Pour trouver la radne carrée d'un nombre quelconque

a, à moins de - près, il faut multiplier ce nombre par n'^ puis

extraire la racine carrée du plus grand carré r* contenu dans la partie entière du résultat an^^ et donner à cette radne r, le nom-

bre n pour dénominateur. De sorte que ^a =:- , à moins de — près.

En effet, puisque r' est le plus grand carré contenu dans an*^ le carré de r -f- 1 n'j est pas ; on a donc

( 9» ) an*>r* et âB'<(r+i)*î d'où a>î^ et a^^^^-

Extrayant la racine carrée de part et d'autre, U vient (197)

l/a>- et i/a<:~+--

On voit que la racine carrée de a ne surpasse pas - de - ; on a donc efTectivement \/a = - , à moins de - près , comme on Fa trouvé en appliquant la règle proposée.

207. Au moyen de cette règle ^ on pourra toujours trouver un nombre aussi approché qu^on voudra de la racine carrée d W nombre donné. Mais Papproximation par les décimales étant la plus importante , nous allons d^abord nous en occuper. Soie donc proposé de ti'ouver la racine carrée de 7,4^^7 ^ moins d^un millième près.

Diaprés la règle précédente, on multiplie 7^4^! P^ '^ carré de 1000, ou par 1000000, ce qui donne 74S1000; on extrait la racine carrée du plus grand carré contenu dans la partfc entière du nombre résultant, c^esl-à-dire dans 7451000, ce qui fournit 2729; enfin, on donne à cette racine 272g, le nombre 1000 pour dénominateur, ce qui se fait en séparant trois chif&es décimaux sur sa droite \ et Ton a ainsi [/'j^^Si = 2,729, à moins d^un millième près.

C'est ce qu'on peut d'ailleurs démontrer directement , en observant que 7,45* l>(2r729)' et que '],^5i <(2,73o)*.

208. De même, si Ton veut avoir la racine carrée de i3^, à moins d'un centième près, on multipliera i3| par 10000, carré de 100; ce qui donnera, réductions faites, 1 38333g : la racine carrée de 1 38333 étant 371, â moins d'une unité près, il en résulte que 1/^13^ = 3,71, à moins d'un centième près.

209. En appliquant la même règle, on trouve: |/'è-—^/9^^4i à moins de 0,0001 près ; (/7-?j=: 2,779, à moins de 0,00/1 pr«; l/3J=:-^, à moins de ^ près, et 1/223 = ^, à moins de ^ près.

210. Lorsque le nombre proposé a plus de deux trcinclies de chiiTres, on peut toujours achever l'extraction de la racine carrée par une simple division. £n effet , soit Al un nombre dont les n derniers chiffres de la racine carrée sont à trouver ; soit jc ces n

âerniers chiffres, et a ceux déjà calcules; ces diifires calcules forment donc un nombre a suivi de n zéros ou a . i o" (*) ; on a par conséquent a.\o^'\'X'i=: \/k. Elevant les deux membres au carré , on obtient

a*, lo^^^- 2tfx. lo" + x' n t ;

d^où en retranchant de part et d^autre a*, lo''' et x*, il vient

2tfx.io'* = A: — a'.io"* — x*.

Divisant enfin les deux membres par ia. \o^^ on trouve

A— a*.io"* .X» , ^

X mi — — ^— . — — ■■ •••11)

Puisque x a n chiffres , x est moindre que le plus petit nom* bre de (n-f- 1) chiffres, qui est i suivi de n zéros ou lo'^ ; on a donc x < i o'* et x* < i o*". Or, tant que a nWra pas plus de chiffres que x, la seconde fraction du second membre de (i) pourra surpasser Funilé. Mab si a contient seulement un chiffre de plus que x, cVst-4i-dire (n + 1) diiffres ; en prenant la plus petite valeur de a, qui est le moindre nombi'e de (/t-|- i) chif-

fres ou lo", la seconde fraction dont il s^agit deviendra ;;=

et aura sa plus grande valeur; donc, puisque x'<^ lo"*, cette seconde fraction sera toujours moindre que -f; on aura donc

toujours *— a*.io»« . . j , »

X = ^ — , à moms de -- près.

De là et de ce que x a moins de chiffres que a^ il résulte que s^il reste à trouver moins de chiffres à la racine qu^il n^ en a de calculés, on achèvera Pextraction en abaissant toutes les tranches non employées à coté du reste des premières , puis en divisant le nombre résultant k — fl* . lo*'* par le double de la racine trouvée a suivi d^autant de zéros qu^il j a de chiffres à déterminer, en poussant le quotient jusqu^aux unités seulement (**). Alors

(*) H est clair que 100=10*, iooo=:io3, 10000=10*, et en général, 1 suiifi de n xéros'=. 10^. Multipliant a par chacune do ces expressions égales, on aura a suivi de n zéros ^=ia. \d*.

(**) On Toit par là que si la racine carrée doit avoir a/i-{-i chiffres, la Talenr des n chilGres à droite du nombre proposé n^influera pas sur la valeur de la racine carrée de ce nombre. Ainsi, en s^arrétant aux unités, la racine carrée de ']^\ZS^^%')7.^\ est la même que cçlle de 7413589467000.

bu aura la racine carrée du nombre proposé Al, à moins 'd^une demi-unité près de Tordre le moins élevé de cette racine.

