Dans X = l/aSS , on trouvera x = =t: 1 , x = =fc

21/ — 1, X=:=t:2l/ — 1 et X=:=±=a^^ — ^Z — i.

De x = |/^a®, on tire (x^ — a') (x^+û'x'+û^) = o -, d'ou il n^cst pas difficile d^obtenir les neuf valeurs de x.

Enfin Pexpression x z= |/i , donnant (a: — i)(x+i)r:ro, fournit à x ou à |/^i, dix valeurs dont une est égale à 1;

349. Pour vérifier si — | y — 1 (^ + |/ — 3) est Tune des six racines 6"**' de — 1 , il faut Télever à la puissance 6™* ; or la 6"* puissance du premier &cteur est — ^, et la 6"* puissance du second facteur s^obtient en prenant le cube de son carré , et donne 64; donc la 6°" puissance chercliée est — ^'X&f ^^ — i , comme cela doit être.

350. Pour former les puissances d^une imaginaire du second degré , telle que |/ — a , il suffit d'observer que Texposaut de la puissance ne peut avoir que Pune des quatre valeurs ^q , 4^ -f- 1 1 4^4'^ ^^ 4^ 4" 3 1 9 ^^>^( entier , et que les puissances de [/ — Il marquées par ces quatre valeurs, sont respectivement 1 , 1/^—1 , — 1 et — 1/ — 1 . Par exemple, i4 étant de la forme 4^ -t" 3 1 '* *4* puissance de |/^ — a ou de |/tf [/ — 1 , vaudra a^ {[/ — 1)'* ou — a?. La règle du n" 34^ donnerait |/a*^ou =ira'. Cette règle présente donc une exception lorsque Texpression radicale est imaginaire.

35 1 . En général , les règles du calcul des radicaux peuvent conduire à des résultats fautifs lorsque ces radicaux sont imagi-

aairfs. Par exemple, les rhg\e$ de la muUîplicadon et de la division des radicaux donnent |X — 1 X 1/ — 1 = IXi zz: 1 , et

l/'^ l [/ — 1 = \/ — 1 \ tandis que les véritables résultats doi-

vent être [/ — 1 et — [/ — 2.

On remarque que si r est le double dW nombre impair, on aura j/ — 1 = \/ — 1 .

35a. Le calcul des radicaux conduit à rendre rationneb les dénominateurs de certaines fractions, que Ton veut évaluer numériquement. D'^abord si le dénominateur est lé monôme

\ya , il suffira de multiplier les deux termes de la fraction par

[/^â^"', et le nouveau dénominateur sera a.

n ' Mais si le dénominateur proposé est le binôme a =±= \/b , il

faudra multiplier les deux tenues de la fraction par le quotient

de la division des deux binômes a'* — b et ari= [/b^ ou a"

s^b et a=±z \/b^ suivant que n sera pair ou impair; et le nouveau dénominateur sera a^ — b^ dans le premier cas, et a^=±=^, dans le second. Ainsi on trouve

7q^3 = 4 - ^V'S + 1/9 = 4 -(a - 1>3) 1/3 . Si le dénominateur était ^/S — \/2. , on le remplacerait par

fa valeur \/i'j — t/'4 1 ^^ ^" prendrait , pour multiplier les

deux termes, le quotient de 27 — 4 P^^*^ 1/^7 — 1/^4 •

Lorsque le dénominateur a plus de deux termes , dont deux au moins soient des radicaux d^un degré supérieur au second , il est impossible de rendre rationnel ce dénominateur.

