Racine

147 ou 3 (7)'

460 17... Sx

1* On sait (3 10) que le plus grand cube 343 contenu dans la première tranche 4^ ^ ^^ '^ aJbe du premier chiffre de la radne cubique*, de sorte que ce premier diifire est 7. Soustrayant 343 de 40 1 , il reste 58 \ à côté de ce reste abaissant la seconde tranche 947 1 ^1 vient 58947* Mais le plus grand cube contenu dans les deux premières trandies, étant celui des deux premiers chifires ^ et x de la racine cubique (3io), ce plus grand cube

est (tf + x)* ou a*+3a'r + 3fla:* + a:',. Et puîsqu^on vient de soustraire de ces deux tranches le cube 34^ ^^ ^ ^^ premier chiffire, le reste 68947 doit renfermer 3a'x+ 3ax*+ x'. Or^ le premier chifire a exprime des dizaines par rapport au second x\ donc Za^x est un nombre de centaines, et ne peut se trouver que dans les centaines du reste 58947* Divisant donc ces 589 centaines par 3a' ou i47i triple carré du premier chiffre 7 ou a de la racine , on aura le second chifire x au quotient ; car sauf les centaines fournies par le restant du cube dé la racine , on divisera un produit de 3a*x par Tun de ses deux facteurs 3a* : le quotient serait l>ien 4 1 mais à cause des centaines fournies, il ne faut mettre que 3 (*).

n^ Pour vënfîer si le quotient 3 est réellement le second chif" fre X de la racine cubique cherchée , il faut soustraire du reste 58947 la quantité qu^il doit renfermer, savoir : 3a'2'-f- 3ax* + x', ou [3a* + (3a + x) op] a: •, ce qui se réduit à Sx , en posant R=:( 3a + x)x et Sr=3a' + R. Or, a exprime de» dizaines par rapport à x et 3a* des centaines \ ainsi , pour vérifier la racine trouvée 73 , on écrit le second chiffire x ou 3 à / o5té du triple 21 du premier a ou 7, on multiplie le résultat par le second chifire 3, on ajoute le produit R à 147 centaines, ç^est-à-dire aux centaines marquées par le triple carré 3a* du 1*' chiffre 7 , on multiplie la somme S par le second chiflre 3, et Ton sousti-ait le produit 46017 ou Sx du reste 58947 ; ce qui donne 12930 pour nouveau reste. Mais en opérant ainsi, on soustrait 3a*x-^3ax'-|-x^ du reste 68947 des deux premières tranches , et par conséquent de ces deux tranches : et comme déjà on en a soustrait a^, il s^ensuit qu^en tout on a soustrait des deux premières tranches, a^+3a*x + 3ax'+^ ^ ou (û+Jî) , c^est-à-dire le cubç de la racine trouvée 73 ^ et il faut comparer le reste 12930 au trinôme 3 (73)' + 3 ( 73 ) + 1 .

(*) Pour Térifîer le quotient 3 , on pourrait soustraire deç deux premières tranches 401947 le cube de la racine trouvée 7 3 \ car si cette soustraction est possible et que les deux premières tranches soient moin* dres que le cuIm de 74 1 il ^^ ^l^i'' T^^ 1® cvbe de 73 sera le plus grand de tous ceux contenus dans les deux premières tranches , et par consé* queht 73 exprimera les deux premiers chifires de la racine cherchée (3 10). Mais cette Térification exige beaucoup plus de calculs que celle que BOUS employons dans le texte.

Or, on forme aisément ce trinôme, en observant qne R ::= 3ax-4-x* et que S =z 3û' + 3Ar-|-x'; car en ajoutant x* à la . somme des deux nombres R et S , déjà calculés , on verra que S-)-R-|-x'=3(^i4'^)*= 1^ triple carré de la racine trouvée 73. Si donc on fait la somme des trois nombres S, R et x*, on verra que 3(73)'= 15987. Et comme 3(73)+ 1 =:aio, il s^ensuit que le trinôme 3 (73)'-!- 3 (73)+! se réduit à 16207. Ainsi après avoir soustrait (73)' hors des deux premières trandies, le reste 12930 est moindre que 16207 ou 3(73)*-|~3(7^) -{- 1 ; donc les deux premières tranches elles-mêmes sont moindres que (73)' -|- 3 (73)'+ 3(73)+ 1, ou que (73+1)', ou enfin que (74)'* P^ conséquent (73)' est le plus grand cube contenu dans les deux premières tranches. Et comme ce plus grand cube est' celui des deux premiers chiilres de la racine (3 10), il s^ensuit que 73 exprime ces deux premiers chiflres (*)•

