Lorsque c = o les deux valeurs de x deviennent x^-=o
et x" = , comme cela doit être. Mais si a = o , les deux
valeurs de x sont a^ = | et x^'rr: — od. Or, x ne doit pat avoir de valeur indéterminée , puisqu^en faisant il = o dans
Péquation ax^ -f- fcx + c = o , on trouve seulement a: = — ^•
n faut donc que la résolution de cette équation ait introduit un facteur étranger, devenant nul lorsque a = o (i63).
Pour trouver ce facteur commun , il suffit de multiplier les deux termes de la formule générale (2), par le résultat que donne le numérateur, en j diangeaht le signe du radical. En effet, en multipliant les deux termes de la formule proposée (2) par — t=q=|/(6* — 4^1 ^® nouveau numérateur sera nécessairement 6' — [|/(^' — 4^0]" ^^ ^* — b^-\'^ac^ ou enfin ^ac\ ce nouveau numérateur et le nouveau dénominateur auront donc le facteur sa commun , facteur qui s^évanouit dès que a = o. Supprimant ce facteur commun, la formule sera
XZZL
—. A =p i/(A* — 4ac)
La supposition de a = o dans cette formule , ne donne plus
x=| ^ mais elle conduit àx= — -etàa:=:oo, valeurs quW
devait trouver* On pourrait encore examiner le C9S où a = o et 6 = o , et celui où a, 6 , c , sont nuls en même temps.
- ^68. Ajoutant et multiph'ant entre elles les valeurs (3) de x' et de x'', on aura, en réduisant
x'+xf'z^—t et x'x^rzr^.
Ces relations remarquables montrent que dans toute équation du secon4 degré, ramenée à la forme (i), la somme des deux racines vaut le coefficient du second terme , pris en signe contraire, et le produit de ces mêmes racines est égal au terme tout connu.
Prenant dans les relations que Ton vient de trouver , les va* leurs A =: — £1 (a^ -j- x") et c= ax'x"^ puis substituant cet valeurs dans ax* -f- /»x •4- c, il viendra successivement :
ax*+ fcx-f- c = £i(j:' — xx* — xx" + x'x")
r!za[x(x — x') — x"(pC' — x')]; ou bien
nx'-J- fcar+ cr=:a(x — a:')(x— x'^) ... (4)
Cette identité montre comment on peut remplacer tout trinonae du second degré par un produit de trois £aicteurs^ ce qui est quelquefois utile.
169. La même identité fait voir que non seulement il existe deux valeurs de x qui satisfont à Téquation <ij:*-|-âx-)-c:=:o; mais de plus qu^il nVn existe que deux. En effet, s^il y avait une troisième racine v , différente des deux premières x* et x"^ on aurait (v — x^)(^v — j:")=:o. Donc le produit de deux quantités différentes de zéro, serait zéro ; ce qui est évidemment impossible. Donc réellement, Tinconnue a: n^a que les deux valeurs x' et x'' dans Téquation flx'+6i'-)-c=o ; et par suite, dans Péquation proposée. Donc enfin , toute équation du se» cond degré a deux racines et jamais plus.
a^o. Substituons les valeurs (3) de x' et x" dans Pidentité (4) ; nous en déduirons facilement
ax* + bx+ c=z-^[{2ax + hy + ^ac — b*] ... (5)
Supposons que les deux racines x* et x" soient égales ou imaginaires; les équations (3) montrent qu^'alors b* — /^ac est nul ou négatif; donc ^ac^^-^b* sera nécessairement nul ou positif; d^ailleurs (aox-f-i^)* reste positif pour toutes les valeurs réelles
de X. Donc le multiplicateur de 7- sera toujours positif ; donc
le trinôme ox* -}- ibx -f- ^ conservera le signe de a pour tontes les valeurs réelles de x. Donc si les deux valeurs x^ et x'' de x, qui rendent nul le trinôme du second degré /7x'-|-6x-l'C, sont «égales ou imagîuaûres, ce trinôme conservera le signe de a pour toutes les valeurs réelles qu^on voudra donner à x.
