Voici encore trois conséquences importantes
i^ Le produit d'un nombre quelconque de/acteurs, positifs^ est posit^ lui-même ; car chaque facteur pouvant être écrit sans signe (16), le produit total n^aura pas de signe et sera par conséquent positif. Ainsi +aX + fcX + cX + rf=: abcd zz -}- ahcd,
3* Le produit d'un nombre pair 2n de facteurs négatifs y est positif; car en multipliant ces facteurs deux à deux, on aura n produits positifs ; et en multipliant entre eux ces n produits positifs , le produit sera positif (1*).
3* Le produit d^un nombre impair !2n -}- 1 de facteurs né' gatifsy est négatif; car en ne considérant pas d^abord le dernier facteur négatif, il en restera un nombre pair an, dont le produit sera positif (l*"); multipliant ensuite ce produit positif par le dernier facteur négatif, le produit sera négatif.
47. Tout produit indiqué, comme abcdefg^ s^Obtient en multipliant a par b , le résultat par c , le second résultat par d^ et ainsi de suite. Mais nous avons démontré en arithmétique, qu^on peut suivre tel autre ordre qu^on voudra dans lés multiplications, et que même on peut regarder le produit abcdefg comme fourni par les multiplications des produits ab^ cde etfg. Ces deux principes donnent successivement *
7a V X ia^b^ = 'ja^b^a^b^ = 7 . ^a^a^'b^ = i8aaaaaaabbbbb = aSâ*^^.
D'où Ton voit que , pour avoir le produit de deux monômes ^ il faut y après avoir appliqué la règle des signes (44) 1 multiplier Vun par Vautre les ^deux cœfficiens^ écrire à la suite du résultai une seule fois chaque lettre^ comme facteur^ et lui
en l^éerif^ant avec son signe ou avec un signe contraire. Car dans — h X-l*i= — &,le multiplicateur -}*i s^obtient en ajoutant Punité^ donc le produit — b s^obdendra en ajoutant le multiplicande — h : donc — b ijouté donne — b. On verra de même que — b soustrait fournit -{- b.
donner pour exposant ; la somme des exposons qu^eîle a au multiplicande et au multiplicateur. D'auprès cette règle, on aum
—ga^^c^d X — Sa^b^c = + 72a* 'iVrf.
De même , a^ Xa'^ zz û'""*'^: car a étant m fois facteur au multiplicande a^ et y fois au multiplicateur a^, sera nëceasalrement m -{- v fois facteur au produit ; ce qu^on indique en lui donnant ni + v pour exposant, ou en écrivant a'"'*"^. En gé- . néral , le produit a toujours pour facteurs tous ceux du multi- ^plicande et ceux du multiplicateur.
48. Pour multiplier un poljrnome par un monôme , il faut multiplier chaque terme du polynôme par le monôme^ comme dans la multiplication des monômes^ puis réunir tous les pro» duits partiels, C^est ainsi qu^on trouve que
Ça — t + c) >^ — rf=: — ad -{- hd '-^ cd.
En effet, supposons d'abord qu'il faille multiplier a — 6 + c . par d:^ cela revient à multiplier par £/, a-^c — b (3o). Or, on multiplie le tout a-\-c par r/, en multipliant chacune de ses parties par J, ce qui donne ad -(- cd. Mais ce n'est pas â -f- ^ qu'on doit multiplier par ^, c'est a-^c — 2> ; on a donc multiplié dans û + c le nombre b de trop -, le produit ad'{-cd est dont trop ' grand de b Xd ou de hd\ il faut donc le diminuer de bd^ et écrire ad'\' cd — bd ou ad — bd -^ cd. De sorte que
(a — b -}- c) d z=, ad'— bd ^ cd.
