Considérons les deux équaticms
axz=:bj-—jr* et x*=: i* -|- a/y^ — 27^.
Si Ton prend la valeur de x dans la première, et qu^on substitue cette valeur dans la seconde équation , il viendra
Cette équation iBnale du quatrième degré est complète^ et nous ne pouvons la résoudre, diaprés ce qui précède,, qu^en la ramenant au second degré. Or pour cela , le moyen qui s^offi'e d^abord , est d^extraire la racine carrée du presser membre ; ce qui donnera j"* — bjr-^-a* pour racine, et — a* pour reste. Si donc on ajoute a^ aux deux membres de Féquation finale \ -4-a^ et — a^ se détruiront dans Pextraction de la racine carrée du premier membre de la nouvelle équation, et cette racine sera exactement j^ — bjr-\'a* : d^ailleurs celle du second membre a*b* -\- a* se réduit à a [/a* + b* \ on a par conséquent
équation du second degré, qu^on sait résoudre.
On parviendrait immédiatement à une équation finale du second degré en x, en soustrayant le double de la première équation proposée de la seconde. On peut faire a=:3 et /?=:4*
25g. On simplifie quelquefois la résolution des équations proposées par la manière dont on opère Pclimination. Considérons, par exemple, les deux équations
x^—jr-niaÇji^—i), j*^x = b{xjr—i).
Ajoutant la seconde à la première multipliée par j^, et la première à la seconde nraltipliée par x, nous aurons
3^jr^xzzi{xx—\)iajr-\'b), ou (x/-— i)(tf^+6— x)=o, xj*—X={xjr—\)(bx-\'a), ou(xr— i)(fcx+fl— j-)=o.
Ces deux équations sont satisfaites par xjr — 1 ::=: o, ou bien par ay-^-b — x = o et bx-\'a ^-^yzzi o. Ces dernières équa-
ALOEBAE. . O
tîoiift donneu|*à xeikjr, des valeurs qui satîs&mt.efrectivcinettt aux deux équations proposées. Quant à Péquation 2^— i z=0) ou j^z= i,.elle réduit les deux proposées à x' — ^=:o-et^' — xrro. L^éliminaUon de j^, entre ces deux équations, donne X (x^ — i) = o 5 d'où Ton tire d'abord x = o et j: = o. Mais ces valeurs ne conviennent pas aux équations proposées. On a aussi x^ — 1 = 0, ou bien, en décomposant en facteurs, (x — 1) (a:* + X + i).=i 0 ; de là résulte d'aboid x = 1 , d'où ^ = 1 , valeurs qui satisfont aux équations proposées : il viemt ensuite 3^'{^X'\^ izzio. Cette équation et x* — 7*=:: o , donnent à x el à j^, des valeurs imaginaires, qui ne peuvent résoudre aucun problème (2^24)1 ^^^ q^ conviennent d'ailleurs aux équations proposées.
Si l'on avait pris la valeur de^ dans la première équation proposée, et qu'on eût substitué cette valeur dans la seconde
équation , on aurait eu , en posant p = 1
x^ + px' — X — p=:o, ou (x-}-p)(x^T-i) = o.
Cette métiiode conduit aux mêmes valeurs que la première ; mais elle exige plus de calculs. En général, l'élimination par addition et soustraction doit être préférée , et devient indispensable pour abaisser au second degré les équations x^-f-^^zzig^ et xjrzz.6. [Voyez les Mélanges d^algèbre, pour les équations résolubles comme celles du second degré, pages 38 et suivantes.]
Problèmes du second degré.
a6o. Des voyageurs louent une voiture pour l'jS francs. Arrivés à leur destination^ deux d^entre eux s^échappent sans payer ^ et augmentent par leur fuite ^ de 10 fr, ce que chacun des autres voyageurs avait à payer avant. Combien y avait'il d^ abord de voyageurs ?
Soit X le nombre de voyageurs cherché : Il est clair que
chacun avait à payer d'abord — de franc. Mais puisque deux
d'entre eux s'échappent sans payer, il n'en reste plus que x — 2 pour acquitter le prix 176 francs; donc alors chacun donne
J^ de franc. Mais alors chacun donne 10 fr. de plus qu'auparavant \ donc on a l'équation :
Cette équation peut «e simplifier en divisant ses deux membres par 5 ^ et on en tire, en la résolvant (^Si),
x=:7 et xm — 5.
