Il est clair qv^on a successivement

9—9 = 0, 9— 12= — 3 et 9— .23z=— 14.

Or, le nombre dont on soustrait restant le même, plus le nombre à soustraire est grand , plus le reste est petit. Ce principe considéré comme vrai , lorsque le nombre à soustraire surpasse Tautrc , fait voir que , le reste — 3 est plus petit que le reste o, et le reste — 14 plus petit que le reste — 3 ; c^cst-à-dire qu^ona — 3<o et — 14*^ — ^' Ces inégalités montrent, i*que toute quantité négative est plus petite que zéro ; 2* que plus une qiuintité négative a d'unités , plus elle est petite,

177. Quoique ces deux principes paraissent d^abord absurdes (*), il faut néanmoins les admettre, si Ton veut soumettre les

(*) n n^existe point de quantités plus petites que zéro \ et plus une quantité a dWités, plus elle est grande. Mais il faut observer que — b u^ttx pas une quantité / o^est simplement Pindication d^une soustraction k hàn. Et cette remarque suffit pour montrer d^où provient Fabsurdité apparente des deux propositions énoncées plus haut ; c^est^e ce qu^on a donné k — ^ le nom de quantité qui ne lui convient pas. H est clair d^ailleurs que ces deux propositions sont \Taies dWe manière relative , c^cst-à-dire, en regardûit les quantités négatives comme diminuant une certaine grandeur fixe, de même cspèceb Par exemple, puisque les dettes .

( 76 ") expressions négatwes aux mêmes opëntlions que les nombre» absolus. En effet, il est évident que si une quantité est plus pe- ' tite qu\lne autre, en leur ajoutant une même troisième quantité^ Je premier résulut sera plus petit que le second. Diaprés cela, si Ton admet que — i3<o et — g< — 4 î ^ ajoutant i3 de part et d^autre, il viendra o<^i3et4<l9)Ce qui est exact. Mais si Ton avait supposé •— iS^-o et — g^- — 4 \ ^n ajoutant i3 à chaque membre, on aurait eu o^ i3 et 4^9 î ^^ qui est absurde. Enfin, puîsqu^il faut ajouter 4 ^ — 4i pour avoir' o, il s''ensuit que •— 4 "^ <>* ^^ même , puisqu^il faut ajouter 6 À

— lo , pour avoir — 4 1 ^ ^^ résidte que — - lo < — 4*

1 78. Maintenant il est très-facile de comprendre les diverses transformations que Ton peut faire subir aux inégalités, et de conndtre les exceptions dont ces transfonnations sont susceptibles.

1* On peut, sans aucune exception, ajouter, aux deux membres d\ine inégalité, ou en retrancher une même quantité *, Tinégalité subsiste toujours dans le même sens. Cest ainsi que 8^3, donne 8 + ^>'^ + ^e'8 — 1>3 — 1. De même l'inégalité — ^ ia< — 4i fourpit — *a + 3< — ^-\-Zei — la — 4<C

"x^ On peut , sans exception , ajouter membre à membre, plusieurs inégalités établies dans le même sens ; Pinégalité résultante subsiste dans le même sens. que les proposées. En effet, de 8^5, 7>-3 et g^ô, il résulte évidemment 8+7 ^-g^ 5+3+6-

diminuait les biens, celui qui doit G francs de plus qu^il ne possède, a

— 6 francs de biens. Or, il a moine que rien \ car il devrait encore gagner 6 francs pour ne rien avoir : donc — 6 «^ o. De même, si deux hommes doivent Vun 13 fir. de plus qu^il ne possède et Tanlre 8 francs, ils auront respectivement — • 1 3 fr. et •— 8 fr. de biens. Or, le preçaier est moins riche que le second ^ car pour avoir 3 francs, il devait gafpker 14 fr* et le second seulement 10 fr. \ donc — 1 s ^ — 8.

