L^application de ce dernier principe fournit

(f)'"xc™ = a»,d'où.ron.ire(J)'-=fï

Donc i' pour élever un quotient ou une fraction à une cer^ taine puissance , il suffit d^ élever chacun de ses termes à cette puissance ; 1!* le quotient des puissances m"**' de deux nom'hres est égal à la puissance m"* du quotient de ces deux nombres, ^

a94. Qierchons maintenant à développer la puissance m"** du binôme X'\-a\el pour cela , considérons d^abord les expressions

(jjC'\-df •=, ar' + a<ix4- a' \x + a^ = X* + Zax^ +3a':c + a' (x + d)* = X* + 4^-^^ + 6a'x' + 4a'x + a^. Il est clair qu^oh peut écrire ces valeurs comme il suit :

(x + fly = x» + -^ + — a'

\*T'*J — •*- -Tj»^ ^ x.iT ^i.a.3 ' i.a.3.4

^inspection attentive de ces valeurs conduit à penser que, quel que soit Texposant m , entier et positif, on aura toujours

( iZ6 ) (x + aT — a^ + ~a3^-^ + "'(^-*)^.^-. j.

^ 1. a. 3.4. 5 .. «X -r -rf* ^*;

En efiet, pour abréger, rcprcsentons cette formule païf (x + fl)^ = x^ + nwx^-' + Aa'o:""" + Ba':i^-^ 4-

Muldpllant de part et d^autre par x-{-a et réunissant les multiplicateurs dVme même puissance de x^ dans le second membre, on aura

(x+af'^' = x^'^' + (m+i)ax^+(k + m)à'x^" +

Substituant les valeurs de A^ B, G, D, ..., et décomposant en facteurs , on trouvera successivement

y^ , jj (m-tri) m (w—i) (m— -a) (m— 3)

et ainsi de suite. Avec ces valeurs, il vient

(m-f i)m(/n^i) 3^y^, 1 (m-f i)m(m-i)(m-a) 4 ^^ 4-flW+»

Cette formule est précisément ce que devient la formule (i), quand on y change m en m'{- i. D^oû il suit que si la formule (1) est exacte pour une certaine valeur entière de Pexposant m, elle sera vraie pour une valeur plus grande d'aune unité. Or, la formule (1) est démontrée pour m=4 ^ ^^^ ^^^ donc vraie aussi - pour m = 5. Etant vraie pour m = 5, elle aura donc encore lieu pour mr=6, puis pour m =7, m =8, et en général, pour toutes les valeurs entières et positives de Texposanl m.

( «5? ) La formule (i) est nommëe le binôme Je Newton (*) ; elle fournît plusieurs conséquences importantes , que nous développerons plus bas.

395. Lorsqutm nombre a surpasse F unités sa puissance tnT* peut devenir aussi grande quon yeut^ en prenant m suf^ Jisamment grand.

En effet, puisque a surpasse l\mîté, on a nécessairement 11 = 1 +x, d*où a^z=(i -f-Jp)^= 1 4"'"^ + ^*^. ; ce qui donne a*^ > 1 + 'wx. Or, m pouvant avoir une valeur aussi grande qu'ion voudra, il en est de même de i -(~ ''^^ 1 et à plus forte raison , de a"^. On voit même que si m était infini , o^ le terait aussi , et qu^on aurait a*^ = od.

3g6. Lorsqu'un nombre a est moindre que Vunité^ sa puiS" sance m"*' peut devenir aussi petite qu'on veut , en prenant m suffisamment grand.

En effet, le cas le plus défavorable est celui où azzz •

Divisant les deux termes par v et faisant ifzz 1 -| — , on aura

tf =1^ et d^zn-^ (^^)* Or rf> I ; donc d!^ est aussi grand

qu^on veut , en prenant m suffisamment grand (sgS). Donc au

contraire , -^ ou a*^ est aussi petit qu^on veut , et peut devenir

moindre que toute quantité donnée , quelque petite qu^elle soit.

Enfin , si m est infini y dP^ le sera aussi (^g5) ; •= ou a''* sera

donc infiniment petit et pourra être regardé comme nul. D^où il suit que si a <[ 1 , on aura a*" = o , principe qui nous servira dans la suite.