311. Ainsi la racine carrée de 1 1 1 1 o888g devant avoir cinq chiflres , on en calculera d^abord les trois premiers , suivant la règle ordinaire, ce qui donnera 333 ; puis on divisera le reste 2198889 par 66600, en poussant le quotient jusqu^aux unités, et ce quotient sera 33. De sortq que |/^i 1 1 108889=: 33333, à moins d^une demi-unité près. Et en effet, 33333 est exactement la racine carrée de 1 1 1 108889. Cest ainsi qu^on trouve facilement que

[/a =1 1^4*4^^^56337 et que |/3= 1,7330508076.

313. Si deux nombres^ composés d*un même nombre de chères ^ ont plus de la moitié de leurs chiffres formant un mémef nombre vers la gojuche^ la demi-somme de ces deux nombres ne surpassera pas la racine carrée de leur produit d*un huitième d'unité.

Soit a le plus pedt des deux nombres proposés et d leur diffe'rence ; le plus grand sera a-^-d et leur demi-somme a-j-jd. Or, il est clair

qu'on a (a-^-^d^^^a^ + ad et a + j^i > 1/7(1+3) : D'où Ton voit que la demi-somme des deux nombres proposa est plus grande que la racine carrée de leur produit. Soit x la différence, on aura donc ^

a + ï4= l/rt (a-^-d) + X.

Elevant de part et d'autre au carré, et réduisant, il vient

jd» = ax|/a' + ad -f- x» ; d'où Sax < d^.

Soit n le nombre des chiffres qui forment la partie non-commuqe des deux nombres proposés; ces deux nombres auront donc au moins sn+i chij&es, et leur différence d n'en aura que n; ainsi «i<io'* et d'<io''*. D'ailleurs , puisque le plus petit nombre a contient au moins 3/t -f- 1 chiffres, on a aj>io^^\ d'où aax>8x.io*'». Or, 8ax<<i» et Sax <io"?-, donc, à plus forte raison, 8x.io"*<io"*', d'où x<^« Ce qu'i^ fallait démontrer.

Le principe s'applique aussi au cas où les deux nombres proposa exprimeraient des décimales de même ordre , en prenant pour unité la . partie de la moindre espèce.

Notions suir les irrationnelles et les imaginaires.

21 3. On appelle quantité incommensurable^ toute quantité qui n^a point de mesure commune avec Punité, c'est-à-dire qui ne peut jamais contenir sans reste Pune des parties égales de 1 imité. Ainsi une quantité incommensurable ne saurait être ex-

primée exactement par un nombre ; car tout nombre coptient exaclemient Tune des parties égaies de Punité : cette quantité n^a donc point de rapport exact avec Punité \ et c'^est pourquoi on rappelle aussi quantité irrationneUe.

ai 4* Tous les nombres entiers et fractionnaires ont une commune mesure avec Tunité ; ils sont donc commensurahîes ou rationnels. Par exemple, 29 huitièmes est un nombre rationnel^ parce que sa commune mesure avec Puni té est un huitième.

21 5* On peut *^^ours trouver un nombre aussi approché qu'on veut a une quantité incommensurable. Car soit p Tune des parties égales de Punité , n le plus grand nombre entier de fois que cette partie p est contenue dans Pincommensurable a , et r le reste ; on aura donc az^np-^-r. Or, la partie p peut être prise aussi petite qu^oh voudra \ et comme r <^ /:;, il en résulte que le nombre np dîSkre de a d^une quantité r aussi petite qu^on veut.

a 16. Si la racine carrée d'un nombre entier a , n*est pas un nombre entier^ cette racine sera incommensurable. Car, si la

racine carrée de a pouvait être une fraction irréductible ;j>.on aurait successivement

Or, d est premier avec n , par hypothèse ^ donc d est premier avec chacun des facteurs du produit n*\ d ne divisera donc jamais ce produit (Arithmétique), et ne donnera pas le nombre entier dd au quotient. Ainsi la dernière égalité précédente est impossible ^ il en est donc de même de la première, c^est<à-dire que la racine carrée de a n'^est pas égale à une fraction. Déjà elle n^est pas égale à un nombre entier ; donc cette racine ne saurait, être exprimée exactement par aucun nombre ; eUe est par conséquent incommensurable (21 3).

Ainsi |/a, 1/5, 1/7, 1/8, etc., sont des quantités incommensurables, qu^on ne saurait exprimer exactement en nombres; mais dont on peut approcher au point , que la véritable valeur nmnérique n^aurait aucun avantage réel sur la valeur approchée.

