JJ

Ici, l’extraction de la racine carrée du nombre négatif^ — q est

impossible, car, on ne peut trouver aucune quantité, soit positive, soit négative, qui élevée au carré reproduise une quantité négative ; en effet, le carré d’un nombre positif ou négatif, est un nombre essentiellement positif.

Dans le cas actuel qui ne s’est encore présenté, ni en arithmétique , ni en algèbre , l'évaluation exacte ou approximative des racines de l'équation [1] est absolument impossible. Cette impossibilité peut d’ailleurs être prise sur le fait en remontant à l’équation [I].

En effet , la condition ^ — î < 0

RKSOLCTIOS BT DISGCSSION

Or, le carré ^ est loujours positif, donc q est positif, et comme

il est plus grand que on peut poser ç = ^ 4" K (K désignant

un noml)rc positif), substituant cotte valeur de q dans Téqualion [1], il vient

x’ -f pa; + ^ -f- K = 0.

ou (^■^1) =

ce qui est absurde, alicndu que le premier membre de celte dernière équation sera toujours dilférent de zéro. En effet, quelque nombre , positif ou négatif, que l’on mette pom' x ,

X + 1 ne pourra donner qu’un nombre positif, négatif ou nul.

Si X + 1 n’est pas nul > sera positif, et a fortiori sera-t-il

positif, après qu’on l'aura augmenté du nombre positif K; ainsi, dans e*e cas, on n’aura pas un résultat égal à zéro; si x ^ est

nul , son carré sera nul ; mais comme alors il restera un nombre positif K , Jamais l’équation [1] ne sera satisfaite par des valeurs de X soit positives , soit négatives.

3* Cas.

les racines

se réduisent chacune ^

Eficctivemcnt, le premier membre de l’équation [l] devient X* ■]-% , en sorte qu’on peut écrire

d’où

Dans le cas actuel, il n’y a, à proprement parler , qu’une seule .solution ; néanmoins, on dit que l'équation a deux racines égales, jiarcc que son premier membre étant un cajTé parfait se dé-

l’ompose en deux facteurs égaux à qui, égalés chacun

îi O, donneraient deux fois la môme valeur —

Cette locution consacrée : l'équation a deux racines égales , est employée, comme on le voit, pour conserver la trace d’une analogie, et n’a d’importance que parce que le premier membre de l’équation [1] se décompose en deux facteurs qui, inégaux en général, deviennent égaux dans un cas particulier.

Examen du cas où l’équation du second degré est impossible.

252. On voit d’abord que si, guidé par Xinduction, on traite le radical — q comme s’il était un nombre, on obtiendra

le carré de ce radical en supprimant le signe indicatif des

racines, ce qui donnera le nombre négatif j — g ; cela posé , la vérification des valeurs [1] et [2]

se fera par substitution d’après la règle ordinaire; nous sommes ainsi conduits à généraliser la définition du n° (227), et à appeler les expressions [l] et [2] des racines de l’équation proposée ; toutefois, comme ces racines ne sont ni positives ni négatives, une dénomination particulière devient nécessaire; nous appe lcrons ces racines racines imaginaires, et, par opposition , nous appellerons racines réelles, celles qui seront positives ou négatives. En conséquence, l’équation (à coefficients réels)

a SOS racines toutes deux réelles ou toutes deux imaginaires.

RéSOLl TIOX ET DISCUSSION

suivant que la soustraction ^ — g est possible ou impossible.

Quant au cas particulier des racines égales, il a lieu lorsqu’il y a égalité entre q et puisqu’alors le radical s’évanouit.

Forme sous laquelle on peut écrire les racines Imaginaires d’une équation du second degré.