271 • Rédproquement, supposons que le trinôme ax^ -f- hx -f- c, conserve le signe de a pour toutes les valeurs réelles de x; il faudra donc que ^ac — b^ soit positif; car s^il était négatif,
en prenant %ax'=- — fr, le multiplicateur de 7- deviendrait né-
* gatif : faisant ensuite croître x^ positivement ou négativement , V on finirait par rendre ce multiplicateur positif; ce multiplicateur
. changerait donc de signe, ainsi que le trinôme proposé ; ce qui
4 . est contre Thypothèse. Donc ^c — i* est nécessairement positif; et par suite, les deux valeurs x', x" de x, sont égales ou ima-^ ginaires. Donc si le trinôme du second degré ax^ '\' bx '\- c conserve le signe de a pour toutes les valeurs réelles de x, on aura 4^c— t* positif ;. et les det|X valeurs 3/ y xf^ de x,^qui rendent nul ce trinôme, seront égales ou imaginaires.
27a. Extrajrant la racine carrée du dHnome ax* -f~ ^-^ 4* <^i' et égalant à zéro le reste indépendant de x, on aura la condition pour que le trinôme proposé soit un carré parfait. Cette condition est fc* — 4^c = o : si elle est remplie, les valeurs x'y x" de - X, qui rendent nul ce trinôme, sont égales. Réciproquement, quand x'=x", IMdentité {^idxx. voir que le trinôme ox'-f- bx -j- c est le carré exact de (x — x') \/a.
373. Pour terminer cette discussion, soit m la valeur ah solue du plus grand des coeffidens a y fc, c, dans ax^ + fex + c; / on aura nécessairement le nombre fcx + c <[ mx + m, oji ««^
m(x4-i)(x— i) mx» m ,, , mx»
-r-^ — ^, OU < ~ : d'où > OX + C.
Posant tfx'rr — — , d^où x=r i -1 — , on aura toujours
tfx* > 5x -4- c ; et si Ton prend x > 1 -^ — , d^où tfx' >
mx»
, il viendra, à plus forte raison, ox* >> 6x -f~ ^- D^où il résulte que dans tout trinofne du second degré âx* -|- 2^x -}- ^i on peut toujours trouver pour x, un nombre 1 + — , qui rende le premier terme tfx^^plus grand que le nombre formé par les
éfiÊJL autres ta? -|- c, et toute râleur ^ i -) — t jouira, à plus forte raison , de cette propriété.
274 • RésolvoDS maintenant qaelques problèmes généraux du second degré. En. voici un dont la discussion o£Bre de Tintérét : Deux corps lumineux A er Q soni éloignés Tun de Vautre de d mètres^ et fournissent à un mètre àe distance ^ le premier a et le second b unités de lumière. Trouver sur la droite DE qui passe par ces deux corps , un point P qui en soit égaler ment éclairé. On sait qu'à m/ois plus de distance , un même corps répand m? fois moins de lumière.
-. p Soit X la distance AP du
P'' A P B P' point chercbé P au point
A^ sa distance à B sera d'^^x. Cela posé, puisqu'^à un mètre de distance , le corps A répand a unités de lunuère '^kx mètres, c'es^-â-dire à x fois plus de distance , il répandra x* fois moins
de iuiûière ou — • De même, à d — x mètres de distance, le
corps B répandra . , ^^ de lumière. Or, à ces distances , les
lumières fournies au point P, par les deux corps A et B, doivent
être égales \ on a donc
Cette équation se réduit sur-le-champ à une équation, du premier degré en extrayant la racine carrée de ses deux membres \ tar en Causant \/a^=^a' et ^b=b\ il viendra (249)
— = =t: ^ ; d'où Ton tire x = d ,^ .,*
On peut supposer dz=i%^^ a= 16 et 6 = 9. Mais voyons quelle position la formule précédente assignera au point cherdié , quand on aura a ^ /» , ou a <[ ^ ou ^x = 6.
1* Sia^h; OQ aura aussi [/a > |/fc ou a' > fc' ; donc x aura deux valeurs positives , Tune plus petite que d et plus grande que -f^, et Paulre plus grande que d. Donc il y aura deux points P et P' également éclairés chacun par les lumières A et B, Tun entre ces lumières et Fautre au-defaors, mais tous les deux plus j>rès de la.lumière B la moins intense^ comme cela doit être.