Mais puisque le multiplicateur proposé est — d^ il s'obtient en multipliant l'unité par d et en soustrayant le résultat; donc (43) le produit de a — b'\'C par — d s'obtiendra en multipliant a — b-\-c par rf, puis en soustrayant le résultat ad'^bd'\'\cd\ ce qui donnera — cui-^-bd — cd^ comme on l'a trouvé en appliquant la règle.
49* Pour multiplier un monôme par un polynôme y û faut multiplier ce monôme par chaque terme du polynôme^ comme dans la multiplication des monômes^ et réunir tous les produits partiels» D'après cette règle , on aura
— dxÇa^b + c)z=z—ad+bd — cd.
En e^fet, puisque le multiplicateur a — b -^ c s'obtient en > multipliant l'unité par a , & et c , puis en Zîjoutant le premier résultat ^, soustrayant le second b et ajoutant le troisième c ; de
( '7 ) même , le produit s^obtiendra en multipliant le multiplicande -** d par a , & et c, puis en ajoutant le premier résultat — - ad ^ soustrayant le second •— frcf, et ajoutant le troisième — c^ ; ce qui donnera -^ad'^bd-'^ed^ comme on Ta obtenu en appliquant la règle.
5o. Diaprés la même règle, on trouve aussi que (7*-^ 2 -{-3) (8 — 5) = (7 — 2 + 3)x8 + (7 — î» + 3)X — 5?=56 — l6+24— 35+10— 15(48).
En général , puisqu^on multiplie un polynôme par un po]y< nome, en réunissant tous les produits du 1*' par chacun des termes du second (49) , et par sui^ , en réunissant les produits de chacun des termes du i**^ par chacun des termes du a* (4^)^ il en résulte que , pour avoir le produit de deux polynômes , il faut muUipUer chaque terme du multiplicande par chaque terme du multiplicateur^ comiTie dans la multiplication des monômes^ puis réunir tous les produits partiels et opérer la réduction des termes semblables. Diaprés cette règle , on a
Moltiplicaiide 5a4 -«• ^a^h + ^ht MulûplicaUiir a^ — - ^*h -4- a^'
Produit par a^ ... Sol — 2M -}- 4^^^*
Prod. par — - i^^h 3006^ -j. ga^^' — i6a^b^
Prod.par+ a^* ...-f-io«*^— 4ii3^ + 8fl**5 *
Pr. réduit ... 5a7 — 7^h -f- 1 aa^i» -. 6a4*S — 4aS** + 8tf»55.
Si a = 2 et /» = 3, le multiplicande et le multiplicateur proposés deviendront 176 et \^\ donc le produit sera 3464* Le produit algébrique trouvé se réduit effectivement à 2464 ^ lorsqu'on y fait â = 2 et ^ = 3.
On trouvera facilement , d'^après la règle précédente , les valeurs de {ic^b* — ^^b^f et de (^a^ + ab + 6") (a* — û6 + b^)
5i. Le terme du produit^ oit une lettre a le plus haut ex* posant^ résulte de la multiplication des termes du multipU-cande et du multiplicateur^ oit cette même lettre a les plus hauts exposans.
Cest d'abord ce que Ton peut voir en multipliant deux polynômes Pun par Faulre. Mais en généi^, soit pu"* un terme du multiplicande , et qà" un terme du multiplicateur ; il est clair que pa'^ X qà*^ ou pqa^'^V est un terme du produit, puisque chaque terme du multiplicande multiplie par un terme du mul- ALGÈBBn. . 2
tiplicateur donne un terme du produit (5o). Or, si m et t; sont les plus grands exposans de a au multiplicande et au multîplicate^, m -}- ^ sera nécessairement le plus grand exposant de a au produit^ car la plus grande somme de deux nombres est cèpe formée par les deux plus grands nombres. Et comme on suppose que pcH^ et qi^ soient les seuls termes du multiplicande et du multiplicateur, où la lettre a ait les plus bauts exposans m et v^ il est évident que pqa^^^ est le seul terme des produits partiels , et par suite du produit total réduit , où la lettre a porte le plus baût exposant m + v. Donc, puisque pqa^'^'" =:i pa^ X qà^^ il en résulte le principe énoncé d^abord.