La valeur positive résout le problème proposé ; car 7 Voja* geurs payant 17$ francs, chacun donne le septième de 175 fi*, ou 25 fr. Mais deux s^échappent sans payer ^ il n^en reste donc plus que cinq pour acquitter les 176 fr. ; chacun donnera donc 35 fr., c^cst-à-dire 10 fir. de plus quWparavant, comme F^xige le problème proposé.
Quant à la valeur négative .r == — 5^^ comme un nombre de voyageurs ne saurait être pris^en sens contraire^ il faut, pour trouver Ténoncé du problème résolu par cette valeur, substituer — X kx dans Féquation proposée (i5g) \ ce qui donnera
^=-£- + ioi ^ = — --. + 10; pi^(9i)
Voilà Péquation du problème résolu par la valeur 5, trouvée avec le signe — • Comparant cette équation à la proposée, on verra que le nouveau problème dont il s^agit est celui-ci : Des vqjrageurs louent une voiture pour l'jS/rancs. Ils rencontrent en route deux personnes , (fuils y admettent , à condition qu^eUès paieront comme eux ; alors chaque voyageur paye 10^^ de 'moins qu'auparavant. Combien y en avait'il d'abord?
On voit que dans ce problème nouveau Finconnue x n^est pas prise en sens contraire , mais bien les nombres 2 et i o. Si' Ton résolvait ce nouveau problème, on trouverait x'=5 et xrz — 7 ^ et la valeur négative 7, qui ne résout pas le nouveau problème , résout le proposé.
261. On a employé deux ouvriers gagnant des salaires différens : le premier ayant été pcyé après un certain nombre de jours de travail^ a reçu ^Sfr^i et le second ayant travaillé deux jours de moins ^ n'a reçu que ^ofr. Si le premier avait travaille 4 jours de moins ^ et le second 6 jours de plus^ ils auraient reçu tous les deux la même somme* On demande combien de jours chacun a travaillé et le prix de sa journée 0
( ii6 )
Soit X le noinbre de jours de travail da premier ouvrier, et j^t celui du second. Le gain journalier du premier ouvrier sera
donc — et celui du second — • Si le premier ouvrier avait tra-
vaille 4 jours de ipolns, et le second 6 jours de plus, ils auraient reçu respectivement ' '
4B(x-4) ^j ao(r + 6)
Mais alors ils auraient reçu tous les deux la même somme; et le second ouvrier a d^ailleqrs travaillé 2 jours de moins que le premier \ on a donc les deux équations
Ces équations fournissent xz=i2 et^=zio; orzz-f et^rr
Le premier coaplç de valeurs résout le problème proposé, et donne 4 &• ^^ ^ fir. pour les gains journaliers des deux ouvriers. Quant au second couple^ puisque la valeur àejr est iTégative, elle résout le problème que donnent les équations proposées en y changeant j^ en — j^ (i5i). Or, par ce changement, ces deux équations deviennent d^abord
-jr-x — i, __--;
ensuite, comme 3f^—/^eix — 2 sont négatifs et égaux à — (4 — jt) et à — (a— x)^ ces deux équations se dhangent en celles-ci :
et deviennent enfin , çn changeant les signes ^es deux membres,
^ — , ,. ^t 48(4-*)ao(6-.y) Y ZZZ 2 — X et — — — ziz — — ^— - .
Comparant ces deux équations aux deux proposées, on verra que le problème résolu par les deux valeurs x =: -f- et j^ = -^, est celui-ci : Ona empUyjré deux ouvriers gagnant des salaires djfferens : le premier a été payé au bout d'un certain nombre de jours de travail^ et a reçu ^S/r,^ le secqnd ayant travaillé % jours moins les jours du travail du premier^ rCa reçu que aofr. Si le premier ouvrier avait travaillé 4 jours moins les jours de son premier travail^ et le second 6 jours moins les
( "7 ) jours de son premier travail^ ils auraient reçu tous les deux ia même somme. On demande combien de jours chacun a tra^ vaille^ et le prix de sa journée.