3* On aura le troisième chiffire , en recommençant les raisonnonens pour le second. Ainsi abaissant la troisième tranche 272 à côté du reste 12930, ce qui donnera 12930272, et divisant 129302 par 16987, triple carré des deux premiers chiffres 73 de la racine, le quotient 8 exprimera le troisième chifire, ou un chiffre plus grand. Pour vérifier ce quotient 8, on Pécrit à côté du triple 219 des deux premiers chiffres 73, on multiplie le tout par 8 , on ajoute au produit 1 7684 ^ les centaines marquées par le triple carré des deux premiers chiffres, c'est-à-dire 16987 centaines, on multiplie la somme 1616284 par 8 et Ton soustrait le produit 12930272 du reste des trois premières tranches. De cette manière on soustrait de ces trois tranches 3(73)* . 8 -|- 3(73). 8* -|'8 :et comme déjà on en a soustrait (73) , il s'en* suit qu'on a soustrait de ces trandies ou du nombre proposé , (73)*+ 3(73)'. 8 + 3(73). 8' + 8S ou (738/, c'est-à-dire le cube de la racine trouvée 738 : donc, puisqu'il ne reste rien,

(*) Si le rente était = ou > 3 (78)'+ 3 (78) + 1, 1m deux premières tranches "seraient =: ou ^ ( 74)?* £t comme ces tranches expriment des mille, le nombre proposé serait ^(74)^ mille, ou ^(740)^; donc la racine cubique de ce nombre vaudrait au moins 740 ou 74 ditaines , et la racine trouvée 73 serait trop petite d^une unité au moins. En général, la racine trouvée n^est exacte en nombre entier, que quand le reste est Moindre qne Je triple carré de cette racine trouvée', plus trois fois cette mène racine , plus Tunité.

, cette racine est exactement la racine cubique du nombre proposé 4<>i947^7^*

3 11. Le résumé des calculs précédens fait voir que, pour extraire la racine cubique d^un nombre entier, il faut, après ravoir partagé en tranches de trois chiflres chacune , en allant de droite à gauche, prendre la racine cubique du plus grand cube contenu dans la première tranche , et cette radne sera le premier chiffire de la racine cherchée. Soustraire le cube de ce premier chiffi^ hors de la première tranche , abaisser la seconde tranche à côté du reste, séparer les deux derniers chiflres à' droite, par une virgule, et diviser la partie à gauche par le triple carré du premier diiflre de la racine \ le quotient exprimera le second chiflre, ou un chiffre plus grand. Pour vérifier ce quotient, on Técrit à côté du triple du premier chifTre, on multiplie le tout par le même quotient, on ajoute au produit les centaines marquées par le triple carré du premier diiffre, on multiplie la somme par le quotient , et Ton soustrait le produit hors du reste de la première tranche réuni à la seconde : le nouveau reste doit être moindre que le triple carré de la radne trouvée, plus trois fois cette même racine, plus Tunité. A côté de ce second reste , on abaisse la troisième tranche , on sépare les deux derniers chiflres à droite , on divise la partie à gauche par le triple carré des deux chiflres trouvés à la racine , et le quotient , vérifié comme le précédent , exprime le troisième diiflre. On continuera le même procédé jusqu''à ce qu^il n^j ait plus de trandie à abaisser.

Au moyen de cette règle, on trouvera que 1/^8755000000 = 3o6i , à moins d^une unité près, et que 1^671507968841=: 8756, à moins d^une unité près. Les élèves doivent répéter sur ces deux exemples , les raisonnemcns que nous avons employés dans Popération précédente (3i 1). Et il est aisé de voir pourquoi il iaul coiiuncpcer rextraclion de la racine cubique par la gauche , plutôt que par la droite.

3i3. Pour avoir la racine cubique (V une fraction ^ û sitffit

.de prendre la racine cubique de chacun de ses termes (3o3).

C est ainsi que m/ — r= - et que |X -j = —

Eflectiveroent , si on élève chaque résultat au cube , on retrouve le nombre qui Ta donné.

