La racine r"* Jaunit fraction irréductible - est incomr

mensurahle^ dès que Tun des deux termes de celte fraction n^est pas une puissance r** parfaite, Cest ce qu'ion démontre en raisonnant fout-à-fait comme au n* 217.

De l'extraction des racines cubiques.

307. On sait (28) que le cube d^un nombre est le produit' de trois facteurs égaux à ce nombre, ou le produit de ce même nombre par son carré. Ainsi les cubes des neuf premiers nombres entiers, sont : 1, 8, 37, 64, iaS, 316, 343, 5ia et 739.

Le cube de 10 est 1000, le cube de 100 est 1000000, le cube de 1000 est 1000000000, et en général, le cube de 1 suivi de n zéros est 1 suivi de 3n zéros.

Le cube d^un nombre composé de deux parties a et x est donné par la formule (û-|- a:)* = û'-t-3a'a;4-3tf'^'+J?'(53). Si x=: i, on aura(a+ i)'=:a'+3^'H"3^ï + 1.

308. La racine troisième ou la racine cubique d^un nombre a est un autre nombre x qui, élevé au cube, reproduit le i**''^!. De sorte que xz^.a ou az=.x , c^est-à-dire que tout nombre est le cube de sa racine cubique^ et contient par conséquent le cube du premier cbifire, celui des 3, des 3, des 4i •••1 premiers chiffres de cette racine. Et comme le produit a ou x ne peut augâienter que quand Pun de ses facteurs x augmente , on voit que plus un nombre a est grand, plus sa racine cubique x est grahde , et réciproquement.

309. La racine cubique d'un nombre entier a totgours autant de chiffres que ce nombre contient de tranches de trois chiffres chacune^ en allant de droite à gauche^ excepté la première à gauche , qui pourrait avoir moins de trois chiffres.

Soit le nombre de quatre tranches tf = 91 1 ,4^6,789,381 . Il est évident que a^ 1000000000 et ^i*^ 1000000000000. Extrayant la racine cnbique de part et diantre, il viendra |^tf ^ 1000 et l^a*^ 10000. La racine cubique du nombre proposé a n^a donc que quatre chiffres , c^est-àrdire autant que ce nombre contient de tranches.

3io. Le plus grand cube contenu dans les p premières tranches du nombre proposé^ est le cube des p premiers chiffres de la racine cubique de ce nombre.

Soit le nombre a rz 61, 78^,31 1 f^x^fiù^. Puisque ce nombre a cinq tranches de chiffi*es, sa racine cubique aura cinq chiffres. Soit X les trois premiers chifires à gauche de cette racine ; x sera donc un nombre de centaines^ car il j a deux chiffi-es après ; son cube x^ sera donc un nombre de millions^ et ne pourra se trouver que dans les trois premières tranches,' qui expriment aussi des millions. De plus, comme la racine cubique n^a que X centaines, elle est moindre que (x-^- \) centaines \ donc son cube, .ou le nombre proposé a, est moindre que (x-{- i)''millions ; les millions de ce nombre a , c^est-à-dîre ses trois premières tranches ne contiennent donc pas (x -|- 1 ) . D^où il suit que le plus grand cube contenu dans les trois premières tranches

. est or , c^est-à-dire le cube des trois premiers chiffres x de la lacine cubique. On verra de même que le plus grand cube

'contenu dans les deux premières tranches, est le cube des deux premiers chiffires de la racine, et ainsi des autres.

3i 1 . n est maintenant facOe d^extraire la racine cubique d^un nombre entier, tel que 4^1947^7^* Vom cela, on partage ce nombre en tranches de trois chiffres chacune, en allant de droite k gauche ; puis Ton dispose et Ton ^fTectuc Topératîon comme il suit :

4oi#947'^7^