On peut voir d^aîlleurs pourquoi Péquation proposée déter-
( tue )
mine dectt points \ car à cause ^e (cl-— r)* est identique arec (x — dy\ en désignant par x la distance AP', on trourerait une équation identique avec la proposée. Cette proposée ne devait donc pas donner AP plutôt que AP'; mais devait donner ces deux distances.
a* Si a •< fc, on aura aussi ]/'a < [/b ou a' -< ^';. donc jr aura une valeur positive et upe négative. La valeur positive étant <C-f^i détermine un point P entre les deux corps lumineux A et B, mais plus près de la lumière A la 'moins intense^ comme cela doit être. Quant à la valeur négative , elle résout le problème que donne le proposé en y prenant Pinconnue x en sens contraire (i58); c^est-à-dire^ en mesurant la distance x de A vers D , au lieu de la mesurer de A vers E. Ainsi cette valeur négative détermine un second point' P", qui recevra la 'même lumière de chacun 'des corps A et B. El en effet, en calculant ces quantités de lumière , diaprés les conditions du problème et à Paide de la valeur absolue de AP", on les trouve égales chacune à d(V — a').
. '3* Si a= (, on aura aussi af=zV ; d'où x^=z-^ eix=±ÇO^ comme cela doit ctre , puisque quand a = b^ les deux corps A et B fournissent la même lumière à des distances égales. Mais le point qui répond à x = od, étant infiniment éloigné du corps A, sa position ne saurait être déterminée, et le problème n'a réellement que la seule solution r=^<2, qui est le point milieu de ÀB.
Si â ou ( était o , il faudrait remonter à Péquation proposée pour avoir la vraie valeur de or, qui alors est infim'e.
Si on avait résolu Téquation proposée , sans extraire d'abord la racine carrée des deux membres , on aurait trouvé
La supposition de a=ib dans cette expression, donnerait a? = î et x = 00, tandis qu'alors on doit avoir x =z \d et x =z 00 . Cela provient du facteur a — 6, commun aux deux termes, et qu'on mettra en évidence, soit par le procédé du n* ^67, soit en remplaçant aeib par leurs valeurs a'^ et b'* : alors on retrouvera la formule considérée d'abord.
375. Voici trois {iroblémes que Ton peut discater comme le précëdeat:
1* Partager la nombre donne d en deux parties telles, qne le rapport des carres de ces pa^es soit ^gal aa rapport de a à &•
a® Deux courriers âoignës Tan de Tautre de d lieues , partent ^n même temps, vont Tun contre Tautre, et marchent tellement, 'qu^au moment de leur rencontre, il faudrait a heures au premier pour faire la chemin du second , et & heures à celui-ci pour faire le chemin du premier. Combien le premier fidt-il de lieues par heure ?
3* Deux nuKjuignons fournissent d chevaux à un régiment, et rapportent la même somme chacun, quoique le secotid ait fourni plus de chevaux que le premier. Le premier dit au second : si j^avais vendu tes chevaux j^en aurais retire a louis ; et moi , lui re'pond le second , si j^avais vendu les tiens , je n^en aurais retire que h louis. Combien ontrils fourni de chevaux chacunf (On peut supposer a=:6oo, ^ = 3i6 et â=:48.)
376. Un homme achète un cheval qu'il vend au bout de quelque temps pour di francs, A cette vente y il perd autant pour h/r. du prix de Tachât que le cheval hU a coûté. Combien Vo't^il payé f
Soit X ce que le cheval a coûté : on a donc perdu x sur b du prix de Fachat, c^est-à-dire que b du prix de Tachât se rédui* sent k b — X par la vente ; donc 1 du' prix de Tachât se réduit
à — T— , et X prix de Tachât se réduit à ■ ^^^^ Mais on suppose que le prix x de Tachât se réduit à a par la vente \ il fatît donc qa*ou ait
On peut faire a = 37 et 6= i44* Les deux valeurs générales de X sont positives tant que -y^ reste plus grand que a ; et par conséquent le problème a deux solutions dans ce cas. Mais si -^b <^a, la quantité soumise au radical sera négative ; les deux valeurs de x seront donc imaginaires , et le problème impossible , comme on le verrait d^aiUeurs en faisant x =4^ s±:iip/6; car alors Téquation proposée se réduit à -^b — u*z=a.