Si Ton regardait Tincgalitë — 4^^) eomme ayant lieu d^ûne maiûAre absolue, on en conclurait que lat— 4>i3lai ou que — 3 >>6', ce^ qui est absurde. Cela vient; de ce que Tinégalité — ^<^ri n'ai lieu que d^une manière relative, c^est4-dire en sou8-«ntendaut devant —-4 et -{-9, • une certaine quantité de même espèce, telle que 10. par exemple» Antre- - ment, — 4 serait dWe nature différente de -j- a *, et il n'y aurait pas de oomparaison à établir entre ces deux choses ; c^est^-dire qu6 rin^Uté

— 4 ^ ^ serait impossible , aussi bien que -n 4 <C <^*

Pareillement, de — 4"^*"^* ^ — 5< — 3, on lire —4 — 5 < — 1 — 3. \.

Biais il n^en est pas toujours de même, si Ton soustrait, membre à membre , deux inégalités établies dans le m^mc àens. Par exemple , les inégalités 12^7 et 4^^ donnent bien 12 — 4 ^7 — 2; mais les inégalités 8>>5 et 6>>3 fournissent 8 — 6 = 5 — 3:

3* Si Ton muhiplie ou divise les deux membres d^une inégalité par un nombre positif, cette inégalité ne sera pas détruite ; mais si on les multiplie ou divise par une quantité négative, Pinégalhé subsistera en sens contraire. Par exemple , Tinégalité 8 << 1 1 , donne bien 8x3<<iiX3; mais en multipliant les deux membres par -— 3 , elle donne au contraire, — 24 ^ — 33 (176).

4** U n^est pas permis de changer les signes des deux membres d^une inégalité , k moins qu^on pMtablisse Pinégalité résultante en sens contraire ; car cela revient à multiplier les deux membres par — 1 . Ainsi 4 "^ 9 donne — 4 ^ — 9 C*7^)*

5* Si les membres de plusieurs inégalités , étabb'es dans le mime sens , sont tous positi£i , on pourra multiplier ou diviser ces inégalités membre à membre, ou élever les deux membres de Tune à une même puissance ; Pinégalité résultante subsistera toujours dans le même sens que les proposées. 'Mais il nVn serait pas toujours de même, si quelques membres étaient négatifs. Par exemple , les inégalités 3>' — 2 et — 3>' — S, donnent , en les élevant successivement au carré et au cube , 9 ^ 4 ®^ 9 < 25 ^ puis 27 > — 8 et — ^7 > — 1 25. Detnêmc , en multipliant entre elles les deux inégalités — 4^ — 7 ^^4^^i ^^ «urait — 16 <C — i4-

1 79. Au moyen des principes que Ton vient disposer, il est facile de résoudre les inégalités, qu^on appelle alors inéquations. Résoudre une inégalité , c'^est en déduire une des deux limites de Finconnue, c^est-à-dire une des deux valeurs plus grande ou plus petite que Tinconnue. Soit par exemple, Pinéquation 7X

>- Y -f- 27 ; on en tire successivement : 280: — 2 > ôj;* +

108; 28X — 6r> 108 + 2; 22x>'iio et x>5.

180. Le système de deux inégalités en a?, donne toujours deux limites de x ; et le problème qui conduit à ces inégalités ,

C 78 ) , peut être détermine, indéterminé, ou impossible. En voici des exemples :

1® Supposons que x doive être un nombre entier dans les deux inégalités ^

' Résolvant ces deux inéquations, on aura x^ 3i ^ et x*^ 33. Tous les nombres compris entre 3]^ et 33, seront les valeurs de X dans les inégalités proposées. Mais comme x doit être un nombre entier, on n^a que la seule valeur x = 32.

2* Soient les deux inégalités *ix — 5 -< 25 et Zx — 7 >- 2 x +4 î *^° <^" '*'*c x^ 1 5 et x> 1 1 . Donc on peut prendre pour j:, tous les nombres entiers ou fractionnaires compris entre i5 et 1 1 ; et par conséquent le problème est indéterminé dans ce cas.

3* Si— — 5<5et ^ — 2>^+5, on trouvera a:<i3j

et x^ i5. Il est clair qu'^alors le problème n^admct aucune solution.

181. Lorsqu^on ne peut pas déterminer directement la valeur d^ime inconnue x, on a quelquefois recours aux inégalités, pour démontrer que cette inconnue ne peut être ni plus grande , ni plus petite qu^une quantité connue a ; d^où Ton conclut que X = a. Mais poiu* opérer avec plus de facilité , on se sert des signes '1[> et <^, qui signifient ne peut pas être plus grand que et ne peut pas être plus petit que.

