Racine carrée

I* On sait (200) que le plus grand carré 49 contenu dans la première tranche 58, est le carré du premier chiffre de la racine ; de sorte que le premier chiffre est 7. Soustrayant 49 de 58, il reste 9. A. coté de ce reste 9 abaissant la seconde tranche 98 , il vient 998. Mais le plus grand carré contenu dans les deux 1'** trandiçs , éunl celui des deux 1"' diiffres a et x de la racine (200), ce plus grand carré est (a-j-x)', ou a* + ^^w^ + ^'* Et puisqu'on vient de soustraire de ces deux tranches , le carré 4g ou a* du premier chiffire, le reste 998 dDit renfermer 2ax

4- X*. Or le premier chiffre a désigne' des dizaines par rapport, au second x \ donc ^icÈc exprime aussi des dizaines ^ et ne peut se trouver que dans les 99 dizaines de 998, qui contiendront en outre les dizaines fournies par les autres parties du carré de la racine. Mais puisque ^ax se trouve seul dans 99, il est clair qu^en divisant 99 par aa ou .i4i double du premier chiffre 7 de la racine, le quotient sera le second chifire x ; car sauf les dizaines fournies, on divisera un produit par Pun de ses deux facteurs : 14 est bien contenu 7 fois en 99 ; mais à cause de la retenue, il ne faut mettre que 6 au quotient.

a* Pour vérifier si le quotient 6 est le second chiffre x de la racine cherchée , il faut soustraire du reste 998 la quantité qu^l doit renfermer, savoir aux + x^ ou (aa + x) x. Or, comme a ou 7 exprime des dizaines par rapport à cr ou 6, et qu^on ajoute on chiffre d^unités à des dizaines en récrivant à la droite de cellesci , on voit que pour vérifier la racine trouvée 76, il faut écrire le second chiffre 6 à côté du double i4 du premier 7; multiplier le résultat 146 par 6, et soustraire le produit 876 de 998 \ ce qui donnera laa pour reste. Mais en opérant ainsi, on soustrait ikax-^-x* du reste 998 des deux premières tranches, et par conséquent de ces deux tranches : et comme déjà on en a soustrait A*, il s^ensuit qu^cn tout on a soustrait des deux premières tranches a*-|- lax + x* ou (a -|- x)', c'est-à-dire le carré de la racine trouvée 76. Donc, puisque le reste laa est moindre que a (76) -f- 1 , les deux premières tranches elles-mêmes sont moindres que (76)* 4" ^(76) + Il ou que (76-1-1)', ou enfin que (77)'. D'^où il suit que le plus grand carré contenu dans les deux premières tranches est ( 76 )' : et comme ce plus grand carré est celui des deux premiers chiffres de la racine (aoo), il sVnsuit que 76 exprime ces deux premiers chiffres (*).

3* Pour avoir le troisième chiffi*e , il suffit de recommencer

(*) Si le reste était = ou ^ 2 ( 76) -f- i , les deux premières tranches atnient =: ou ^ ( 77 )* : et comme ces deux tranches expriment des centaines, elles seraient = ou > (77)* centaines, = ou ^ ill^Y* Le nombre proposé serait donc ^ (770)'', la racine carrée de ce nombre serait donc ^ 770 ou que 77 dizaines, et la racine trouvée 76 serait trop petite d^nne unité au moins. Eln principe, la racine trouvée n^est exacte ,cn nombre entier, que quand le reste est moindre que le double de oetttt racine trourée, plus Tunite'.

les raîsonnemens précédens. Ainsi abaissant la troisîjine tranch^ 24 à côté du reste las, ce qui donne 1^34^ et divisant 1222 par i5a, double des deux premiers chiffres 76 de la racine, le quotient 8 exprimera le troisième chififre ou un chiffre plus grand. Pour vérifier ce quotient , on Técrit à côte de i5a, double des deux premiers chifires, on multiplie le résultat iSaS par 8, et Ton soustrait le produit 1 2224 du reste 12224 ^^^ ^^^ premières tranches. De cette manière , on a soustrait de ces trois tranches le carré de la racine trouvée 768 ; donc, puisqu^il ne reste rien, cette racine trouvée est exactement la racine carrée du nombre proposé 589824*

^02. Le résumé de toutes les opérations que Ton vient de faire , conduit à la règle que voici : Pour extraire la racine carrée d^un nombre entier, ^il faut le partager en tranches de deux chiffres chacune , en allant de droite à gauche ; extraire ensuite la racine carrée du plus grand carré contenu dans la première ' tranche, et cette racine sera le premier chifhre de la racine cherchée. Après avoir soustrait le carré de ce premier chiflre de la première tranche, on abaisse la seconde à côté du reste, on sépare le dernier chiflre à droite par une virgule , on divbe la partie à gauche de la virgule par le double de la racine trouvée, et le quotient exprime le second chiffre ou un chiffre plus grand. Pour vérifier ce quotient , on Técrit à côté du double du premier chiffre, on multiplie le résultat par ce quotient, et Ton soustrait le produit du reste de la première tranche réuni à la seconde : le nouveau reste doit être moindre que le double de la racine trouvée, plus Tunité (201, 2°). On abaisse de même la 3"' tranche à côté du reste des deux 1'*', et Ton continue le même procédé jusqu^à ce qu^il n^ ait plus de tranches à abaisser.

D'après cette règle , on trouve que 1/76807696 zr 8764 et que 1/759278025 = 27555. Les élèves feront bien de recommencer sur ces exemples, les raisonnemens qui ont conduit à la règle proposée.

2o3. Remarquons que si Ton voulait opérer Pextractîon de la racine carrée en commençant par la droite \ comme le carré du premier diifire à droite de la racine cherchée peut avoir im ou deux chiffres , on ne saurait s'il faut chercher ce carré dans \é i^ oq dans les deux i*" chiffres à droite du nombre proposé : donc il est nécessaire de conunencer Textraction par la gauche.

2o4* On abrège beaucoup rextraction de la racine carrée, lorsqn^on fait par la pensée , les opérations que les vérifications exigent. Et s^il arrive que la partie à gaudie de la virgule ne contienne pas le double de la. racine trouvée, on met o à la radne et on abaisse sur-le-champ la tranche suivante. Cest sài^i qnW trouve aisément la racine carrée du nombre 543oooooooo.

Voici l'opération : , ' ' • * .

140,0 11000,0 167960,0 Reste... 281471

Puisque cette opération laisse un reste , la racine trouvée est trop &ible ; mais comme on ne saurait mettre ^ kla dernièrç racine partielle, sans j mettre trop, il sVnsuit que la racine totale 233o23 ne saurait être augmentée d^une unité '^ elle est donc approchée de la véritable , à moins dWe unité près.

2o5. Potir extraire la racine carrée d^une fraction , il faut diviser la racine carrée du numérateur par celle du dénonU» nateur. C'est ainsi qu'on aura

a33o23. Racine.

Effectivement, si on élève chaque résultat au carré, t)n retrouve le nombre qui l'a donné.

La règle précédente n'est plus immédiatement applicable, lorsque les deux termes ne sont pas des carrés parfaits^ c'est-àdire les carrés de nombres entiers : alors la racine carrée ne peut plus s'obtenir que par approximation.