Quoique le problème proposé soit impossible quand '^b<^ay cependant si Ton înteiprète les valeurs imaginaires, c^est-à-dire, ii Ton change le signe de a ou celai de 6, le radical deviendra réel^ et la nonveUe fonnule résoudra le problème que donne Téquation proposée en j changeant aen — a, ouéen — b (a66).
Or, 1* si Ton change le signe de a , Téquation et la ibrniole. proposées deviendront :
.( i»8 ) ^JL=^-a et x = ^^{/b{^bT7y:
donc, en observant «que x — 6 = 6—- (afc — ar), on verra que le problème résolu par la valeur positive de or, qu^on vient de trouver, est celui-ci : Un homme achète un cheval^ qu^il vend au bout de quelque temps pour ^fr. A cette vente ^ il perd pour hfr.y le double de h ifùninué du' prix de Vachat. Com^ bien a^t^il pqjré le cheval ?
^ Si Ton change fr en — ? fr , Fëquation et la formule proposées deviendront
et x=:—-y}^l/bQi-b + a)',
et le problème résolu par la valeur positive est celui-d : Un homme achète un cheval^ qu'il vend au bout de quelque temps pour 2L francs. A cette vente y U gagne autant pour b que le cheval lui a coûté. Combien Va-t^il pajré ?
, 277. On peut remarquer que la valeur négative, daps le dernier pro« bUme, résout le précédent, et que la yaleur négative, dans ce précédent, résout le dernier. On discuterait, d'une manière semblable, les problèmes que voici : 1^ Connaissant les extrêmes a et 6 d^une proportion, -dont Tun a soit la somme des moyens, trouver ces deux mojens.
a» Etant donnée la distance a entre deux points d^une droite, trouver sur cette droite, un troisième point tel, que le produit de ses distances aux deux premiers, ait la valeur connue a6. ( On peut faire a = 64 et
3** Quel nombre x doit-on ajouter à deux nombres donnc^ a et ^, pour qu^en Tétant du premier a et en en étant le second b , le produit des deux sonmies et celui des deux restes soient entre eux comme a est à &f (On peut supposer a =:3o et 5 = 5.) '
^78. Trouver un nombre tel^ que si on lui ajoute a et qu'on en retranche b , le produit des -deux résidtats vaille cjbis le car4'é du nombre cherché*
Soit X €c nombre ; on aura donc ( J? + fl) ( x — 6) = ex*. Cette équation donne , toute réduction faite ,
tf — *=fc |/(a H- *)* — 4a5e a(c— 1)
On peut faire a =: 3o, & ^ 2 et c = 4* Pour discuter les valeurs de X sous les trois bjpothèses c>i, c<^i etc=i, il suffira de poser c=: 1 -)- <^, et de faire d positif dans le premier cas, d négatif dans le second, et (/=ro dans le troisième.
C '«9 ) Les valeurs de t sont ima^naires, lorsque ^hc^^^a -f h)*. Hais ces valeurs deviennent réelles en changeant ie signe de a, ou de &, ou de c, ou à la fois les, signes de a, &, c; ce qui, par l^interprétation des valeurs négatives, résoudra dé nouveaux problèmes analogues au proposé.
979. Vmci des problèmes que l*on peut discuter comme le préoiSdent :
1** Partager le nombre domié a en deux parties telles, que si l^on multiplie leurs carrés par les nombres dotyiés 5«et c, la différence des deux produits soit ^;ale au cube de a.
a* Trouver de laqudle de ses parties Teau d^un^ vase âoit diminoçr pendant cha^e heure, pour qu''en y ajoutant & litres à la fin de chacune, il y reste c litres au commencement de la troisième. On sait qu^il y ayait d^abord a litres d^eau dans le vase.
Questions de nmximums et de minirhums.
!»8o. On peut voir dans les Mélanges d'^algèbrc , pages 56 et suivantes, la théorie complète des maximums et des minimums du second degré. Nous nous bornerons ici k résoudre quelques questions qui s^ rapportent, lesquelles donneront une idée suf* fisante de cette tliéorie. •
a8i • Partager 10 en deux parties dont la somme des carrés soit la moindre possible.
Soit 20 la somme des carrés des deux parties cherchées , et x la première ; la seconde sera 20—2:, et on aura
x' + (20 — xy = ia.
