î!^ = u" et u = i*' + w

La 1 '* équation en u" fournit successivement les suivantes :

2 = f/" ^t tt'=:4u" + u"'.

Enfin la première équation en u'" donne u" = lu'" + 7« Nous voici donc parvenus à une équation (auxiliaire ou le

cocfBcient d'une indéterminée m" est l^unité (*). StibsUluanl la valeur de u'' dans celle de u\ cette dernière dans celle de u. et ainsi de suite, en remontant aux valeurs de^ et x^ on trouvera

^ = 201/"+ 63 et x = 3iu'"4.98...(2;)

Ces valeurs substituées dans Téquation proposée (0^ la réduisent à 7 = 7. De sorte que quelle que soit la valeur qu^on donne à li'", X et j- prendront toujours des valeurs qui satisferont à Tëquation ( 1 ) ; et si u'" est entière, x et^ le seront pareillement. , Or, il est aisé de voir, par les formules (s), que —^ 3 est la plus petite valeur qu^on puisse donner à u"', pour que xeljr soient des nombres entiers positifs. Prenant donc tuccessivement ti"' = — 3, — a, — 1,0, 1 , 3, 3, 4 1 clc., on aura successivement

j'= 3, 23, 43, 63, 83, io3, 3o3, 5o3, etc. x = 5, 36, 67, 98, 12g, 160, 191, 222, etc.

,De sorte que rien ne limite le nombre de solutions entières et positives de Téquation proposée 20a: — 3ij-= 7.

i85. On peut abréger les calculs en prenant des restes négatifs dans Textraction des entiers, ou en décomposant le numérateur en facteurs, etc. Par exemple, quW ait Péquation

on en tire d'abord x = "" • Mais au L'eu de considérer

497" conmie égal à 34j*+ \5jr^ il sera plus abrégé de prendre 497*= ^ijr — 2^*7 et alors il viendra :

(*) Le procédé qu^on vient de suivre conduira toujours à une pareille équation \ car pour extraire les entiers contenus dans le terme inconnu de chaque valeur, on divise le plus grand coefficient 3 1 par le plus petit 30 \ le plus petit 30 par le premier reste 1 1 ; le premier reste 1 1 par le second 9 et le second reste 9 par le troisième 3. On cherche donc réellement le plus grand commun diviseur entre les coefficiens 3i et 30 des inconnues, dans Péquation proposée. Et puisque ces coefficiens sont prcs miers entre eux (i83), leur plus grand commun diviseur est Punité. Mais ce plus grand commun diviseur est celui des restes qui divise exactement le précédent : donc on finira toujours par avoir on reste i^al à 1. Or y chaque reste est le coefficient d^une indéterminée dans Péquation auxiliaire suivante^ donc on arrivera toujours à une équation où une inconnue Punité pour coefficient. On voit même que le nombre d^équations

Liliftires sera toujours moindre que le plus petit des deux coefficiens pfopos<âi»

ALGÈBBE. 6

Et comme 17 est premier avec ie facteur 2 , pour que 17 divise

le produit ^ ( J* + 4 ) 1 *^ f*^ T*® * 7 divise ^ + 4 (Arilhmët . ). Posant donc

*^ =im> onauraa: = 3r — au.

D^oii il suit que les valeurs de j^ et de x sont :

jrZIZ l'JU'—^ et xz=z/^^ 12.

On voit que le nombre de solutions entières et positives dont est susceptible Téquation proposée , est illimité \ et que la plus petite aura lieu pour (4=1. «

Voici trois problèmes à résoudre : i*^ De combien de manières peut-on fiùre 49 livres avec des poids de 5 et de 3 Hv. f (R. De trois manières.)

a° Partager le nombre 997 en deux, parties dont Tune soit divisible par 16 et Pautre par ii« (Cinq solutions.)

3° Une fruitière disait à un jeune algèbriste : Pourrecr-vous deviner combien il y a de pommes dans ce panier? H y en a plus de 100 et moins de 3oo. En les comptant par 3, il n^en reste point; par 7, il eu reste une, et par 10, il en reste 6. (Le panier contient 34^ pommes.)

186. Si Ton avait une solution entière, rien ne serait plus facile que de trouver toutes les autres. En effet, considérons réquation ax + bj-^c ... (i)

Soient petq deux valeurs entières de x et de j-, dans cette équation ; on aura donc ap-^hqzz c. Retranchant cette équatibii de la précédente ^ il vient

a{x—p) + b{jr—q) = o', d^où x—pzutlZH^.

Pour que le second membre soit un nombre entier x — /?, il faut que a divise q^-'j'^ car a est premier avec b ; il iaut donc qu^on ait q'^-jrzzzau ; ce qui donne x — pz=zbu^ et par suite

jr = q — au^ x=zp -^ bu ... (2)

Ces valeurs satisfont effectivement à Tcquation proposée (1); et les termes en u j sont de signes contraires ou de mêmes signes, suivant que les coefficiens a et & sont de mêmes signes ou de signes opposçs. On voit en outre que , dans les solutions eniières de Véquation ax -{- bj = c , les valeurs d'une inconnue augmentent ou diminuent successivement du coefficient de

l'autre inconnue, (Ce qu^on reconnaît d^ailleurs dans les exemples des n" i84eti85)(*).