Des expos ans négatifs,

353. Les exposans m et v étant deux nombres entiers, si » > v, on vérifie aisément que a"^ là^ z=. a^^ ; car en multipliant le diviseur par le quotient , on reproduit le dividende. Mais si m<^ v , on ignore encore à quoi répond Pexprcsuon

^m-v^ Pour le trouver y on observe d'abord que a*" rr -rj^ X

dy (58)^ on remarque ensuite que d'après la définition dés , exposans (lo), l^expression a'"~^ indique qu'il faut diminuer de t/Tcxposant m de a dans a*", ou qu'il faut diminuer de v le

nombre m des facteurs a du produit çf"^ \ il faut donc supprimer

a"* V facteurs a, ou a^, dans ce produit J^ ou dans -13 X^''; il

reste par conséquent -^ ou a*^ • cP . D'où il suit que

Cette formule sera vraie pour toutes les valeurs numériques des exposans entiers m et t; : seulement, quand m sera moindre que V, û*""^ et cl^ \ a^ seront deux manières d'indiquer la division de a"* par a^^ comme tÎ^ cl 0^07 sont deux manières d'indiquer la division de 7 par 100.

354» Si m :zz v, la formule (1) devient c^'^'^-zza^ \ aV^ ou â^= 1, comme au n° 22. Si miiro, la même formule donne d*^^z=a!* l ciy y ou a""^=:i • fl^. De sorte que l'exposant négatif — 1; de a, indique la division de l'unité par le produit de v facteurs égaux à a (*).

355. Et comme le dividende 1 est le produit du diviseur *û^ par le quotient. a" ^, si l'on divise ce produit 1 par l'un de ses deux facteurs û"^, on aura l'autre a^ au quotient \ de sorte que a^= 1 : a^. Déjà a-^= 1 : d^;, donc

Ainsi toute quantité affectée d'un exposant entier, est égale k l'unité divisée par cette même quantité affectée du même exposant pris eh signe contraire ; et réciproquement. Ce qui donne le moyen de mettre une fraction sous la forme d'un nombre entier^ et réciproquement.

356. Ce principe, la formule (1) du n* 353 et le calcul des fractions , donnent successivement :

(*) On Toit que Texposant positif v indiquant la multiplication de Funité par le produit de v facteurs a , Pexposant négatif — v aura une signification contraire, c^est-à-dire indiquera la division de Tunité par le produit de v facteurs a\ ce qui est conforme à Tinteiprétation des valeurs négatives (i58).

X ^"^ = Im X :;!/ ^^ ImTv = ^"

D'ailleurs a*" X «^ = û"*"*^ : cette formule et les trois précédentes , montrent que

De là , et en multipliant de part et d'autre par d^'*^ puis par â-'*, etc. ^ on verra, que' quels que soient les signes des expo* sans entiers d'une même lettre , dans les facteurs proposes , on doit n^écrire qu'une seule fois cette lettre comme facteur au produit , et lui donner pour exposant , la somme algébrique de tous ses exposans dans les facteurs du produit demandé. C'est ainsi qu'on aura

— 'ja-^b^ X — îa-'t*^ = iia^b\

D'après cela, il est évident que les règles de la multiplfcation des poljnomes doivent encore s'appliquer, lorsqu'il y a des exposans négati&. Ainsi on trouvera que

= 6a'^ , 3a^b'' + 7,^a^b^ — 1 7a'^r^ + 1 2a-'A""^ 357. Il est facile de vérifier que m et t; étant entiers, on aura

car en multipliant le diviseur par le quotient obtenu , on repror duit le dividende (356). Il suit de là que, pour diviser l'une par l'autre deux puissances enii^rf^s^ positives ou négatives, d'une même lettre , il faut n'écrire qu'une seule fois cette lettre ' au quotient, et lui donner pour exposant son exposant dans le dividende moins son exposant dans le diviseur. Ainsi on aura

— 1 aa-^/>* : ^^b^ =: — Za^b\

n est clair, d'après cela, que les règles de la division de^ polynômes s'appliquent encore, lorsqu'il y a des exposans né^ gatifr, en observant que plus un exposant négatif a d'unités, plus il est petit (176). Ainsi on obtiendra :

et {la^x — 3rt V — 6a V + 1 7^2:* — 1 2x*) : (aa^jp — 3a'x')

= a*x — 3a~'j:*+ 4^'^ar*.