Cette équation devient : 2a:' — ^ox -|- 400 zz: 2a , x' — 20X z^a — 200 et x=io=±=l/a — 100.
Plus o diminue, plus aussi a — 100 dindinue; et a ne peut diminuer que jusqu^à devenir égal à 100; car si ^i dimintiaic encore, a — 100 deviendrait négatif, et x serait' imaginaire ou impossible. La plus petite valeur de a, et consé(|uemment celle de 2tf , répond donc ka^z 1 00 ; ce qui donne a — 100 = o , xrzio et 20 — x=io. D'où il suit que les deux parties cher* diées sont égales chacime à 10.
Effectivement, si Ton partage 20 en deux autres parties quelconques , la sonune des carr(!& de ces deux parties sera toujours plus grande que celle des carrés des deux parties 10 et 10.
( »3o ) 282. Partager U nombre donné a en deux carrés dont le produit' des racines soit le pluS' grand possible.
Soient x^eij* les deux carrés cherchés ; on aura
x*+^*=:a ei xjrzzib.
Retranchant le double de la secondé de ces équatîoas de la première , on trouvera
' x^^jrznya — ^.
Comme a est un nombre donné et que b peut être pris à vo* lonté, on voit que si b augmente,^ a — 2& diminuera^ et b ne saurait augmenter que jusqu^à donner 3&=i:a ; car si i^ aîugnieritait encore , 2b serait plys grand que a \ donc a-^ih serait négatif et x — y imaginaire ou impossible (224)* La plus grande valeur dé b donne donc 2&=:^i ou &=^ ; et il en résulte x — j-zzio'^ d'oii xzzjr:=z^\/'2a.
C^est ce qu^on vérifie en posant
X =z ^yM + tt et ^ =r ^yM — u\
car alors la seconde équation proposée devenant ia — zi* =: &, on voit que le maximum de & -répond à u == o ; ce qui donne les valeurs précédentes.
Si b était donné et que a lût variable^ le minimum àea serait 0 = 2 &, et on aurait xzzij-zz^b^ comme il serait aisé de le vérifier d^ailleurs.
283. On veut creuser un réservoir d'eau à faces rectangU'laires , qui ait un mètre de profondeur et dont la surface du fond vaille celle qui aurait a mètres de long sur un de large. Mais comme on désire que le mur qui revêtira le contour de ce réservoir y codte le moins possible^ on demande quelles doivent être pour cela ^ la longueur xetla largeur y du réservoir à creuser.
Le mur qui revêtira le contour du réservoir, devant avoir partout un mètre de hauletu*, et sa longueur étant égale au contour de la surface du fond , il est clair que pour que ce mur coûte le moins possible , il faut que sa longueur , et par conséquent le contour dont il s^agit , ait la plus petite valeur possible.
Or, soit 4c le contour : puisque x est sa longueur et j' sa largeur, on aura évidemment ^
Maïs la surface du fond ayant x mètres de long sur y mètres de large , équivaut à une surface qui aurait j- fois plus de long sur j^ fois moins de large ^ c^est-À-dire xjr mètres de long sur i de large : et puisque la surlace du fond vaut aussi celle qui mirait a mètres de long sur i de large , il s'ensuit que •
xjr:=,a.
Cette équation et la précédente donnent
jr:::zic — x, %cx — x" = fl et jc = c=t=|/(c* — ^) •••(*)
Comme a est donnd et que le contour ^c peut être pris à volonté, on voit que la plus petite valeur de c, et par conséquent de 4c, répond à c*r=a; et il en résulte czz^a^ x:=zcz=zy = ^a. De sorte que la longueur et la largeur du réservoir à creuser, doivent être égales entre elles et à p/a.
Si le contour ^c est donné et que la siurlace du fond soit variable^ a sera aussi variable j et la formule (i) montre quQ }a plus grande valeur de a est a=;:c'^ ce qui donne x^zzcznj-. Ces valeurs résolvent donc ce problème : Parmi les réservoirs à faces rectangulaires , qui ont un mètre de profondeur et qu'on peut entourer d'un mur de 4c mètres de long , trouver celui dont la surface du fond. est la plus grande possible ^ et par conséquent celui qui contient le plus d^eau,
284* Voici quelques problèmes, faciles à r^udre, diaprés ce qui pré« cède : Partager a4 ^^ deux parties dont le produit soit le plus gr^nd possible. (Les parties sont égales chacune à la.)