187. Il suit de là que la résolution de Tcquation proposée en nombres entiers positifs, se réduit à trouver une solution entière, positive ou négative ; ce qui est souvent facile. Par exemple, si

on observera que 4 divise exactement laS, et que p^ conséquent la première solution est j: = o ct^=32. Ce qui donne, pour calculer toutes les autres , les deux formules

x=:4" et j-=:32 — 7W.

Si Ton avait Péquation Sx-f- t ij^= 172 \ en y faisant j^= a, on trouverait x = 3o ^ et les solutions en nombres entiers positifs seraient fournies par les formules

x = 3o — iiu et j*=a -|- 5i/.

Enfin , dans Péquation 1 ix — 7^- = 5a , si Ton faisait x= i elj^== i, le premier membre se réduirait à 4i et serait contenu * ]3 fois dans le second 5a : donc en prenant x tX jr diacun i3 fois plus grand , le premier membre se réduira au second. De sorte que x:= i3 eij"=z i3 est une solution, et qu^on a, pour déterminer les autres ,

x= i3 -|- 7a et j"=- 13 -|- iiii.

(*) Quelles que soient les valeurs entières et positives x' et y' de x et de j^, qui satisfont à Tëquation proposée (1), les formules (2) donneront toujours à n une même valeur entière qui , si elle avait d^abord été' sub« stituée dans les équations (a), aurait fourni les valeurs x^ etjrf. En effet, soient v %t v* les valeurs de u, dans les équations ( a) ) quand on y fait y^^y' et x:^x'; on aura donc yf=z(f — av et x'=;>-J"^v'» Substi- Uamt ces valeurs dans Tcquation proposée (1)1 et observant que, par hypodiése, axf -^ byt =z e y on trouvera ai (v — tr') = o; ce qui exige que v'^zv. De sorte que pour x^rx' etjr=zjrf^ les équations (2) donnent à II une seule valeur v. De plus , cette valeur est entière ; ctf si elle était

une firaetion -3, <2 devrait diviser a et & ; ce qui est impossible, puisque a a

et h sont premiers entre eux. Or si Ton substitue cette valeur entière v pour il, dans les équations (a), il est clair qu^on retrouvera les valeurs x' et j^ qui Pont donnée ; ces valeurs sont donc fournies par Pune des valeur» entières de u dans les formules (2). D'oeil il suit que pour auoàr toutes les valeurs entières et positives de X et de y^ dans la proposée ( 1 ) , il si^ffira de chercher toutes les valeurs entières et positives de x et de y y dans les formules (2).

i88. Pour ne pas faire des calculs inutiles, il est bon de savoir d^avance si Péquation proposée admel des solutions entières et positives. Ol*, i^toule équation de la forme ax '{- bj-z=c n'a jamais quW nombre limité, de solutions ; et de plus , elle est impossible, lorsqu^^n rejetant les valeurs zéro, la somme des « coefficicns £2 et & est plus grande que c, comme dans t3x-{- 27'= 17. 2** Tonte équation de la forme ax — bj- z= c peut ' avoir,une infinité de solutions ; car les nombres entiers positifs ax et hj' croissant indéfiniment, leur différence peut conserver ' la même valeur c. S'^Enfin toute équation de la forme ax-}- bjn:— c, est impossible ; car la somme des deux nombres positifs 4ix et bjr ne donnera jamais le nombre négatif — c.

]8g. Si Ton a deux équations à trois inconnues chacune, on en déduira d^abord une équation à deux inconnues , qu^on traitera diaprés la méthode (184 ou 186). Et quand on aura les deux inconnues de cette équation , exprimées en Jonctions entières d^une même indéterminée (*), on substituera leurs valeurs dans la plus simple des équations proposées, et Ton obtiendra une équation à deux inconnues , qu^il faudra encore traiter d''après la méthode. Par exemple , soient les équations

3j: + 5^ + 7^ = 56o gx + 257- + 49« = 2930 :

. Pélimination de z donnera i2x-{- 10^*= 1000, où

6j: + St* = 5oo.

Comme 5oo est divisible par le coefficient de y^ il est clair ' que X = o et j^ = 1 00 est une première solution , et qu'^ainsî

^°a(i87) x = 5a et ^=100 — 6u.

Substituant ces valeurs dans la première équation proposée , qui est la plus simple, elle deviendra 7^ — iSu =r 60 ; ce qui ^onne ^=: iSv et 11 = 71; — 4» Substituant la dernière valeur dans celles déjà trouvées pour x et j*, on verra que les solutions entières et positives des équations proposées sont données par les formules

(*) On appelle yô/tction dWe lettre, considérée comme variable ^ toute quantité alg^rique composée de cette lettre. La fonction est en-^ Itère ^ lorsqu'elle n'a point do diviseur.

