De là j/i^^ = 1/0^''= l/a

Diaprés la règle qu^on vient dVtablir, il est clair qu^'on a

j/8il^i6 = 3l/2 et l/(8j/76j7^)=:4i^2.

344* Dans les règles des quatre numéros précédens, si les radicaux avaient des coefficiens, il faudrait opérer sur ces cocfficiens. On peut remarquer que les règles du calc;^l des radicaux reposent sur le principe que toute quantité est égale à la racine r*' de sa puissance r"* (^299). Or, ce principe, qui est vrai tant qu'ion ne considère que des nombres absolus , ne Test pas toujours pour les diverses expressions auxquelles peut conduire Talgèbre, ou du moins il donne lieu à des distinctions, sans lesquelles il cesserait d'hêtre exact. Par exemple , si l'on n'^a égard qu'à la valeur arithmétique^ il est évident que 1 =1/4 î mais si Ton devait considérer la valeur négative de ^4 ^ ^P^ est — 2 \ il est clair qu'on n'aurait plus a = |/'4-

34^* On appelle valeurs arithmétiques ^ les itombres entiers^ fractionnaîres et irrationnels ^ et valeurs algébriques^ les expressions négatives , infinies et imaginaires.

346. Une expression radicale n^a jamais qu^une seule valeur arithmétique ; mais elle peut avoir plusieurs valeurs algébriques, dont le nombre augmente ou diminue toujours , suivant qu^on multiplie ou qu^on divise par un même nombre Pindicé du radical et les exposans des facteurs de la quantité qui lui est soumise. C^est ce qu^on peut aisément vérifier \ car si Ton pose

X = l/a^ et ^ = |/a*,

<Ht en déduira x^ — c?z=.o et ^^ — a®=:o.

Or, on peut résoudre chacune de ces équations par la décomposition en facteurs. D^abord la première devient (x — a) (x* -{-tf<3:-f-a') = o. Et puisqu^un produit est nul dès que Pun de ses facteurs est zéro , on voit que Péquatîon 3^ — a =0 donne X — tf == o et X* + flx + a* = o ^ d'où xzzza et xzn -^a (— 1 ri^l/ — 3). De sorte que la racine cubique de a* a trois valeurs, dont une seule est arithmétique.

L'équation ^ — a = o , étant identique avec

die fournit à ^ les trois in.émes valeurs que celles qu'on a trouvées pour X \ mais de plus elle donne à jr trois autres valeurs , qu'on obtient en résolvant les équations j^-j- £2 = o et^ — ajr 4-a' = o.

Ainsi on voit qu'en multipliant par a l'indice du radical et

Texposant de a, dans ^a , la nouvelle expression \/^a aura la même valeur arithmétique a que la première \ elle aura aussi deux valeurs algébriques communes avec elle \ mais de plus elle

renfermera trois autres valeurs qui ne se trouvent pas dans ^a\

347- En général, la racine r*"* cC un nombre a toujours r valeurs^ dont une seule arithmétique. C'est ce dont on &it aisément la preuve pour les racines a*, 3', 4* et 6*, en opérant

comme dails l'exemple précédent. Pour montrer que ^a a

cinq valeurs, soit xz=i\^a\ nous aurons donc x — a = o* Posant a = c^, il viendra x^ — €?z=io\ d'où

(x — c)(x* + ûr* + cV + c^x + <^) = o.

Ce qui donne d^abord x = c , et ensuite

X* + cx^ + c*^* + c^^ + c* =: o.

Divisant les deux membres de cette équation par x*, et prenant

X H =: M , d^où X* + — = M* — ac*,

on aura u* — ac* + ca + c* = o, ou M* + ca = c*.

Cette équation donne à u deux valeurs réelles 1/ et u''^ qui

étant substituées dans x -{ ^=1^1 fourniront deux équations

du second degré en u , desquelles on tirera quatre valeui^ algé-

briques pour x. De sorte que (/^a a cinq valeurs, doet une

seule arithmétique.