358. Lorsqu^on larrive à un reste où le plus haut exposant de la lettre principale est moindre que son exposant dans le dernier terme du dividende moins son exposant dans le dernier terme du diviseur, la division ne saurait se' terminer.

Soit pa"* le dernier terme du dividende et qa'^ le dernier terme du diviseur. Supposons que^, dans un reste, Je plus haut exposant de a soit moindre que m -— n ^ je dis que la division ne se terminera pas.

En effet , si en continuant cette division , on pouvait arriver à un reste nul \ alors, comme Texposant de a est toujours plus petit dans le quotient partiel que dans le premier terme du dividende partiel, le dernier terme du quotient serait donc de la

forme ra"*'"'^^. Or, le dividende est le produit du diviseur par

le quotient \ et le terme pa"^ de ce produit , où la lettre a a le

moindre exposant , vient du terme qa'* du multiplicande, où la

lettre a Aie moindie exposant, multiplié par le terme ra'^'^'^

du multiplicateur, où la lettre a a le moindre exposant (5i) :

donc on aurait m m-^ / \

pc^=.qrar^ ... (i)

Cette égalité devrait être vraie pour toutes les valeurs de a ; de sorte qu^en j faisant a = 1 , ce qui ne change pas les quantités /7, (jf, r, qui ne contiennent pus a, on aurait /;z=<^r^ et par suite, Pégalité (2) se réduirait à a''*=:û'""^, égalité évidemment impossible. Donc la division ne se terminera pas.

359. Par exemple, qu'ion ait à diviser c^ — x^ par a' — x* : en observant que — 1 <o, — i<C^ — 1, — 3'< — 2, etc., on pourra appliquer la règle du n* 68 ; et le troisième reste sera + a'"'x* — ûT^x^, Le plus haut exposant — 1 de a, dans ce reste , étant moindre que o — o, c'est-à-dire que Pexposant de a dans le demfer terme du dividende moins Tcxposant de a dans le dernier terme du diviseur, il s'ensuit que la division ne se terminera pas , et donnera le quotient que voici :

a -f a-'r» — à^x^ + «"'x^ — oT^x^ + etc. , à rinSni. Si Ton avait indiqué la division sur le premier reste + asc^

— x', OÙ Texposant de a est moindre que dans le premier tcrm« du diviseur, on aurait trouvé :

a3 — *î , «X» — x3 , or»

=0-1 =aA

Appliquant la règle de Textraction de la racine carrée des polynômes (233), on trouvera , pour la racine carrée de a*-}* ^ t la suite infinie (^35)

a + ïar'-iar'+^^-ihor' + ^'^-cic. Du calcul des exposans d'une nature quelconque.

360. Si Ton veut former la puissance m"* du monDmc rt^^, c^est-à-dire si Ton veut former un produit de m facteurs égaux

à a , il faudra écrire une seule fois la lettre a au produit, et lui donner pour exposant , la sonunc ailgébriqiic des m exposans =1=1; qu'elle a dans les m facteurs ar^^ (356). Or, celte somme étant m fois =i=2;ou=±=i;Xm, ona

n suit de là et de la définition de Texposant négatif (355), que

Cette valeui^et la précédente démontrent que

Ainsi pour élever un monôme à une puissance entière, il suffit de multiplier les exposans de ce monôme par celui de la puis* tance, quels que soient d'ailleurs les signes de tous ces exposans.

Cette règle et le principe du n° agot , fournissent :

(aV)-^=a-*'6* et {—a^b-^T'=^ — a%'\

36 1. U est facile de voir, d'après ce qui précède (36o et 299), que m et r désignant deux nombres entiers, positifs ou négatils, on aura

d'où il résulte que pour extraire une racine d'un monôme, il faut diviser les exposans de ce monôme par l'indice de la racine à extrait, quels que soient d'ailleurs les signes des exposans et de l'indice.

▲LGCBRE. 11

Au mojen de cette 'règle et du principe du n** 3o3, on trouve

et l/—d^b^=à'bî/—i.