'217. La racine carré ê^une fraction irréductible est incommensurable , dès que Tun des termes de cette fraction n'est pas un carré parfait. Considérons , par exemple , la racine

carrée dé k fracdoû irrédoct3)le — D^abord cette radoè carrée

ne sera pas un nombre entier, puisque le carré d^un nombre entier ne peut jamais donner une fraction irréductible. Si cette

racine carrée pouvait être une fraction irréductible - , on aurait

a n ,. . <i n* en*

Si un nombre premier p pouvait diviser n* et iF^ il devrait diviser aussi n et ^, puisque ne divisant pas n et <2, il ne diviserait pas non plus les produits n* et d* (Arithmétique) : p diviserait donc net d^ et la fraction - ne serait pas irréductible,

contrairement à llijpothèse. Donc n' et d* sont premiers entre eux. Par conséquent, puisque d* divise le produit cn*^ il faut qu'il divise le facteur c, et il vient cz^qd**^ d'où a=^qn*. Mais a et c étant premiers entre eux, n'ont d'autre facteur commun que l'unité : donc <j = i ^ ce qui donne â=:n' et c = ^.

D'où il suit que les deux termes de - seraient des carrés parfaits;

ce qui est contre l'hypothèse. On voit donc que la racine carrée

de - ne saurait être exprimée exactement par aucun nombre ^

et qu'ainsi elle est incommensurable.

218. Le calcul des nombres incommensurables se fait d*an près les mêmes règles que celui des nombres rationnels. Car on ne saurait trouver que par approximation les valeurs numériques des quantités incommensurables. Or, on peut toujours concevoir que chaque nombre irrationnel soit remplacé par une fraction exacte, qui en difière d'une quantité moindre que toute quantité donnée (2 1 5), et tellement petite, qu'on ne doive avoir aiicun égard à l'erreur que l'on commet en négUgeant cette petite quantité. De cette manière , les nombres incommensurables proposés ne sont plus que des nombres commensurables , qu'on doit soumettre conséquemment à toutes les règles du calcul des nombres rationnels.

219. Donc, puisqu'un produit de plusieurs facteurs commensurables quelconques, ne change pas de valeur dans quelqu'ordre qu'on multiplie ( Arithmétique ) , la même chose aura lieu pour des facteurs irrationnels. Et il en est de même de toutes les règles établies pour le calcul des^ entiers et des fractions.

( 97 ) Da là résultent plusieurs principes pour les puissances et les raicînes. Voyons d^abord ceux relatifs aux carrés et aux racines carrées^ et rappelons-nous que , diaprés la définition de ces ravdnes, on a ( |/a)' 7=.az=. |/^a*.

^20. Soit abc un produit dans lequel a^ h^ c^ sont des nom* ' bres quelconques , rationnels ou irrationnels \ diaprés ce qu^on a vu (219), il est clair que

{abcy zn abcabc = aabbcc = a%^c^.

G>mparant la première de ces expressions égales à la dernière^ et réciproquement , on verra, 1* que le carré d*un produit est égal au produit des carrés de ses facteurs; a* que le produit des carrés de plusieurs nombres est égal au carré du produit de ces nombres. Ainsi

SU. Le dernier de ces principes et celui du n** 219 font voir qae le carré de l/^a ^b [/'c est abc ; il faut donc qu^on ait

\/a\/b\/cz=z[/âbc.

Donc ,!*"&} racine carrée d'un produit est égale au produit des racines carrées de ses/acteurs ; a" le produit des racines carrées de plusieurs nombres est égal à la racine carrée du^ produit de ces nombres. Par exemple, on a

1/7» X 1/8 = 1/(72. 8) = 1/(36. i6) = 6.4 = 34. 222. Le second principe que Ton vient d'^établir donne

l/'xi/c = |/a; d^où Pondre l/î = ^.

Ainsi ^ l'^la racine carrée d'un quotient s'obtient en divisant la racine carrée du dividende par celle du diviseur; 2* le quo" tient des racines carrées des deux nombres est égal à la ra-* dne durée du quotient de ces mêmes nombres. Appliquant ces {Nrincipes , on trouve

l/(25:64) = 5:8; 1/96:1/6=1/16 = 4 et

223. Toute racine carrée doit être précédée du double signe s±=. Car la racine carrée de 9, par exemple, est un monôme qui, multiplié par lui-même, reproduit 9; or, — 3X — 3 donne -t-9i ^^^ ^^^^ V^^ +3x-|-3 ^ donc — 3 est U racine

( 98 ) carrëe de 9, aussi bien que -|- 3 : donc enfin |/<9 = r±r 3. En ^éaénl , si v désigne la valeur numérique de la racine carrée de a^ on aura ^a z=z±zv,

124» La racine carrée d*une quantité négative n'existe pas. Car il ny a aucun monôme qui , multiplié par lui-même, donne im résultat négatif, puisque — par — * donne -)-, aussi bien que -)- p^ + (4^) • ^^^^ ^ racine carrée de — 16 n^existe pas ou est impossible.

Ainsi p/ — 1, 1/ — 4i 1/ — ^1 etc. sont des symboles algébriques, qui présentent des opérations impossibles et qu'ion appelle expressions ou quantités imaginaires. C^ symboles , quoique vides de sens, se rencontrent fréquemment dans la réso< lution des problèmes, et j sont même très-utiles, comme signes d^absurdlté , ainsi que nous le verrons dans la suite.

