®— 14=0.
Multipliant tous les termes par — 1 ; ordonnant te polynôme suivant les puissances descendantes de x , on obtient
d'où — 14.
Réduisant l’entier en fraction on a
OU
Mais, pour extraire la racine carré d'une fraction, il suffit d’extraire la racine carré des deux termes , Arilh., n° 247 ; on aura donc
par suite, x = 7, x = 2.
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Exeuple in. Résoudre l’équation
on a successivement
ISa:» — 7x — 38=0, .7 38 „
Exemple IV. Résoudre l’équalion
2a:* 3a: , 5 lia:’ x 1
Chassant les dénominateurs, transposant et réduisant, on trouve
ou x^-\-x — 2=0;
d'où x=\, x= — 2.
Exemple V. Résoudre l’équation
on trouve x = — 3, a: = — 1.
Exemple M. Résoudre l’équation
on trouve «=6,40 a:=— 1,40
et on calculera autant de décimales que la question l'exigera.
250 RKSOLCTION BT PISCÜSSIOÎI
Remarql’e. Dans les exemples précédents , les racines sont ; 1» positives; 2“ l’une positive et l’autre négative ; 3“ toutes deux négatives: enfin, 4" ces racines sont incommensurables. Nous verrons bientôt à quoi tiennent ces diverses circonstances.
Exemple Vil. Résoudre l’équation
^ Jî 4- C» = 0“ -f- 2ÔC + iTib — c)^J a Appliquant la règle générale, on trouve successivement.
ax*- 2x(6 -c)v^ + + c>- a’ -26c = 0
2(6 — c)yja ^ ^ (6 — c)* — a* ^
— cfa (b — c)*—a'^ a
par suite
Exemple VIII. Résoudre l’équation
X* ax bx=- 2a* — 5a6 + 26’,
X* -f (a + b)x — (2o*— 5a6 + 26*)=0 , d’où x = a — 2b, x = b—ia.