On pourrait résoudre le problème propose en nVmplojant qu^une inconnue ; mais alors il serait impossible de trouver le problème résolu par la valeur négative. Généralement ^'Pinterprétation des valeurs négatives devient plus facile, lorsque toutes les inconnues sont en évidence. Si donc , dans le problème prcv posé, on désigne par a/ étales gains journaliers derdeuz ouvriers, on aura les quatre équations j:j/ = 48, ^^7^1=20, ^rz: X — 2 et x'(a: — 4)=J^(.r+6)i ^^ lesquelles il devient aisé d'interpréter les valeurs négatives de j- et j^. Et Pon peut remarquer que , dans le nouveau problème, j^h^est pas pris en sens contraire \ mais cela tient à ce qu^au fond y n^a pas changé de signe.
262. Un laboureur ayant semé 3 mesures de hlé^ en a recueilli une quantité inconnue x ; ayant semé cette quantité et 4 mesures de plus , la seconde année , il a récolté 6 mesures de moins que la semence de cette année. Combien le^laboureur a~t'il récolté la première année ^ sachant que les récoltes ont été proportionnelles aux semences ?
Cet énoncé conduit évidemment à la proportion
Cette proportion fournit Péquatîon du second degré x* -f- (4*— 3) X m 3 (4 — 6), de laquelle on lire, en indiquant d'abord les opérations , aGn de mieux voir comment rincounue se compose des nombres donnes ,
. = -<r^±i/'±=iï + 3(4-6),
d'où X = — -^=i=-J- 1/ — ^3. Ces valeurs étant imaginaires ou impossibles (224)^ il en est de même du problème proposé.
Effectivement, les récoltes ajant été proportionnelles aux semences , et la semence x -f- 4 de la seconde année étant plus grande que celle 3 de la première , quel que soit le nombre x, il s^ensuit que la récolte x-{-4''^6 de la seconde année devrait être plus grande que la récolte x de la première. Or, au con* traire, elle est plus petite \ le problème est donc impossible.
En général , lorsqu'on tente de résoudre un problème, o« db
C ii8 )
fah pas d^abbrd si ce problème est possible ou absurde ; on est donc obligé dVxprimer algébriquement toutes les conditions de la question, quoiqu^il jr en ait peut-être qui se contredisent sans qu^on s^en aperçoive ^ et si après avoir examiné tout ce qui peut conduire à la solution, on arrive à une valeur infinie, négative ou imaginaire , on peut en conclure avec certitude que le problème proposé est absurde, et que par conséquent ce problème est résolu.
De même que les valeurs négatives, les expressions imaginaires conduisent à résoudre de nouveaux problèmes, sans qu^on ait à recommencer les calculs et les raisonnemens qui ont fourni ces expressions. Il suffit pour cela, de. rendre positive la quantité sous le radical , en y changeant le signe de Fnn des nombres qui la' composent. Or, si dans Texemple qui nous occupe, on diange 6 en — 6, la proportion et Texpression quelle a dpnnée deviendront 3 : x ;: x + 4 I * + 4 + 6 et
d^où x=z:5 et ar = — 6.
Il est clair que la valeur 5 résout le problème qae voici : Un laboureur ayant semé 3 mesures de blé^ en a recueilli une quantité inconnue x ; qjrant semé cette quantité et 4 mesures de plus , la seconde année ^ il a récolté 6 mesures de plus que la semence de cette année» Combien a-t-il récolté la première année ^ sachant que les récoltes ont été proportionnelles aux semences f
A regard de la valeur négative x = -^ 6 , en changeant x en ^« X, la proportion précédente peut se mettre sous la forme
le problème résolu par x = 6 est donc : Un laboureur ayant semé 3 mesures de blé^ en a recueilli une quantité inconnue x; ayant semé cette quantité moins 4 mesures ^^ la seconde année , il a récolté 6 mesures moins la semence de cette année. Combien a-t~il récolté la première année ^ sachant que les récoltes ont été proportionnelles aux semences ?