!125. De même que les quantités négatives, les imaginaires doivent être soumises à toutes les règles du calcul des nombres ; car puisque les lettres n^ont aucune valeur numérique déterminée , il est impossible de connaître d^avance si a , par exemple , est plus grand ou plus petit que b ; on est donc conduit , bon gré mal gré, à raisonner et à opérer sur (/(a-^fc), comme si c^était toujours un nombre absolu et réel, même lorsque a<^/», c^est-à-dire lorsque [/(a — b) est au fond une imaginaire. On voit donc qu^il faut opérer sur les imaginaires comme sur les nombril réels : autrement, on devrait toujours supposer ^^i», dans les formules contenant [/^(a — b)\ et Palgèbre n^aurait pas toute la généralité qui en fait le principal avantage.

Ainsi on aura y — 1 X y — 1 =r Çl/ — 1 Y zz: — ^ 1 , et (a+bl/—i)(^a~bl/—i) = a'—b'([/—iy = a*+b\ ia6. D'^après ces résultats , considérons le produit

Si Ton multiplie entre eux les deux premiers facteurs , puis les deux derniers, le produit (1) deviendra

(a» + A')(c' + rf*).

oi Ton multiplie entre eux le prenuer et le troisième facteurs, puis le second et le quatrième, le produit (1) prendra la forme

liiac—bd)+(^ad+bc)i/—i}[{ac—bd)—(ad+bc)l/—i]i

ce produit se réduit donc à {ac — bdy'\'(ad'\-bcy. On a par conséquent Pidentité

(a«+/,«) {c^ + d;') = {ac—bdf+{ad+bc)\

Cette identité est exacte, comme il est facile de le vérifier, enéffeciuant les opérations dans les deux membres. Ainsi on voit que la convention d^opérer sur les imaginaires comme sur les quantités réelles, conduit à de$ résultats exacts, et que par con< séquent cette convention est légitime.

337. Ce n^est d^abord qu^avec beaucoup de circonspection que les Algébristfls ont opéré sur les quantités négatives et imaginaires, cx>mme sur des nombres rëcls. Mais Pexaclitude des résultats qu^ils ont obtenus de cette manière, et auxqueb ils pouvaient parvenir par des moyens plus rigoureux, mais beaucoup plus longs, leur a prouvé qu^on peut, sans aucun inconvénient, traiter les quantités négatives et imaginaires comme de véritables nombres. Cest d^ailleurs le setd moyen de conserver aux régies et aux formules la propriété d^étre gënërales. Or, cette propriété est extrêmement utile en algèbre *, car d^abord elle dispense de reconn mencer, pour chaque cas particulier, les raisonnemens et les calculs, quelquefois trés-^ompliqués , qui ont donné les règles et les formulée proposées; elle rend inutile la distinction, si un non^e donné peut être plus grand on plus petit qu W autre ^ enfin elle conduit souvent à des conséquences et à des questions auxquelles peutr-étre n*aurait-on pas pensé.

De la racine carrée des quantités littérales.

3a8. Diaprés la multiplication des monômes , il est clair que

Ainsi pour obtenir le carré d^ un monôme^ û foui former le carré du coefficient numérique et doubler les exposons des 4UUr es facteurs. C'est ainsi que ( — 'jab^y :=. ^ga b^.

aiQ. Le carré à^un polynôme quelconque est toujours composé du carré du premier terme, du double produit du premier terme par le second et du carré du second , du double produit des deux premiers termes par le troisième et du carré du troisième, du double produit des trois premiers termes par le quatrième et du carré du quatrième ; ainsi de suite.

Eb dTet , si Ton considère a -}- & conune un seul teime , le carré de a + b -{• c sera le carré dW binôme ^ on aura donc

(a+h + cy=i(a + by + :i(a+b)c + (^ =

De là, en considérant a -}-&»)- c comme un seul terme, on trouve •

(a+b'{'C+dyz=(a+b+cy+2{a+b+c)d+d'= a*+Mb+b*+2(^a + b)c+c^+i(a+b+c)d+ir.

On pourrait continuer ce procédé sur (a-{-2p-)-c+£l-)-e)'. Mais pour établir dévoie manière générale la loi qn^on vient d^énoncer, soit a+fc+c+rf+''*+«+fc un polynôme corn* posé de m -f- 1 termes , et considérons -les m premiers comme n^en formant qu^un seul \ nous aurons évidemment

(a + b + C'\ hi + *)' =

Donc si la loi énoncée est vraie pour un polynôme de m termes, elle sera vraie aussi pour un polynôme de m -)- i termes. Or, cette loi est démontrée pour un polynôme de quatre termes; donc elle sera vraie pour un polynôme de cinq termes. Etant vraie pour un polynôme de cinq termes , elle sera vraie aussi pom* un polynôme de six termes, puis pour un de sept, de huit, et en général , d^un nombre quelconque de termes.

aSo. Au moyen de cette loi de formation, on obtient le carré d^un polynôme beaucoup plus simplement que par la multiplication. Par ex. , diaprés cette loi , on trouve sur-le-champ que

{3a* — Mb + /^b'y=z ga^ 1 aa^b+ 4a'i'+ z^a^b^ —i6ab^+ i6b^.

a3i> Maintenant, puisque (4a^i")'= iGa'^i''*, il en résulte que ^iGa^^b*" z=. ^à^b^ (iQ^)» Donc, pour avoir la racine carrée cTun monôme^ il faut extraire la racine carrée du coefficient numérique et prendre la moitié des exposons des lettres. Cest ainsi qu^on aura

,/i55^=5««.» et j/^ = ^(.o5), ■

car chaque résultat élevé au carré reproduit le monôme proposé.

ilZi* Après avoir soustrait dW polynôme le carré des N premiers termes de sa racine carrée ordonnée , si Ton divise le premier terme du reste R aussi ordonné, par le double du pre-

( lOI )

mier terme de cette racine, le quotient sera le (N-f- 1 )iiiae terme de la même racme.