3] 4- Dis que IHin des termes de la fraction n^est pas un cuhc par/ait , c\st-à-dire n'e-^t pas le cube exact dW nombi^ entier, la règle précédente ne doit pas s^appliquer, parce qu^elle ne donnerait, le plus souvent, qu^unc approximation insuffisante ^ et il faudrait même , pour savoir jusqu^à quel point on est approché de la racine cubique cherchée , rendre le dénomi- Dateur un cube parfait , en multipliant les deux termes de Ja fraction par le carré de ce dénominateur. C'est ainsi qu'on aura

'J/^ = |/;^ = 5l^567 = 5, à moins de i près.

3 15. Si Tor veut ^voir la radûe cubique d'un nombre quelconque a , à moins de - près , il faudra multiplier ce nombre a

par n , puis prendre la racine cubique b du plus grand cube b^ contenu dans la partie entière du résultat on et donner à cette

racine b le nombre n pour dénominateur. De sorte que y/a'zz.

•- , a niouis de — près .

En effet, puisque b est la racine cubique du plus grand cube b contenu dans la partie entière de an , et par conséquent dans a»^ ^ cette racine b ne peut être augmentée que d'une quantité X ^ 1 , pour donner la véritable racine \ on aura donc

à^anz=Lb'\^x\ d'où (3o3) n [//i = 6 + x, ctl/'a=-+-.

Il n, Ainsi en prenant - pour la racine cubique de â, l'erreur est - : et puisque x <^ i , cette erreur est moindre que - ; on a donc effectivement \/a = - , à moins de - près , comme on l'a trouvé

en appliquant la règle proposée.

3i6. Au moyen de cette règle, on pourra toujours trouver

un nombre aussi approdié qu^on voudra de la radne cubique

d'un nombre donné. Par exemple, ciierdions la racine cubique

de 1,7, à moins d^un centième près. Il faut donc multiplier 2,7

par le cube de 100, c'est-à-dire par 1000000, ce qui donne

3700000 ; puis extraire la racine aibique du plus grand cube

contenu dans la partie entière du résultat, c'est-à-dire dans

2700000 , ce qui fournit 1 39 *, enfin , donner à cette racine 1 39

le nombre 100 pour dénominateur, ce qui se fait en séparant

deux diiffres décimaux sur sa droite, et l'on a ainsi 1/^2,7 =

i,^y à moins d^un centième [Mrès, conmie on peut le vérifier d^ailleors, en observant que a,7'<(i,4o)' c' T*® ^r7Xw49)''

Diaprés la même règle, on trouve : j^/^^zz 1,937, à moins d^un millième près; 1/^0,6715079688437 =0,8756, à moins d\m dimillième près , et [X^? = 4 % ^ moins de -^ près.

317. Lorsque le nombre proposé a plus de deux trancbes de diifTres , on peut acbevcr Pextraction de la racine cubique par la simple division. En effet, soit k un nombre dont les n derniers chififres de la racine cubique sont à trouver ; soit x ces n derniers chiffres et a ceux déjà calculés ; a est donc un nombre significatif suivi de n zéros et vaut â. lo''; on a par conséquent \yk = a. 10'*+ X -, d^où Ton tire k = a^ . 10^'»+ 3a'x . lo'" + 3ax*. lo^-J-x^ et

^ \a.io^^ 3a-.io-'0^^ '" ^^^

Pour que le dernier terme du second membre soit <; 1 , il

faut que a ait au moins un chiffre de plus que x , c^est-à-dire

(*?i-|- 1) chiiOres. Dans ce cas, puisque a renferme au moins

n -|- i chiffres, on a a >► 10". D''ailleui'S, puisque x n'a que n

chiffres , la plus grande valeur de x est j; = 1 o" — 1 . Prenant

donc la plus grande valeur de x et la plus petite valeur de <i,

qui est i o'* ; on verra que le second terme de ( 1 ) aura sa plus

grande valeur et que cette plus grande valeur est <^ i. Ainsi

dans tous les cas , on a

^ — a3.lo3'» . . ,, . . ,

^ ^^ "Tl m^ 1 ^ moms d^une unité près.

Donc , puisque a renferme plus de chiffres que x , on voit que sMl reste à trouver , dans la racine cubique , moins de chiffres qu'il n'y en a de calculés, on aclievcra l'extraction en divisant le reste k — a . 10''* par le triple carré de la racine trouvée a suivi de deux fois autant de zéros qu'il y à de chiffres à déterminer , et en poussant le quotient jusqu'aux unités : alors on aura la racine cubique du nombre proposé, à moins d'une unité, près de l'ordre le moins élevé de cette racine. C'est ainsi qu'on trouve que la racine cubique du nombre 5264627833723456 est 173962 , en nombre entier (*).