29^ . La racine r™' d*un nombre est un autre nombre qui ,

(*) Nt'wton est le premier qui ait fait connaître la formule du binôme: il n^en a pas donné de démonstration ; mais il parait être arrivé à cette Ibrroule par la méthode qui nous a conduits à la' formule (1). u GeUe manière de s^elevcr aux lois gcnërales , par la considération de cas particnliers, se nomme induction, fille est la source de presque toutes les découvertes dans Tanalyse et dans la natiure. Mais en faisant usage de cette méthode, il faut éviter de généraliser trop promptement; car il arriTC quelquefois qu'aune loi, qui se soutient dûis un asses grand nombre de valeurs particulières , est démentie par les valeurs suivantes. Ainsi la mé-i ikode d^indaction , quoiqn^czccllente pour découvrir des véritds générales, ne doit pas dispensée de les dénàoimrr avec rigueur, n

( »38 0 élevé à la puîstaftce r**, reproduit le premier. Ainsi, x désignant la racine r** de a, on aura xTzna ou a=:i:^^ c'^est-À-dire que tout nombre, est la puissance r** de sa racine r™*.

298^ On indique la racine r™* de â , en plaçant devant a le signe \/^ et en mettant entre les branches de ce signe , le nombre r qui marque Vordre ou le degré de la racine à extraire. Ainsi , \ya signifie : racine r"* de a : cVst un radical du r^ degrés dont r est Vindice. Le nombre r est aussi ï indice ou Vexposani de la racine indiquée. '

Quand «Pindice du radical n^est pas écrit , il est a ; de sorte que 1/^7 désigne la racine carrée de 7, aussi bien que (^7. La racine est dite paire ou impaire^ suivant que son^ indice est un nombre pair ou impair.

agg. Diaprés la défim'tion des radnes/il est clair que

3oo. Toute racine paire d'une quantité positive doit être précédée du double signe =±=. Par exemple ,

A A fi

|/256 = =fc=4, i/64 = =fc:a, |/i = =1= 1 , etc.

En général, r étant un nombre pair, on a Vu (290) que (zi=.dfz=.ûr. Mais puîsqu'^il faut élever =1=^ à la puissance r"* pour avoir a*", il s'ensuit que =±=a est la racine r"* de cf (297). Donc, etc.

3oi. Les racines impaires des quantités n^ont que le signe de ces quantités. Ainsi on a •

l/i25=:5, 1/ — 243=-- 3, 1/ — 128 = — 2, etc.

En effet, r désignant un nombre impair, on sait (291) que (=d=ay= =i= a^. Par conséquent (297) j^(=fc:û'") = r±= û.

3o2. Les racines paires des quantités négatives n*exisient pas ou sont imaginaires. Car il liy a aucune quantité qui, élevée à une puissance paire , donne un résultat négadf (290). Par exemple , il n'existe aucun monôme dont la puissance 6** donne — 64 , puisque toute puissance paire d'une quantité po- ■ sitive ou négative est positive (290) *, la racine 6*"' de —64 est donc impossible.

Ainsi ^ [/-^ii Y — *^i \/ — *i \/ — ^ 1 ^^'1 *^"^ ^'^ «yoboles d'opérations inexécutables, nonmiés expressions imaginaires, et qu'on soumet aux 'règles du calcul ^es nombres « pour

C iSg ) conserver àTalgèbre toute la généralité dont elle est susceptible (mS).

3o3. U résulte des n** agg et 291, que si Ton élève le produit ^a \^b \l/c à la puissance r^*, on aura abc ; par consé-

G>mparant la seconde de ces expressions à la première, et

réciproquement, on verra, i" que la racine, r"* dW produit

est égale au produit des racines r™*' de ses facteurs ; 1^ que le

produit des racines r**' fie plusieurs nombres est égal à la racine

r"* du produit de ces nombres. Cest ainsi qu^on a

1^54 l/a4 = J/SJTII = J/87TT6 = 3.a = 6. 3o4- Le dernier des deux principes préccdcns donne

j/fxi/c = l^a,d'oùj/f=p.

Donc, 1* la racine r** d^un quotient ou d^une fraction s^obtient en divisant la racine r™* du dividende par celle du diviseur \ 2* le quotient des racines r*** des deux nombres est égal à la racine r"** dû quotient de ces deux nombres. Ainsi

1/162 : v/6 == j/Terfe = 1/27 == 3.

3o5. Lorsque la racine r*"' d'un nombre entier a n'est pas un nombre entier^ elle est incommensurable. Car si la racine r^ de a pouvait être exprimée exactement par une fraction

irréductible 3, on aurait successivement

ya = ^, a = -^ et oiT =-•

Or d est pren^ier avec n , par bypothèse ; donc d est premier avec chacun des facteurs du produit n**^ d ne divisera donc pas te produit et ne donnera pas le nombre entier o^f "*' au quotient. Ainsi la dernière égalité précédente est impossible ; il en est donc de même de la première. De sorte que la racine r™* de a n^est pas égale à une firaction : déjà elle n^est pas égale à un nombre entier^ donc elle ne saurait être exprimée exactement par aucun

nombre ; elle est par conséquent incommeiisiirakle , et ne peut s'^obtenir que par approximation.