Partager 1 8 eu deux parties dont la somme des racines carrées soit la plus grande possible. (Les deux parties sont égales.)
Trouver deux nombres dont la somme soit la plus grande possible , lorsque 7 a est la somme de leurs carrés. (I^es deux nombres sont égaux chacun à 6.)
Trouver deux nombres dont la somme soit i4 et dont la somme des quotiens , obtenus en divisant chacun par Pautre , soit la moindre possi^ Ûe. (Les deux nombres valent 7 chacun.)
Partager le nombre donné a en deux parties telles^ que leur diflerence divisée par la différence de leurs racines carrées , donne le plus grand quotient possible. ( Les deui parties sont égales.)
Décomposer un produit donné a en deux facteurs positif tels, que leur somme divisée par la différence de leurs racines carrées , donne le moindre quotient possible.
^85. Soit proposé de trouver la plus grande ou la plus pe* tite valeur de m dans V équation x* — 2x — 11 nr 4mr — 5m*.
Pour cela, si Ton résout tette équation par rapport à r, on
^^'^^ X = 1 + am =±= [/i2 + /im — m\
Or, si la rariable était dans la partie négative sous le radical , il est clair que son maximum rendrait nul ce radical ; et si elle était dans la partie positive seule, son minimum anéantirait le même radical. Mais ici la variable m se trouve dans la partie positive et dans la partie négative ; on ignore donc encore dans -quel cas il j a maximum ou mùiimum pour m. Voici comment on peut le trouver : k quantité sous le radical proposé étant variable et devant être positive ou nulle, pour que x soit réelle', on peut égaler cette quantité sous le radical à la quantité varia- Lie et positive u* ; ce qui donnera
i^ -{- /^m — m' z:zu^\ à^oxi m =r a =1= j/i6 — u*.
Or, quelque valeur positive ou négative qu'ion donne à u, le carré u*sera toujours positif^ donc i6 — u* sera toujours moindre que i6. De sorte que là plus grande valeur du radical de m est 4 1 et répond à u r= o. Mais le radical ajant sa plus grande valeur, la somme 2 -f- ce radical sera la plus grande possible, et le reste 3 — le radical sera le moindre possible : d^où il suit, 1* que le maximum de m est m=:2-f'4=^ ^^ donne xr=i3; a* que le minimum de m est m=2 — 4= — ^ ^^ fournit x=:
Au mojen de la méthode que nous venons d'^cmployer, on trouve aisément le maximum ou le minimum de m , dans x*^
4x + 4^ = ^"•^ + 3, ainsi que dans x' + 4^' -f- 5m* =2 ^ax'i'/imx.
286. Partager le nombre donné a en trois parties dont la somme des cubes soit la moindre possible.
Soient x, j^, ^, les trois parties cherchées et m la somme de leurs cubes \ on aura les deux équations
x-f-j^ + 4f=:a et *'+^'-f-^'=:m.
Prensoit la valeur de s dans la première , et substituant cette valeur dans la seconde, il viendra, toute réduction faite,
a^—3aXx+j) + ia(x'+2xjr+jr-)^3j:j(^x+jr) = m...(i) Résolvant cette équation par rapport à x, on trouve d^abord
Supposons que TiDconnue j- ait la valeur qiu répond au minimum de m ; on voit que ce minimum rendra nulle la quantité sous le radical précédent, et donnera par conséquent
d'où m — ax' — j-^ =z o et 2x = a — j^ ... (a)
Résolvant Péquation ( i) par rapport à jr^ on verra, de même que le minimum de m donne
m — ^jr — X zno et aj^zrtf — x... (3)
Les équations !ix=za-^jr et y =:a — x fournissent x'iziy = jH ; d'où la première équation proposée donne aussi z= ja. D'où il suit que, pour le minimum de m, lel trois parties cherchées sont égales entre elles ; et ce minimum est ^a .