(*) Par là on voit qae si la racine cubique doit avoir 3/1 +1 ehifiBres, la valeur des n chifBres à droite du nombre proposé n'^influera jamais sur k vdeur entiërç de la racine cubique de ce nombre.

3 18. Maintenant que nous savons extraire la racine cubique des nonii bres , indiquons les principes pour trouver celle des polynômes.

Si Ton développe (a -|- A ^- c + <£)3, comme le cube d'un binôme dont a -f- 5 4- « est le premier terme ; que dans le résultat, on développe (a + 6 -|~ <ï)^i comme le cube d^un binôme dont a -^ & est le premier terme, et qu'enfin, dans le nouveau résultat, on remplace (a-]- 5)3 par sa valeur, on verra que

Cette formule conduit à un énoncé général, au moyen duquel on trouve le cube d'un polynôme beaucoup plus simplement que par deux multi» plications successives.

319. Aprèt^avoir soustrait êCun polynôme proposé le aube des K premiers termes de sa racine cubique ordonnée^ si Pan divise le premier terme du reste R, aussi ordonné^ par le triple carré du premier terme de cette racine^ le quotient sera le (N+i)™* terme de la même racine. C'est ce qu'on démontre comme au n** a3a.

3ao. De là il est aisé de conclure, que pour extraire la racine cubique d'un jpolynome donné, il faut, après avoir ordonné ce polynôme, ta^ traire la racine cubique de son premier terme , et cette racine sera le premier terme de la racine cubique cherchée. Soustrayant du polynôme le cube de ce premier terme et divisant le premier terme du reste par le triple carré du terme trouvé à la racine, le quotient en exprimera le second terme. Après avoir soustrait du polynôme proposé le cube des deux premiers termes de la racine, on divisera le premier terme du reste ordonné par le triple carré du premier terme de la même racine, et le quotient sera le troisième terme. Soustrayant du polynôme le cube des trois termes trouvés à la racine, et continuant le même procédé ^ on aura le quatrième terme, le cinquième, etc.

D'après cette règle, si l'on a le polynôme

on verra que sa racine cubique est a*— •3az— ax*. De même a' — au* ^ 3tf — 1 est la racine cubique du polynôme l

ci9 6k8 4.aiii7 — - 47u6+ 75(1^-— 84a^ + 6(>u3 — 33u> 4-9U — 1.

De l extraction des racines des nombres.

32 1 . Lorsqu^on sait extraire les racines carrées et les radnes cubiques , on peut trouver assez facilement les racines quatriè^ mes^ les racines sixièmes^ les racines huitièmes^ les racîae» neuvièmes y et même les racines douzièmes. En effet, la radné quatrième s^obtient en prenant la radnc carrée de la râdae carrée du nombre proposé-^ car \/{\/(^^ = l/^* = ^ =1/^^ ■•

La racine 6*"* se trouve en prenant la racine cubique de la

racine carrée du nombre ; car [/{[/a ) = [/a = û =: l/'a .

On verra de même que la racine 8"* s'^obtîent par trois extractions successives de racines carrées ; la racine 9°** par deux extractions de racines cubiques, et la racine li*"*, par deux ex< tractions de racines canrées suivies d'une extraction de radne cubique.

333. G)mino Pextractioii des racines exige qne Ton connaisse les pui&« sances de» neuf premiers noqibres entiers, voici les puissances de ces nombres , depuis la quatrième jusqu^à la septième , inclusivement :

1, 16, 81, aSôv^ïS, 1296, 24<>*i 409^1 ^5i;

333. Puisque le produit a toujours autant de zéros à sa droite qu''il s'en trouve à la suite de tous ses fMtenrSf il s^cnsuit que la puissance r""* de 1 suwi de n xéroê est 1 suivi dé nr zéros ^ et que- réciproquement , la racine r"' de i suiui de nr zéros est 1 suiui de n zéros,

334» La racine r"* d'un nombre a contient toujours autant de cfuf' fres ifue ce nombre renferme de tranches de r chiffres chacune^ en allant de droite à gauche^ excepté la première à gauche qui peut auoir fhoins de r chiffres.