On verra de mcme que le terme du produit^ oU une lettre a le moindre exposant^ vient du terme du multiplicande^ où cette lettre a le moindre exposant^ multiplié par le terme du multiplicateur^ oii la même lettre a le moindre exposant.
U résulte de ce principe et du précédent, que le produit de deux polynômes ne peut jamais avoir moins de deux termes.
52. La multiplication algébrique conduit à des résultats qui .sont d^un usage fréquent. Pour les faire connaître , nous efiectvierons les multiplications que voici :
ab
«» -f- ^ab + b^ a •\-b
a? -}- ab -H a5 + 5»
a* -}- 2ab -f- 5»
a* — ab
a» — ^ab -{- b*
a^ 4" 2a»5 -{- ab*
+ a^b + 2ab^ + b^
«3 -f- 3a»* + 3ab^ + 53
a» — ^ab -{- b"^ a — b
a3 — 2a»5 + ab^
— a^b -f- art*^ — b'^
«3 — 3a»A -}- 3aô> — *3
La seconde de ces multiplications donne le carré de a -{- & , la 3* le carré de a — &, la 4* le cube àe a-^-h^ et la 5* le cube de ^— -& ^ on a par conséquent les formule»:
(a -f- by =: a» -f- ^ab -f- b* (a)
(a — by = a» — ^ab -f- b^ (3)
(a -f i)î=: «3 4 3a»5 -f Ub^ -f A3 ... (4) (a — A)3 = a3 — 3a»5 + 3a5> — *3 ... (5)
Observant que le doable signe =i=, qu^on énonce plus ou moins ^ est employé pour indiquer qu^une quantité. est ajoutée ou soustraite, on verra que les formules (a), (3), (4) et (5) se réduisent aux deux que voici :
(a zfc by =3 a» rt: aaA -{- A> (6)
(a =1= 6)i 3= a3 =±= 3a>5 + 3a5> =fc b^ ... (7)
Les formules (1)9 (6), (7), traduites en langage ordinaire, démontrent les trois théorèmes que voici :
i* La somme de jdeux quaniités multipliée par leur différence^ donne pour produit la différence des carrés dé ces quantités,
2* Le carré de la somme ou de la différence de deux nombres^ vaut le catré du 1", plus ou moins le double produit du i" par le a', plus le carré dui," .
3* Le cube de la somme ou delà différence de deux nombres^ tist égal au cube du i"^ plus ou moins le triple carré du i*' multiplié par le a*, plus le triple du i*' multiplié par le carré du 2', plus ou moins le cube du 2*. '
Il est clair que les inverses de ces trois théorèmes existât, et que par exemple , au lieu de m' — x", on peut mettre (m -|- ^) (m— - x), qui a même valeur ^ et ainsi des autres.
53. Multipliant la valeur de (a -{- b)^ par a -f- ^ 1 puis le ré^ sultat par a-^- b^ et réduisant, on trouvera
(tf 4- 5)5 =î a5 4. 5tf*& + ioa35> -<- io«»A3 + 5ab^ + A5.
Ces deux formules en donneront deux autres analogues, si on j change 6 en — b\, et qu^on ait égard aux conséquences de la règle des signes (46).