En effet, soit xàT^-^-u les N premiers termes de ta racine carrée ordonnée, xaT^ étant le premier, et soit i^les termes soivans ; cette radne sera donc ( xc^ ~^ <<) -h v ^ son carré , ou le polynôme proposé , sera par conséquent

Et puisqu^on a soustrait de ce polynôme , le carré des N premiers termes de sa racine carrée, c'est-à-dire (a:a'^+ u)*, le reste R est

R = !i(xa'^ + M)v + i;* ou R=:(2xa'^+2w + v) v.

Donc le premier terme du reste R, où la lettre ^ a le plus haut exposant, est le produit de vlxo!^ par le premier terme du multiplicateur t;, où la lettre a a le plus haut exposant (Si). Or, le premier terme de i; est le (N + i)îème terme de la racine cherchée \ donc le premier terme du reste R est le produit de axa"*, double du premier terme de la racine , jnultiplié par le (N -|- 1 ) ième ; donc en divisant le i " terme du reste R par le double du i*' terme de la racine, on aura le (N4-i)ième (58)*

a33. D'après ce principe , il est facile de voir comment oa peut extraire la radne carrée d'un polynôme donné. En effet, en supposant d'abord ce polynôme et sa racine carrée, tous les deux ordonnés par rapport à la même lettre a \ comme ce polynôme est le produit de sa racine carrée par elle-même, le premier terme de ce polynôme, où la lettre a a le plus haut exposant , sera le produit du premier terme de la racine par luimême \ c'est-à-dire , sera le carré du premier terme de la racine dierchée (5i). On aura donc ce premier terme de la racine, ea extrayant la racine carrée du i*' terme du polynôme proposé.

Soustrayant du polynôme le carré du premier terme de sa radne, et divisant le premier terme du reste ordonné, par le double du premier terme de cette racine, le quotient ^ra le (i -)- i)ième ou le second terme (^32).

Ecrivant ce second terme à côté du double du premier, mul« tîpliant le résultat par le m'iSme second terme , et soustrayant le produit du premier reste , on aura un second reste. Or, en opérant ainsi , on soustrait du premier reste , c'est-à-dire du polynôme proposé, le double produit du premier terme de la racine

( loa )

par le second et le carré dii secqnd. Et comme aéjà on a soustrait le carré du premier tefme , il s^ensuit qu^on a soustrait du poljnome, toutes les parties du carré, et par conséquent le carré des deux premiers termes de sa racine carrée \ donc en divisant le premier terme du second reste ordonné, par le double du premier terme de cette racine, le quotient sera le (a -|- i)ième on le troisième terme (sSa).

Ecrivant ce troisième terme k côté du double des deux premiers, nmltipliant le résul^t par ce troisième terme, et continuant comme dans le cas précédent, on aura le quatrième terme de la racine. On aura de même le cinquième , le sixième , et ainsi de suite.

i34* Be là résulte évidemment la règle que voici : Pour extraire la racine carrée dHm poljnome , il faut , après avoir ordonné ce polynôme , extraire la racine carrée de son premier terme, et cette racine sera le premier terme de la racine cherchée. Soustraire du polynôme proposé le carré de ce premier terme de la racine et diviser le premier terme du reste par le double du premier terme trouvé à la racine : le quotient en sera le second terme. Après avoir écrit ce quotient à la droite du double du premier terme de la racine, on multipliera le résultat par ce quotient et Ton soustraira le produit du premier reste. On divisera de même le premier terme du second reste ordonné, par le -double du premier terme de la racine, et Ton continuera le même procédé dans tout le cours de Popération.

Diaprés celte règle, si Ton a le polynôme ^a^b\ — i5a'/>'-fga'fc^-j- i6a*^V — i^b^c + \6b^c , on en extraira la racine carrée , en disposant Popération comme il suit ;

4a«^ — 3«5a — 3flA«

— 1 3a3&3 | ga*^^.

-|- 4^»cï

1 6a>63c3 a4aMc3-(. i6b^<fi.

D^où Ton voit que 2a*i — Zab* + 4^'c est la racine carrée exacte du polynôme proposé. ^

Il est facile d'^appliquer cette méthode à Textraction de la

f io3 )

radne seconde du polynôme ga^i' — \ia b 4-a8a^i^ — ^8aV

235. L^extracdon de la racine carrée d^un monôme est împos* sible, lorsque le coefficient n^est pas un carré parfait , ou que tous les exposans ne sont pas des nombres pairs. Quant à la racine carrée d^un polynôme^ on ne saurait la trouver exactement, dès que le i" terme n^est pas un carré parfait, ou dès qu^on obtient autant de termes qu^il j en a dans le polynôme proposé , car * celui-ci doit toujours avoir plus de termes que sa racine (^^g)- Dans chacun de ces cas , on indique Pextraction et Ton soumet Pexpression radicale résultante à toutes les règles du calcul des nombres ; ce qui conduit au calcul des radicaux du a* degré.