, Soit n le nombre de tranches; le nombre a contiendra donc nr cbif-

fres , ^u plus , et /ir — ^ -)- 1 chiffres , au moins *, a sera donc plus grand

que le plus petit nombre de nr — r-j-i chifiires, qui est 1 suiui de nr-^

T zéros ^ et qu^on désigne, pour abréger, par 1 (nr — r) o; on aura par

conséquent a'^i (nr — r)o. Extrayant la racine r"* de part et d^autre,

r on aura {/<»> 1 (« — 1)0. Or, i (n — 1)0 est le moindre nombre de n

chiffres*, donc la racine r™« de a, qui est plus grande, aura au moins n thiflres* Mais elle n^en aura pas plus ; car si elle avait n -f- i chiffres , elle serait au moins 1 (n) o\ donc sa puissance r*^*, ou le nombre propose a, serait au moins 1 (ir}o*, ce nombre aurait donc rar-f-i chiffres^ ce qui est absurde, puisqu^il a nr chiffres, au plus. Donc la racine r*' de a n^aura que n chifires , cVst-à-dire autant que ce nombre a dé tranches.

335. La plus grande puissance r™^ contenue dans les p premières tranches du nombre proposé est la puissance r™' ties p premiers chères de la racine r"* de ce nombre.

Supposons que le nombre proposé renferme p -^-q tranches de chiffres \ sa racine r^^ aura P'^-q chiffres (334)* Soit x les y? premiers chiffres à gauche de cette racine ; ces ^ premiers chifires seront donc un nombre signifîcatif x suiui de q zéros , car il y a ^ chiffres après \ leur puissance r™* sera donc un nombre significatif x** suiyi de qr zéros \ cette

puissance r^* x'* ne peut donc se trouver que dans les p premières tranches, qui sont aussi un nombre significatif suivi de qr zéros ^ car il j a ^ tranches de r chines après. Ainsi x'*, puissance r™" des p premiers chiffres de la racine , se trouve dans les p premières tranches. De plus , je dis que x'' est la plus grande puissance r™® contenue dans les menues tranches; car si (x+i)'* pouvait s'y trouver, (x+i)'* serait un nombre suiui de qr zéros ^ comme appartenant à un nombre suivi de qr zéros \ et le nombre proposé <z, qui est plus grand que ses p premières tranches, serait plus grand , à plus forte ra^n , que le nombre (x-f'i)''(^r)o

contenu dans ces p tranches ; on aurait donc a^(x-f-i}^ C^'*) o et |/<a X-îf + 1 ) ( 7 ) o» La racine r"* de a aurait donc au moins x + i

unités suivies de q téros ; ce qui est absurde , puisqu'on a désigné par x

toutes les unit^ de cette racine qui sont suivie^ de q zéros. Donc réelle-

ment, x'* est la plus grande puissance /^* contenue dans les p prcmièref

tranches. On voit donc que la plus grande puissance r"'* contenue dann

les p premières tranches du nombre proposé, est j^^ c'est-à-dire la puis*

tance r™* des p premiers chi£5res de la racine r" de ce nombre.

336. Nous pouvons maintenant trouver comment on calcule la racine r™" d'un nombre entier donné. Partageons d'abord ce nombre en tranches de r chiffres , de droite à gauche : la pluR grande puissance 1^* contenue dans la première tranche sera celle du premier chi£Bre de la racine cherchée* (3a5)*, donc la racine r™* de cette plus grande puissance r"'* exprimera le premier chi£B*e lui-même.

Supposons qu'on ait les p premiers chiffres ; ôtons leur puissance r™* des p premières tranches du nombre, et à 0^ du reste, abaissons la {p-^ 0"*'î ^ viendra un nombre M. Or, la plus grande puissance r™* contenue dans les (^ -{- 1) premières tranches, est. la puissance r"^ des p -f- 1 premiers chifi'res de la racine (3a5) , et peut se représenter par a**-]- ra'''~*x+ ••• -|- x**, a désignant les p premiers ichiffres de la racine et X le (/>-}- i)™*. Et puisqu'on vient de soustraire de ces /> 4- 1 premières tranches, la pufssancc r™* des p premiers chiffres, ou a'*, le reste M doit renfermer r«'*""'x -f- Ir (r — 1 ) «'""^x* -|- etc. Mais les p premiers i;hiffres a de la racine désignent des dizaines par rapport au {p'\'\y^*x\ donc rtf"^^! exprimera des unités suivies cie (r-^i) zéros ^ et ne pourra se trouver que dans les unités de même ordre de M, c'est-à-dire dans la partie de M qui est à gauche de ses r — 1 derniers chifires. Divisant donc cette partie à gauche par roT"* , c'est-à-dire par r fois la puissance ^r — i^mc ^fg p premiers chiffres a de la racine, on aura très-probablement le (/»-|- 1)™' X au quotient; car sauf la retenue, on divisera un produit par l*un de ses deux facteurs.