54* Nous remarquerons à cette occasion, que les règles du calcul des polynômes sont vraies quels que soient les nombres qui composent ces polynômes; et que cela vient uniquement des quantités négatives. En effet, coihme ces règles sont démontrées pour tous les cas où les différences sont positives , il suffit de faire voir que les mêmes règles s^appliquent encore lonqne les différences sont négatives. Supposons que dans a — fr, b soit >û ; alors a— 6 sera négatif et égal à — (6 — a,); (28). Diaprés cela , il est clair qu^on aura :
( ao )
3'p(a-b) =;* [-(*-«)] = -^(A«) = -p6+p«=i ap—bp;
4» (a-b)p=rl^(b^»)2p=t-.(b^»)p=n~.(bp-ap) = —bp-\-ap=cap — bp^
5» {«-A) (c-d)=[-(A-a)] [^(d'c)]=(A«) (rfwc) zzisbd'-^ad — ^-}-ac=:ac — ùc — ad^ôd*
Tous les résultats précédens s^obtiennent par Papplication immédiate des règles du calcul des polynômes \ ces règles sont donc vraies quelles que soient les valeurs numériques des lettres qui composent ces poljnomes.
55. £n généra], il est fort commode de renfermer dans une seule règle ou formule, la solution de toutes les questions numériques de même nature ; puisque dans ce cas, on est dispensé de . recommencer à chaque fois les raisonuemens et les calculs, quelquefois longs et compliqués , qui ont fourni la règle proposée. Or, oiu>btient cet avantage par le calcul des quantités négatives isolées ^ car alors les règles ou les formules soot vraies quelles que soient les valeurs positives 'ou négatives des lettres qui les composent. En effet, on sait que
(a—by=a*— 2ab + b* ... (8)
Si dans cette formule on fait tf =2 et ^^ = 7, le 1*' membre (a — bf sera ( — 5)' ou aS^ le a* membre deviendra 4 — ^8 •+ 49 ^" encore ^5, comme le i". Si b = — ^, le 1" membre sera [a — ( — c)]* ou (a + c)' \ le a* membre deviendra a* — au X — c + ( — c)' ou a* + ^ac + c* \ et Ton sait en effet que (fl + ^y = a* + lac + c*. On voit donc que la formule (8) est exacte pour toutes les valeurs positives ou négatives des lettres qui la composent. Et il en est de même de toutes les for« mules que nous avons obtenues jusqu^à présent , ainsi que de la suivante (^ ^ i^y = ar' + nx + in\
qu^on trouve en multipliant X'\-^n par lui-même.
56. Par ^analogie avec les puissances , on dit qu'Hun produit est du nième degré ^ lorsqu^il renferme n facteurs liiiérauXj c^est- à-dire n facteurs exprimés chacun par une lettre. Les facteurs numériques ne comptent pas dans^Pestimation du degré.
Ainsi les produits 2a ^ 3ab^ Sa^h*^ s6nt resptctiveménl du i*'^ du 1* et du 5* degré.
On appelle quantités ou expressions homogènes , celles où tous les termes sont du même degré. Ainsi /^H — 2a*b*'{-iab^ est une expression homogène du 4^ degré. On remarque que la multiplication d^une quantité homogène par une quantité homogène, donne toujours un produit homogèpe, d^un degré égal à la somme des degrés de ses facteurs. Voyez Pexemple du n*" 5o.
57. On a déjà pu remarquer (48 et 49) qu^u/i produit de deux quantités algébriques quelconques ^ ne change pas de yaleur^ dans quelqu'ordre qu'on multiplie.
La chose est évidente pour deux monômes ^ oar à cause de ai=: ba^ cm aura
+ tf>< — ^ = — ah=i — Atf=r — &X + a, etc.
A regard des poljnomes, quel que soit celui des deur qu^on prenne pour multiplicande, Topération reviendra toujours à multiplier chaque terme de Pun par chaque terme de Pautre (5o) ^ et puisque chacune de ces multiplications partielks fournit le même -résultat, quel que soit Tordre des deux facteuiv monômes sur lesquels on reffectue, il s^ensuit que le produit total sera toujours composé de Paddition des mêmes term^ : donc il demeurera toujours le tnéme.