Du calcul des radùcauoc du second degré.

236. On appelle radical du second degré ou quantité radi' cûJe^ toute racine carrée indiquée au moyen du signe [/^.

Le calcul des radicaux du second degré a pour objet de trans* former les expressions des inconnues , de manière que Pextraction de la racine carrée soit la dernière des opérations à efTectaer pour résoudre le problème proposé.

ttZ']. On sait (221) que [/ab-zii[/a[/b\ donc si le nombre a était un carré parfait m', Texpression proposée se réduirait à m[/b, CVst en cela que consiste la simplification des radicaux du second degré \ et il en résulte que

j/2^â5î5V =: j/gôVcTs^ = Zabc^ \/zâc.

Cet exemple fait voir que, pour simplifier un radical du Second degrés lorsque cela est possible^ il faut décomposer la quantité sous le radical en deux /acteurs , dont l'un soit un carré par/ait , et multiplier la racine carrée de ce/acteur carré par la racine indiquée de Vautre facteur»

Au moyen de cette règle , il sera facile de comprendre toutes les réductions que voici :

.1/75^ I /a5a> U Sal/Ji Sa ./^rr-

1 iX ■ ■■ zr 1/ ■ • — ^z — E/ — zz: —7— |/ obc ;

r -98^3 r ^» ac 7c ^ ac i4<î» ^ ^

2* ZaY— i6û' = 3a j/i6a'X — i = i^a' K^ 5 3* Réduisant d -abord au même dénpmînateur tout ce qui est

^ ( io4 )

ious le radical , développant et réduisant les termes , on verra

Le but de ces transformations n^est pas seulement de simplifier là quantité soumise au radical *, mais aussi de rendre les expressions plus propres au calcul algébrique.

238. Les mêmes motifs portent aussi à faire entrer sous le radical, la quantité qui le multiplie : pour cela, il suffit d^élever cette quantité au carré, et de multiplier par ce carré, la quantité sous le radical. En effet, diaprés ce qui précède , il est clair que

oa'fc yjâbc = l/^âFP 1/3^ :^ {/^^"^ . 3abc.

C'est ainsi que Sa y^ |~ = Y T" * 9^* ^^ ySab.

Cette transformation est utile dans les applications numériques, pour bien connaître le degré d'exactitude du résultat. Car si dans a: = 1 20 [^Z , on extrayait la racine carrée de 3 , à moins d'un cent-millième près, on ne serait pas sûr que la valeur qui en résulterait pour x^ fût approchée de la véritable, à moins' d'un millième d'erreur ; tandis qu'en prenant x =: J/3. i44<)0

nz 1/43200, on connaîtra toujours de combien on est approché de la vraie valeur de x (206).

' 23g. Deux radicaux du second degré sont nommés sembla" hleSy lorsque la quantité sous le signe radical est la même pour tous les deux. Ainsi ^ l/3ab et — ib[/3ab sont deux radicaux semblables : les multiphcateurs 4^ et 2/» en sont les coefficiens.

Les radicaux 3a yôiab^ et 2^ (/oo^ ne paraissent pas semblables \ mais ils le deviennent en les simplifiant Tun et l'autre (237) ; car alors ils se réduisent respectivement à "Zab l/2àb et 4^6 {/%ab.

240. L'addition et la soustraction des radicaux ne peuvent te Êdre que quand ils sont semblables \ alors il suffit d^a^'outer ou de soustraire leurs coefficiens et de multiplier le résultai par la quantité radicale commune. C'est ainsi que

3a |/5tf + 2& i/Sa — 6b \/5a = (3a— /^b) \/5a.

( loS )

^41 • BfainteQant, puisque ^a \/b := yc^ (221)1 0 en résulte que pour multiplier entre eux plusieiu^ radicaux du second degré, il suffit de multiplier entre elles les quantités qui leur sont soumises, et d^afTecter le produit du signe radical commun. Et si les radicaux avaient des cocfficiens , il faudrait multiplier ceux-ci Pun par Pautre. D'après cette règle , on aura

M yVa X 3b l/6ârz=: 6ab j/i8a'i = iSà'b j/âS. a4a. La même règle donne

Donc pour diviser deux radicaux du second degré Vun par. Vautre , il suffit de prendre le quotient des quantités qui leur sont soumises , et d'affecter ce quotient du signe radical com" mun. C'est ainsi qu'on aura

6ab yrSab : Zh\/3h = ia\/Sa et j/^ : ^/^ = 1/2.

!i43* La règle de la multiplication des radicaux du second degré présente une exception , lorsque ces radicaux sont imaginaires. En effet, d'après cette règle, on a y — a X y— a 1=: j/a* = =4= a (aa3). De sorte qu'il y a incertitude sur le signe dont a doit élre affecté , pour former le produit demandé. Cependant le véritable produit est — a\ car il est dair d'ailleurs

que Y— a X j/^^ = ((/—a)' = — a (aaS).

. En général , le produit de deux radicaux imaginaires du second degrés est toujours négatif et réel^ car il est visible que

j/^j/Zr^ = j/aX — ij/&X — 1 =

yab(—iy=—i/^.