Le radical imaginaire deviendrait encore réel , si on j changeait, 1* 3 en — 3 5 2* 3 et 4 en — 3 et — 4 î 3* 4 et 6 en — - 4 ^^ — ^* Dans le premier cas , la proportion devient 3 * x
• ; jr + 4 ! 6 — (j? + 4)i P^^ '* valeur positive de a:, et 3 ^ àr •; 4 — ^l ^ — (4 — •^)i P^'*^ ^* valeur négative ; dans le second cas, il vient, pour la valeur positive de'x, 3 • a: • ; j:— 4 •6 — (x — 4)"» «' V^^ la valeur négative , 3;x;;a? + 4î X + 4 + 6 ; enfin dans le troisième cas,ona3*x**x— 4l X — 4 + ^1 pour la valeur positive, et 3 J x * * r -|- 4 ! 6-— (x -|- 4)i pour la valeur négative. U est facile d^énoncer les problèmes résolus dans ces diverses circonstances.
a63. Voici encore plusieurs problèmes où les élèves pourront s^cxercer à énoncer les questions résolues par les valeurs négatives et imaginaires :
Un particulier achète une ferme; il la revend ensuite pour 4i6o fir., et gagne autant pour loo du prix de l^achat quUI est miarqué par la mil* liéme partie de ce prix. Quel est-il f (R. 4ooo fr. ou — io4oo.)
Une personne emploie un certain nombre d^ouvriers, auxquels ellt paye 33o fr. ; efle emploie dnq ouvriers de plus , mais donne a fr. d« moins à chacun de ceux qu^elle fait travailler , et alors elle paye en tout 370 £r. Combien y avait-il d^abord d^ouvriers? (H. 4o ou -^ ao.)
Quel est le nombre dront le double moins le carre donne 3? (R. Imaginaire. )
Par quel nombre faut-il diviser ao , pour que le diviseur augmenté dn quotient, donne 8? (R. Imaginaire.)
Un marchand achète un certain nombre de pièces de drap pour 16» louis, n y a trois qualité difierentes, mais le même nombre de diaqu* sorte. Chaque pièce de la première espèce coûte autant de louis qu^Û y a de pièces de celte espèce*, unis de la seconde revient à 3 louis de moins, et une de la troisième vaut la' moitié d^une de la seconde. Combien y a-t-il de pièces de chaque espèce? (R. 9 ou — 7/^0
Le produit de deux nombres est 16, et si on ajoute chacun à 6, le produit des deux sommet sera 88. Quels sont ces deux nombres ? ( R. Imaginaires.)
Deux marchands partent an même instant de leur endroit pour aller au marché , à 6 milles de là. Le premier fût par heure un mille de plus que Fautre, et arrive une heure ayant lui. Combien de milles chacun a-t-il fût par heure f (R. Le premier 3 ou — a et le second a ou — 3.)
Un homme place 7000^ à intérêts composés, et au bout de deux ans va lui doit une somme telle, qu^en Tajoutant aux intérêts dé la premier* année, on obtient 91 70^^ pour résultat. A combien pour 100 Targeut était-U placé? (R. à 10 ou à — 3io.)
Deux négocians ont vendu Tun a6 et Taotre a4 aunes d^étofiè. Im premier a donne une aune de moins pour 30^^ que le second, et il a reçu 36^ de plus que oe seeond. Combien chacun a-t-il vendu d^aunes pour 3o^? (R* Le premier 5 ou — 4 ^ 1^ second 6 ou — 3.)
De la dkcussion des racines dans les équations du second degré à une inconnue.
a64* Les vakurs de Pmconnue^ dans une équation du second degré, ne s^obtenant que par une extraction de racine carrée, sont appelées racines de cette équation. En général , on appelle racine d^une équation , toute valeur qui , tnise à la place de Pinconnue , rend le premier membre égal au second.
265. Voyons d^'abord comment on peut connaître, à la seule inspection des coeffîciens d^une équation du second degré, de quelle nature seront les racines de cette équation. II est clair que, quelle que soit Péquation proposée, on peut toujours', sans changer les valeurs de Hnconnue, la ramener à Pune des quatre formes que voici :
ar' -f" ^ = P ; ^^®ù X = — -fn =t= |/(-5-n' + p) ; X* — nx=zp\ d'où X t= -5-a=t: l/(-yn' + p) ; a:'+wa:z= — p\ d''où x=z — -r« =^ |/'(t'»' — p)\ X* — nxz:z — p^ d'où ar = ~n =i= [/^(-J-n* — p).
Dans les deux premières de ces équations, x aura toujours une valeur positive et une valeur négative réelle ; car puisque •J-n*<-^n' + ;^, on aura toujours -r'»<|/(Tw'+;^)î donc les signes des valeurs de x seront toujours ceux du radical , c'est-àdire seront toujours -^ pour une valeur et — pour l'autre. De p