De la Division algébrique,
58. La division algébrique est une opération par laquelle , connaissant un produit, appelé divUlende^ et l\in de ses deut ^ Ëicteurs , nommé diviseur y on trouve Pautre ^ appelé quotient* D^où il suit que le dividende est le produit du divbeur par le quotient ; et qu^en divisant un produit ab par Pun de ses deux fiictcurs by on aura toujours Pautre facteum au quotient; ce qui donne ab\b-=za.
59. De même, ab^cd l b*c = adx b*c l b'c == ad. En général, quand on supprime dans le dividende, les facteurs du diviseur, les facteurs restans forment le quotient.
60. Le quotient de deux monômes aie signe -}-<i lorque les signes du dividetuie et du diviseur sont les me'mes^ et le signe -— , quand leurs signes sont diff'érens. Ce principe, appelé la règle des signes ^ donne les quatre formules que voici :
+ ab:+b = + a, —abl+b = — a, + abl—b=z — a el —ab\—b = + a.
En effet ^ le quotient doit toujours être tel, qu^en multipliant le diviseur par ce quotient , on retrouve le dividende (58). Or, diaprés la multiplication eu égard aux signes , tous les quotîens précédens satisfont à cette condition; donc tous ces quotiens sont exacts.
' 61 . Les quatre formules précédentes s^énoncent en abrégé en disant : + divisé par -f- donne +, — divisé par + donne*-, + divisé par — donne — , •— divisé par — donne +• £t il en résulte, 1* que le quotient change de signe, en même temps que Fun de ses deux termes \ a* que le quotient ne change pas de signe , quand on change ceux du dividende et du diviseur.
6a. Dans la division de deux monômes, le dividende est lo produit du diviseur par le quotient (58) ; donc le coefficient du dividende est le produit du coefficient du diviseur par celui du quotient (47) ; on aura donc le coefficient dû quotient, en divijant le coefficient du dividende par celui du diviseur (58).
63. De même , puisque le dividende est le produit du divi* setir par le quotient, Pexposant dWc lettre au dividende est la somme des exposans de cette lettre au quotient et au diviseur (47); on aura donc Pexposant d^une lettre au quotient, en retranchant son exposant au diviseur de son exposant au dividende.
64* De là et de ce qui précède, il suit que, pour avoir le quotient de deux monômes^ il faut ^ après avoir applique' la règle des signes , diviser le coefficient du dividende par celui du diviseur^ puis écrire à la suite du résultat , une seule /bis chaque lettre comme /acteur^ et lui donner pour exposant , son exposant dans le dividende moins son exposant dans le diviseur. C^est ainsi qu^on aura
— 27aVc' : — 3a'6'c = + Qa^bc\
Et en effet , le diviseur multiplié par le quotient reproduit le dividende; ce quotient est donc exact. De même, a^l a?=za^. Mais a' ; a^=: 1 ; donc a**= 1, comme au n' 22. On a encore
— i2a76\- 4a' = — i2a"6^ : 4aV=: — 3a<tS
car 6" = 1 . Pareillement
3a'b^ : — ^a'b z=z — ia^'b^ = ^ i-b\
65. La division de deux monômes est impossible , lorsque le coefficient du dividende n^est pas divisible par celui du diviseur, ou fue Texposant d^une lettre dans le diviseur est plus grand que son exposant dans le dividende^ ou tnfin quand le diviseur a des lettres qui ne sont pas au dividende. Dans chacun de ces cas, on indique la division et Ton simplifie Pexpression du quotient, en divisant ses deux termes par les facteurs qui leur sont
.communs. Par ex., qu^on ait à diviser iia^b^c* par 8aPb^c* : cette division ne peut que s^indiqucr ; mais on peut simplifier Pexpression du quotient, en observant que ses deux termes sont divisibles par 4, par û^, par b^ et par c' •, c^est-à-dire par fy:ti?<^. Effectuant donc cette division , le quotient ne changera pas de valeur, comme on le démontrera plus bas^ et on aura
%aih^c^ ~ ^' même, ^-^ -— , et j^;^ — ^.