La règle de la division des radicaux présente aussi une exception lorsque le dividende étant réel , le diviseur est imaginaire; car d'après cette règle, on trouve ^/ô * l/"— 3 =1/' — 2, tandis qu'on doit avoir j/6 * |/' — 3 = — (/ — 2.

a44* Lorsque le dénominateur d'une fraction est irrationnel , il faut, pour savoir, dans les applications numériques, de combien on est approdié de la vraie valeur de la fraction , rendre

( ia« ) Des équations du second degré.

a47- On sait qu^une équation est du second degré, lorsque le terme qui a le plus de facteurs inconnus , en contient deus

Une équation du second degré à une inconnue est incomplète ou à deux tenues y lorsqu'elle ne renferme que le carré de Pinconnue, avec des nombres donnés ; elle est complète ou à trois termes^ quand elle contient les deux premières puissances de Pinconnue : olx^ -{- 3 = Sx* — 9 est une équation incomplète , et 5x*-— 4 = 3<r est une équation complète.

348. Considérons d'abord une équation incomplète en x. Il est clair que si Pon remplaçait x* par u, cette équation serait du premier degré en f« ; ainsi on pourra toujours résoudre Péqua* tion proposée par rapport à x*, comme si elle était du premier degré ; ce qui donnera un résultat de la forme x^zzza.

On voit que x est la racine carrée de a (196) : et comme toute racine carrée doit être précédée du double signe =±=;f il s'ensuit que x = =t: \^a.

Il suit de là que pour résoudre une équation incomplète du second degré , il faut la transformer en une autre , où le carré de Pinconnue soit seul et positif dans le premier membre, puis égaler cette inconnue à plus ou moins la racine carrée du second.

D'après cette règle , si Pon a l'équation

Ï + > = T -58, on en déduira x = *5. De même, on tire de l'équation

4Âr~3Ï + =» — 3ér + — ' ^ .ct/3a-4fe'

249* Si Pon extrait les racines xarrées des deux membres de l'équation x*=i:a, ces deux lacines seront nécessairement égales : et comme toute racine carrée doit avoir le double signe =±=, on aura =±: x = =^ l/Vi ; ce qui donne , on combinant les signes ^

+ x = + l/tf, +x = — l/£l, — xzzz — t/tf, — xrz + i/a.

Ch$u:igeant les signes des deux membres , dans les deux der-

f '^9 ) iiîirei valeurs, elles deriennent les deux premières (91); donc les quatre valeurs se réduisent à ces deux premières, c^est-à-dire à jp == db: \/a. Ainsi, quand on extrait la racine carrée des deux membres d!une équation , on ne doit donner le double signe =i= qu^à la racine carrée du second membre ; car on n^aunit rien de plus en donnant aussi le double signe =±= à la racine carrée du premier, comme on vient de le voir.

aSo. Une équation complète du second degré peut toujours Are ramenée à Informe x* + nx=:p.

U suffit pour cela , de faire disparaître les dénominateurs , de transposer et réduire les termes, de dégager x^ de son multipli* cateur, de rendre x* positif, s^il se trouvait négatif, de représenter par n le coefficient de :r, et par p Fensembie des nombres connus du second membre. Et comme ces diverses transformations ne détruisent pas Pégalité des deux membr^, Finconnue X ne change pas de valeurs pour maintenir cette égalité ; les valeurs de x dans Féquation résultante x'-f-nx^:/», sont donc lei mêmes que dans Féquation proposée.

Par exemple, soit Péquation

on en déduit, en faisant disparaître les dénominateurs,

i4x — 2x* — 84j:+a45+7«r'=:ix — io+36x — io5 — 3x%

en transposant et réduisant les termes ,

Sx' — loSx =1 — 36o \

enfin, en dégageant x* de son multiplicateur 8', ce qui se fait en divisant les deux membres par 8,

Cette équation est effectivement de la forme x*-{- nxznp, !i5i. Voyons maintenant comment on peut résoudre les équations con^lètes du second degré, ramenées à la forme

x'+nx = p, ... (1)

n et p étant deux nombres quelconques, positifs ou négatifi.

D^abord , si Ton compare le premier membre x*'\;'nxvi carré dHm binôme dont x serait le premier terme, on verra que x* est le diurré du premier terme x de ce binôme \ et que -f-itx

est le produit da premier terme x par le double du second ; ce second vaut par conséquent +4-^« Or, le carré de j?-f»~n est x^-^-nx-i- •^*. Ainsi , on voit qu^en ajoutant -^n* aux deux membres.de Péquation proposée, le premier sera le carré exact de j: -}" T^ î on ^^ui^ donc

Extrayant les racines carrées des deux membres, et observant que celle du second doit seule être précédée du double signe =t:, "viendra ^^^^^^^,-^-^,^^^^^^^

~ Transposant ~/t, on trouve enfin

^ xz=z—i^=t:i/p;rfr\

G)mparant cette formule à Péquation (i), on verra que, pour résoudre une équation complète du second degré, ramenée à la forme x* '^ nx z=z p^ îl faut égaler Tinconnue j? à la moitié du coèfiScient n du second terme rtr , pris en signe contraire, plus ou moins la racine carrée du résultat qu^on trouve en ajoutant au second membre p le carré de cette même moitié.