Cependant, comme le quotient pourrait surpasser le (;»+i )*"* chififirc, il est nécessaire de vérifier ce quotient, en retranchant des /»-f- 1 pre^ nûères tranches du nombre proposé la puissance r^* de la racine trouvée u\ car si la soustraction est possible et que ks (^+ ^) premières

( i5ov)

trancheft soient moindres cpie (tt-|- 1)'', il est visible qne i/ sera la plus grande paissance r™* oontdiue dans ces p-|- 1 premières tranches \ u enprimera par conséquent les ^-^^ premiers chiffres de la racine cherchée (SaS). Mais si les (p-^i) premières tranches n^étaient pas moindres que (tt-f'i)'') ^ racine trouvée u devrait être augmentée au moins dWe unité.

Par ce procédé, après avoir trouvé le premier chiffre de la racine, on aura les deux premiers, puis les trois premiera^ les quatre premiers ^ et ainsi de suite. Donc il en résulte la règle que voici :

337* Pour avoir la racine r^* dW nombre entier, il faut le partager en tranches de r chiffres chacune, en allant de droite à gauche. Prendre la racine r™* de la plus grande puissance r™* contenue dans la première tranche à gauche, et cette racine r™® sera le premier chifire de la racine cherchée. Soustraire de la première tranche la puissance r™' du chi£Bre trouvé à la racine , et à c^té du reste abaisser la seconde tranche ; ce qui donnera un nombre dont on séparera par une virgule les r — ^1 derniers chifires : divisant la partie à gauche de la virgule par r fois la puissance r — 1 ième du premier chi£Bre de la racine, le quotient exprimera le second chifiBre ou un chifire plus grand. Pour vérifier ce quotient, il faut retrancher des deux premières tranches la puissance r™* de la racine trouvée *, et si la soustraction est possible et que les deux premières tranches soient moindres que la puissance r™" du nombre immédiatement plus grand que la racine trouvée ^ cette racine exprimera 1^ deux pretnien chiffres de la racine cherchée. A côté du reste ou abaissera la troisième tranche ; on séparera les r — 1 derniers chiffres du nombre résultant, et Ton divisera la partie à gauche par r fois la puissance (r — i)'"*' des deux chiffres trouvés à la racine, et le quotient, vérifié comme le précédent, exprimera le troisième chifire. On continuera ce procédé jusqu^à ce qu^il n^y ait plus de tranches à abaisser.

An moyen de cette règle, on trouve que la racine cinquième de 456783456145 est ai 5, à moins dWe unité près.

3a8. Si Ton veut avoir la racine r™* à^un nombre quelconque a , à

moins de — près , il £iudra multiplier ce nombre par n'*, puis extraire Ut

racine r^* de la plus grande puissance r^* contenue dans la partie entière du nombre r&ultant onT^ et donner à cette racine b le nombre n

pour dénominateur. De sorte que IXa =: - , à moins de — près.

C^est ce qu^on démontre en raisonnant comme an n* 3i5* Ainsi on

'5 aura 1/^39= a|o8o7, à moins de 0;Oooi près.

329. L^extractîon des racines conduit à résoudre les équations qui ne contiennent quWe seule puissance de Finconnue, et qu^on appelle équations binômes ou à deux termes^ parce qu^on peut

toujours les ramener à la forme si^zna. QuW ait, par exemple , inéquation

Si Ton pren3 ^ dans cette équation , la valeur de x\ comme dans une équation du premier degré, on trouvera x^=:~-32) * ce qui donne X r= — 2.

De même , si Ton a Péquation

-4o = ér3 + 5ft,

io8

on en déduira x* = 1296 et x =: =i= 6 (3oo).