Diaprés cela, si Ton a les deux relations

2x + 7J>i9 et 3x — 5<Ci3;

la première donnera 2x^ 19 — 7, 2x3> 12 et x^6. I^ seconde fournira 3x<([i3 + 5, 3x'4^i8 etx<ffi. Ainsi, puisque x'J>6 et que x<J^6, il s^ensuit que x = 6.

Voici deux problèmes à résoudre : '

1® Trouver un nombre d^oranges tel, que son triple au^enté de 3, surpasse son double an^enté de 61, cl que son quintuple diminué de ^9 , soit moindre que son quadruple diminué de 9.

n^ Combien y a-t-il de pièces de ao francs dans une bourse ? On sait que le double du nombre de ces pièces, diminue de 4 ) ne peut surpasser a, et que le quintuple du même nombre, diminué de 7, ne peut être moindre que 3.

De V analyse indéterminée du premier degré.

182. Lorsqu^on a moins dVquations que d^inconnucs, ces inconnues ont une infinité de valeurs 'différentes. Mais il arrive souvent que de toutes ces valeurs, les entières et positives seules peuvent convenir au problème proposé. Il est donc utile de connaître les procédés propres à faire trouver ces valeurs entières cl positives 5 et tel est le but général de Vanalj'se indéterminée^

Lorsque les équations sont d^un degré supérieur au premier, la recliercbe des valeurs entières offre de grandes difficultés et sort tout-à-fait des élémens. CVst pourquoi nous ne parlerons ici que de Tanaljse indéterminée du premier degré, en nous bornant à ce qu'elle a de plus essentiel.

i83. On sait que toute équation du premier degré à deux inconnues, peut être ramenée à la forme ax'\'hj-=zc^ a^ t, c, désignant des nombres entiers positifs ou négatifs. Or, si les coefficiens 2l et h ont un commun diviseur d , qui ne divise pas c^xet y ne pourront jamais être des nombres entiers.

En effet, divisons par d les deux nombres de Téquation ax -}- 2^= c ; nous aurons

Puisque d divise a et &, par hypothèse, il est clair que si x et jr pouvaient être des nombres entiers , le premier membre de Féquation précédente serait auçsi un nombre entier, ainsi que le second ; d diviserait donc c , ce qui est contre Thypotlièsc. Donc X et j^ ne seront jamais des nombres entiers.

On supposera donc , dans tout ce qui va suivre , que ^z et ^ sont des nombres premiers entre eux, parce que s'ils avaient on fàlbteur commun , celui-ci devrait aussi diviser c ; et alors il faudrait le supprimer dans Téquation.

184^ Le cas le plus simple de la recherche des valeiu^ entières, a lieu quand le coefficient d'une inconnue est Tunité, comme dans x — 3^ == 1 3 ; car alors , en ne prenant que des valeurs entières pour la seconde inconnue jr^ on n^aura pareil* kment que des valeurs entières pour la première inconnue x. Tout se réduit donc à faire dépendre les inconnues proposées.

de celles d\ine équation où ime inconnue ait IHuiité pour coefficient. Voici comment on p^t j parvenir : /

On prendra dans Téquation proposée, la valeur de Pinconnue qui a le moindre coefficient^ on extraira les entiers contenus dans le terme inconnu.de cette valeur; on égalera la fraction restante de la même valeur, à une nouvelle inconnue, etron aura une nouvelle équation, sur laquelle on opérera comme sur la première , et ainsi de suite.

Diaprés cette marche , si on a Téquation

aojp — 31^ = 7... (i)

on prendra d'*abord la valeur de x-^ qui sera arsz— :^- — 2 . on

' , Bit*

extraira les entiers contenus dans le terme inconnu — ^ de celte

valeur, te qui revient à diviser 3i par 20, et Ton aura x-^zj

Egalant la fraction restante à une nouveUe incont

nue u , il viendra

— — -z^iu et xz=Ljr'\'U,

Traitant la première équation en u comme la proposée , on

aou — 7 , Q« — 7 trouve yz=i — : ^=rtt + ^ i; puis

znjJ et ^=:i«-|-"'*

La première équation en u' donne successivement