D"*après celte règle , Péquation x* — 4-*^ = 5 donne sur-le-

d^où résultent x 1= 5 et x = — 1 . Et en effet , chacune de ces valeurs réduit Péquation proposée à 5 = 5.

La même règle appliquée à Péquation

fournit x=:?±l/^ + l5.

Réduisant les fractions sous le radical au même dénominateur

(*) Si Ton extrait la racine carrée du premier membre de Téquation (1), on trouvera x~\-\n pour racine, et — J/i» pour reste; de sort* que si Ton avait d^abord ajouté ^/i« aux deux membres de Péquation (1), -I- In* et — ^* se seraient <ktruits dans Pextraction de la racine carrée du premier membre de la nouvelle équation \ et cette racine aurait été ' -|- â/i exactement. Et comme la racine du second ndembre doit seule avoir le double signe, il en rénilte Péquation (a) du texte. Ce procédé peut servir à abaisser an second degré, quelques équations da quatrième, comme on le verra plus bas.

( II

64 ) effectuant la sonstraction des deux nouvelles fractions, et extrajant la racine carrée du reste ^, on aura

X ru — =±= - ; d ou xziz-^'zz. n-^ et x =1 -^ =z 6.

!i5a. Soit à rësoudre-réquation littérale

Cette équation devient successivement

ax* + 2i*x + a'^ = hx^ + aa'a: + ûî*i

et x = a + b=t2ya*+b^ + ab.

i53« An moyen de la méthode précédente , il sera facile dé résoudre les équations que voici :

3x , or— 34 ar» ^x , 1 a:» nx .

x-3 lo-x' la 8 4 i5 10 * '

aV=:2^/(tf+^)j: — (a — ^)"; x(fl — x)+2a*z:zgah — 9^*5 »

ar-h4 Sx — ao^ x> ^'i ^** *

X» , aix - X» , aox , - fx+a)» ,

^ + -. + fl = - + — +S-, J-^ = «6, «enfin

a (a 4"^) a: - «x» &x* aa&x»

a54- Lorsque Tinconnue entre sous un radical du second degré , il faut d^abord faire disparaître ce radical , en le laissant seul dans un membre, puis en élevant au carré de part et d^au* Ire. Diaprés cela , Téquation ^lx — 3 [/xziz^ , devient successivement ; asr — 2 = 3l/x, 4^ — 8j:+4=9^ ^^ ^* — t?-^ =: — 1^ d^où x^z^etxz^-^*

' La première valeur satisfait à Péquation proposée ; mais la seconde n'*j satisfait pas : elle résout Téquation 2x4- 3l/'x=z:a. Cela vient àt ce que cette équation et la proposée donnent une mime équation sans radical. Voici encore trob équations ;

Sx — aJ/S— ar = 8, x = c» + au |/x~fl\ i+K^*+3x-2) = l/(x'+4x + 4).

On ferait aussi disparaître un radical en Pégalant k une noo- ▼elle inconnue. G^est même le moyen le plus simple de résoo* dre Pëquation proposée, lorsque Tinconnue est au pi;emier degré sous le radical. Ainsi dans Pcquation

^^^n+K^' + »c — 34 = x + 4, on fera j/ar + 4 = «; d'où xzni^ — 4*

255. Si Pon a deux équations à deux inconnues, l^me du premier degré 'et Pautre du second, on prendra, dans la première, la valeur d'une inconnue, et l'on substituera cette valeur dans l'autre équation ; ce qui donnera une équation du second degré. C'est ainsi qu'on résoudra chacun des deux systèmes d'équations :

3x — ^ 27^ = 6 et X* — ^xjr + V*""J^ +5 = 0, y-^-ax-^zh — ac et x^+j^'zri' + c*.

Le dernier fournit des valeurs rationnelles à x et à j^^ aussi bien que le premier.

256. Lorsque les deux équations contiennent diacune les carrés des deux inconnues , il faut en éliminer le carré de l'une d'elles, puis prendre la valeur de cette inconnue dans Péquation résultante, et substituer cette valeur dans l'une des équatipns proposées. Par exemple , soient les deux équations

X* + J-' = axjr et x* — y* =: b :

Ajoutant ces deux équations, et prenant la valeur de^ dans Péquation résultante 2x* zn axjr •\- b , cette valeur , substituée dans la seconde équation proposée , donnera

Cette équation du quatrième degré, se résout comme ceDes du second, en prenant x^ pour inconnue, ou bien en posant X* rz M et x^zzi u. On pourra faire a =: 2-g- et 6 = — 5.

Voici deux groupes d'équations à résoudre :

cV=fr'+j^* et x'z=fc* + (^-û)% x'+j'' = 22 et xjr:=z'j,

257. Si l'on résout par substitution les deux dernières éqoations , on aura - y -r, — —-

X = =fc=J/ll=±=6|/2,

( "5 ) expression qui , d'après ce qu'on a vu précédemment (i^G)-, se. réduit à ^ t, (3 d= ^/a).

On obtient cette dernière valeur en résolvant les équations proposées piu: addition et soustraction.