33o. Au mojen de Pextraction des racines , on peut aussi résoudre toutes les équations ne contenant que deux puissances de Pinconnue, ayant' Tune un exposant double de celui de Pautre. Ces équations peuvent donc toujours se ramener à la forme j:*^ + P^=7«

Pour résoudre cette équation générale, il faut y supposer y^zn u ; ce qui la réduit à «* + /?« zz ^ , équation du second degré. Connaissant les valeurs vf et u" de u, dans cette dernière équation , on en conclura scT^ == ul et x^ zn u", équations à deux termes, qu^on sait résoudre.

C^est ainsi qu^on traitera chacune des équations :.-+8ix^=:82x et ^ ^^ + 4 = g ^ '^

Du calcul des radicaux'.

33 1 . Pour élever un monôme à une puissance donnée, il faut élever son coefficient à cette puissance et multiplier Pexposant de chaque lettre par celui de la puissance. C^est ainsi qu^on aura

En effet, (3a^b^f = 3aV X 3^^ X 3a^i' X 3aV = 3.3.3.3aVaVfcViV = Sia'^b'\

332. Pour extraire une certaine racine d^un monôme, il faul prendre cette racine du coefficient et diviser Texposant de cha* que lettre par Findice de la racine à extraire. Ainsi

Efiectivenient, $1 on élève — aa'fc* à lâ puissance 5"**, on retrouve le monôme proposé — 32a*°&*^. De méme^ on si

333. Lorsque la racine demandée ne peut s''obtenir exactement ^ il est nécessaire de Tindiquer et de soumettre Texpression radicale résultante à toutes les règles du calcul des nombres ; ce

. qui conduit au calcul des radicaux.de tous les degrés.

Le but de ce calcul est de combiner les expressions radicales de manière que Pextraction des racines soit la dernière des opérations à effectuer pour avoir la quantité cherchée ^ ce qui permet d^apprécier le degré d^approximation obtenu \ tandis que si Ton opérait sur les racines approchées, Terreur pourrait se multiplier au point de n^ctre plus négligeable dans le résultat final.

334. Il est clair (3o3) que b\/a=i ]/b'' [/a = [/ab''. Donc pour faire entrer sous un radical du r™* degré , le facteur qui le multiplie , il suffit d Vie ver ce facteur à la puissance r™*, et de multiplier, par cette puissance , la quantité sous le radical proposé. Diaprés cela , on aura

335. La valeur numérique d^une expression radicale ne change pas , lorsquW multiplie ou qu^on divise par un même nombre , Tindice du radical et les exposans des facteurs de la

quantité qui lui est soumise. En effet , soit x =: [/'a'^ ; on aura donc T^zncP". Elevant de part et d'autre à la puissance v"", il viendra sf^'zz.oP''^, Extrayant la racine rvième des deux membres , et remplaçant x par son expression , on aura

rv r ru

xznl/a"^ et i/a" = l/a'*^ . Donc, etc.

336. Ce principe donne le moyen de simplifier une expression radicale, en divisant par un même nombre, Tindiçe du radical et les exposans des facteurs de la quantité qui lui est soumise. Cest ainsi , par exemple , qu'on aura

337. Il existe une autre manière de simplifier une expression radicale : elle se réduit à décomposer la quantité sous le signe

ia

en deux facteurs dont Pun soit une puissance parfaite de Tordre de la racine à extraire ; car alors l'expression proposée e^t égale à la racine du premier facteur multipliée par la racine indiquée du second (3o3). Par exemple , il est clair qu^on a

y — Si^ = y— 27tf5/»6. Za*h = — Zab* \r^cFb.

338. Deux radicaux sont semblables^ lorsqu^ayant le même indice, les quantités qu^ils affectent, sont les mêmes. Qes radicaux, qui ne paraissent pas semblables, peuvent le devenir en les simplifiant ( 336 et 337 ). Par exemple , en simplifiant les

radicaux Z}/^gci x*' et 2al/^a43a'x*, ib deviennent ix\/Za x*

et 6«*l/'3a x', et sont par conséquent semblables. Le multiplicateur d^un radical en e^t le coefficient.

339. L^addition et la soustraction des radicaux ne peuvent s^effectuer que quand ces radicaux sont semblables ; et dans ce cas , il suffit d^ ajouter ou de soustraire les cocfficiens et de muK tiplier le résultat par la quanti^ radicale commune. Par exem- .

pie, si Ton veut ôter — ^a\yZa*x de la somme des deux quan-

tjtés 2<il/'3fl*x et — ;3Aj/'3a*x, on écrira (au — 36 + 4^)*

l/'Sa'x, ou plutôt {^&a — 36) |/3a*x.