Pour n^avolr que des valeurs entières et positives, v doit être ^ o et < 3. Prenant donc v = i et v = a, on aura x = i5, ^ = 8q, ^ = 1 5, puis a: = 5o, j^ =: 4o et X = 3o.

190. Lorsque dans les deux équations à résoudre^ le coeffident de Pune des trois inconnues est Punité , on abrège les calculs en éliminant d'^abord cette inconnue. Soient par exemple , les équations ,

5j^+J' + 4'* = ^72 et 8x + 3j* + 9z = 656;

éliminant j-^ on aura ']x-\'3z^=\6o'^ d^où ar=3u+i et z= 5i — 711. Substituant dans la première équation proposée, elle donnera ^ = 1 3ii 4~ ^- On a donc ainsi , par une seule application de la méUiode, les trois inconnues, exprimées en fonctions entières de Findéterminée u. Ce qui n^aurait pas eu lieu en élimmant d^abord une autre inconnue. On voit d^ailleurs que les équations proposées n^admettent que huit solutions entières et positives.

191. Si Ton avait trois équations à quatre inconnues, on en déduirait d*abord deux équations à trois inconnues, qu^on exprimerait en fonctions entières de u (190). Substituant les valeurs résultantes dans la plus sim* pie des équations proposées, il sera facik d^en tirer les valeurs des quatre inconnues en fonctions entières d^unc nouvelle indéterminée v* Voici 3' problèmes à résoudre. ^

On distribue 6 francs à 3o pauvres *, les hommes reçoivent 80 centimes, chacun, les femmes 7 centimes et les enians 3. Combien y a-t-il d^hommes, de femmes et dVnfans? (R. 6 hommes, 19 femmes et i;3 enfans.)

Un berger interrogé.4ar le nombre de f.cs moutons, répondit : Si vous. les comptez 4 ^ 4 > il ^^ restera 3 ^ 5 à 5 , il eu restera 4 i 7^7, il en * restera 5, et leur nombre est moindre que 300. Combien le berger avaitil de moutons? (R. 19 ou iSq.)

La somme des quatre chiffres d^un nombre inconnu est 16^ si l*ou remplace les trois derniers par trois zéros, le nombre résultant contiendra 1 35 fois celui formé par les deux derniers chiffires du nombre inconnu ; enfin le premier chiffre de ce nombre est contenu 1 83 fois dans' le nombre formé par les trois derniers. Quel est le nombre qoi jouit de cet propriétés? (R. 473a.)

192. Lors([u'on n*a qu^une équation à trois inconnues ax -(hjc ^ cz^=z d^ on passe 1c terme cz dans le second membre^ on fait d — cz = c' et on n'a plus à traiter que Téqualion ax -f- |>j-=c'. Une fois parvenu à Téquation où le coefficient d'ime inconnue est Punilé, on remonte aux valeurs de x et y*, en substituant d — €Z au lieu de c'. Et si u est la dernière des incon-

nues auxiliaires, les expressions de x el de j^ renfermeront alors deux nombres entiers zetu que Ton pourra prendre arbitrairement.

Par exemple, Téquation 3x — ^+ 1 1 -s=8o, donne d^abord 3x — ^ = 80 — 1 1 z = c^, et ensuite

—^I^IZIM, puis J-ZzSli c'zzSm^— 80+ 11-2.

Substituant cette valeur dans celle de :r, Téquation proposée se trouvera remplacée par les deux

^ x=i6o — 5a — 22Z et j^ = 3a+iiz — 80.

On peut disposer ici des deux indéterminées u et z, mais de manière cependant qu'ail n^en résulte que des valeurs entières et positives pour x eijr. Or, si Ton prenait u négatif, il faudrait qu'ion eût 1 iz > 80 + 3a et aaz < 160 + Sa, ou 22z ]> 160 -|-6a et 22Z < 160 + 5a; ce qui est visiblement impossible. ^ Ainsi a ne saurait être que positif, et tel qu^on ait 22z -f- 5a <^ 160, 1 iz + 3a ^ 80. Faisant dans ces inégalités successivement z= 1 , 2, 3, 4^ 5 et 6, on verra que u ne peut avoir que i4 valeurs, et que par conséquent Péquation proposée n^est susceptible, que de 1 4 solutions entières et positives.

193. Les problèmes qui conduisent à une équation finale contenant plus de deux inconnues , sont nommés plus qu'indéterminés. Tels sont les suivans :

On propose de payer 5700 tr, avec des billets de 700, 900 et 1 100 fr. Comment effectuer ce paiement f (R. En prenant 4 billets de 700 fîr., a de goo et 1 de 1 1 00.)

Un fermier achète 100 pièces de bétail pour 100 louis, savoir : des ' bœufs à 10 louis la pièce, des vaches à 5 louis, des veaux à 3 louis et des moutons à un demi-kniis. Combien a-t~il eu d^animaux de diaque espèce f ( Il y a dix solutions effectives.)

De Vextraction de la racine carrée des nombres,

194. Les équations les plus faciles à résoudre, après celles du premier degré, sont de la forme oc^-zna'^ et en conséquence nous allons nous occuper de la résolution de ces équations.