La valeur générale-de x prouve que si m était donnée et a rariablc, le maximum de a conduirait aux équations (2). La valeur générale de y montre aussi que le maximum de a donne les équations (3). De sorte que , pour ce maximum , on a x =: jzz.%. D,^où il suit que sHlfaut trouver trois nombres tels^ que la somme de leurs cubes étant un nombre donné m , la somme de ces trois nombres soit la plus grande possible^ on devra prendre ces trois nombres égaux entre eux. C'e^t ce qu'on vérifie en posant x=z^a'^u et j* = ^a •— u ^ car ces valeurs substituées dans l'équation (1), donnent
mzzga' + aott*.
Or, puisque les deux parties ga et ^au* doivent toujours donner b même somme m, il est clair que quand l'une aau* sera la moindre possible ou nulle , Pautre sera la plus grande possible ; le maximum de ^a^ et conséquenrmient celui de a, répond donc à u:=o ; ce qui donne les valeurs trouvées par l'autre métliode."
387. Voici quelques problèmes à résoudre, diaprés la première des médiodes que nous Tenons d^employer :
Décomposer le produit donné a^ en trois facteurs positif tels , qu^en •jonumt à chacun le même nombre &, la somme des carrés des trois sommes soit un minimum. ( Les trois £icteurs cherdiés sont égaux.)
Partager le nombre donné a en trois ou quatre parties dont la somme des carrés soit un minimum. ( Les parties cherchées kont égales entre dUes.)
Trouver trois nombres positifs tels, que la somme de leurs carrés étant • , un nombre donné a , la somme de leurs produits deux à deux soit un ' maximum. (Les trois nombres clierch<^ sont égaux.)
Partager un nombre donné a en trois ou quatre parties dont le produit soit un maximum.
Décomposer le produit a^ en quatre facteurs positifs dont la somme des produits deux à deux soit un minimum.
On reut faire construire un meuble à faces rectangulaires, qn^on puisse recouvrir avec un morceau d^acajou en forme de rectangle, ayant 4o paU mes de long sur lo de large. Comme les douze côtés du meuble seront recouverts de petites bandes d^argent, d^une largeur et d^une épaisseur ' données, on désUfe, pour diminuer les frais autant qu^il se peut, que la somme des douze côtés/Soit la moindre possible. Quelles doivent être ^e pour cela, la longueur x, la largeur ^ et la Lauteur a du meuble à construire f
Nota. La formule qui montre^ quand une variable est à son minimum, montre aussi quand une autre variable est à son maximum , et récipro^ quement. On propose* dVnoncer , dans les problèmes précédens, ceux qui sont relatif aux nouvelles variables.
Principes sur les puissances et les racines,
a88. On sait que la puissance m™* d'un monôme cl^^ est un produit de m facteurs égaux à ce monôme (^3). On indique celte puissance en écrivant {a^y^. On dit qu'une puissance est paire ou impaire^ suivant que son exposant est un nombre pair ou impair.
28g. Les puissances des quantités positives sont toujours positives; car ce sont des produits dont les facteurs peuvent s'écrire sans signes. Ainsi
{j\-a^'=.aaa:na et {j^-a^^-zzauaaziza^.
390. "Les puissances paires des quantités négatives sont positives; car chacime de ces puissances est le produit d'un nombre pair de facteurs négatifs (4^). Par exemple ,
291. Les puissances impaires des quantités négatives sont négatives; car chacune de ces puissances est le produit d'un nombre impair de facteurs négatifs (46). C'est ainsi que
(—«)*== — ^X — aX — flX — a X—û = — a^ 392. Soit abc un produit de trois facteurs quelconques, ra-
tionnels ou Irradoimels ; diaprés ce qu^on a vu (^19)1 il est clair > qu^on aura
(jibcf == abcabcabcabc nz aaaabbbbcccc =r a^b^c^.
En général , puisqu^on peut rapprocher les (acteurs de même ^ . Dom sans changer la valeur du produit proposé (219), il en résulte que la puissance m"** de ahc^ qui est un produit de m facteurs égaux à ahc^ sera le produit de m facteurs a , multiplié par le produit de m facteurs b , multiplié par le produit de m facteurs c -, elle sera donc a'" X V" X €^. Ainsi on .a
(abcf = oT'b^i^.
Cette identité fait voir, i"" que la puissance m^^^un produit est égale au produit dei puissances m^** de ses facteurs; 2* que le produit des puissances m"*** de plusieurs nombres est égal à la puissance m™* du produit de ces nombres,
