En appliquant la règle précédente, on obtient

. Si m n^est pas divisible par r, Pexposant de a sera une fraction. Or, comme Pénoncé : a deux tiers de foi$ facteur^ signifie

plutôt \a que a^^ qu^on énonce a puissance deux tiers, on voit que les exposans fractionnaires ne «auraient désigner des nombres de facteurs , et que par suite la formule (1) ne saurait être démontrée , lorsque m n^est pas multiple de r. Mais puisque le second membre de cette formule exprime

la racine r"** de a^'", lorsque m contient exactement r, rien n^empéche de lui faire indiquer la même chose, lorsque m n'^est

pas divisible par r \ car Pexprcssion a ^ n^offrant aucun sens par elle-même , on est maître de lui faire signifier ce qui n^est pas contraire aux conventions établies. Nous supposerons donc

toujours désormais , que a ^ désigne la racine r™* de a , et en conséquence nous écrirons

Cette formule définit V exposant fractionnaire ^ et fournit deux manières différentes d'^indiquer la racine r"* de a^'".

363. Élevant les deux membres de Tidentité précédente à la puissance r"*', celle du second sera a^^^ (^99) î donc il en sera de même de celle du premier. Ainsi pour élever une quantité affectée d^un exposant fractionnaire , à une puissance marquée par Te dénominateur de cet exposant , il suffit d^ effacer ce dénominateur. ^

364* Soit X = a '' ; en élevant de part et d^autre à la puissance r***, puis à la puissance v"*', on aura d^abord a/*= a^'" (363), et ensuite x'^ = fl^'^(36o). Extrayant la racine rv"* des deux membres (36i), pui^ remplaçant x par sa valeur primitive , il viendra

m mv

r rv

On peut donc multiplier ou diviser par un rocrae nombre les deux termes de Texposant fractionnaire, sans changer la valeur numérique de Texprcssion proposée.

365. Celte expression n^a jamais qu^unc seule valeur arithmétique ; mais elle peut avoir plusieurs valeurs algébriques ^ dont le nombre augmente ou diminue toujours ^ suivant qu^on multiplie ou qu^on divise par un même nombre les deux termes de Texposant fractionnaire \ ce qui ne diange pas d^ailleurs la valeur arithmétique. Dans tout ce qui va suivre, la quantité affectée d^un exposant fractionnaire sera un nombre positif, et nous n^aurons égard qu^à la seule valeur numéiîque que puisse founur Fexprcssion proposée.

366. Au moyen du principe établi plus haut (364), il sera toujours possible de réduire plusieurs exposans fractionnaires au même dénominateur, sans altérer les valeurs arithmétiques des expressions proposées ; car cette réduction consistera toujours à multiplier par un même nombre les deux termes de diaque exposant fractionnaire.

367. Les exposans fractionnaires ne désignant pas des nombres de facteurs, leur calcul ne saurait se démontrer comme celui des exposans entiers, quoiqu^il soit absolument le même, ainsi qu^on va le faire voir, en énonçant d^abord chaque règle et la vérifiant ensuite.

368. Pour élever un monôme à une puissance quelconque , il suffit de nûiltiplier les exposans de ce monôme par celui de la puissance , quek que soient d'ailleurs tous ces exposans.

rn

En effet, soit x=.a ** ^ on aura 0/*= a^'"(363). Elevant de part et d''autre à la puissance =±:n, il viendra x "'* = ^zizmx:±in ^35^)^ Extrayant la racine n/ième des deux membres (36^), puis supprimant le facteur r des deux termes de Texposant de x, et observant que dans la diviftîon de =fc=iit X

=t= n par /t/, le quotient peut se meltj-c sous la fonue =±= — X

sdb - , on trouvera :

X ''=za ''

( =t-J=fc- =fc:-X=t-

*^ d'où v« V '"=« '

369. Pour extraire une racine quelconc^uc d'un monôme , il faut diviser les cxposans de ce monôme par celui de la racine à extraire, quels que soient d'ailleurs tous ces exposans. Ainsi , n et V désignant des nombres entiers ou fractionnaires, positifs ou

négatifs, on aura [/a'* = a'''^. Car si on élève à la puissance v"* l'expression a"-'', on retrouvera le monôme proposé a** (368).

370. Pour multiplier .entre elles plusieurs puissances fractionnaires d'une même lettre, il suffît d'écrire une seule fois cette lettre au produit, et de lui. donner pour exposant; la somme algébrique des exposans qu'elle a dans les facteurs proposés.

C'est ainsi que .^ . « =fc— ±-

a ^ a ziz a

En effet , si Ton élève chacune de ces deux expressions à Ja puissance rvicme (^2)1 et qu'on réduise les exposans (364 ^ 356), les deux résultats seront égaux : donc réellement, ces deux expressions sont égales ; car il n'y a que deux quantités égales qui, élevées à la même puissance, puissent donner deux résultats égaux.

371. Pour diviser l'une par l'autre deux puissances quelconques d'une même lettre , il^ sufHt d'écrire une seule fois cette lettre au quotient et de lui donner, pour exposant , son exposant dans le dividende moins son exposant dans le diviseur. Ainsi , m et 2; étant deux nombres entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs, on aura o^ l a^zizaT^"^, Effectivement, si l'on multiplie le diviseur par le quotient, on retrouve le dividende.

37 a. D'après la règle qu'on vient d'énoncer, u étant un nombre quelconque, positif ou négatif, il viendra a^laf:zzar^^ ou 1 J^"z=ii"". Donc l'unité di^sée par une quantité ayant un exposant quelconque, équivaut à cette quantité affectée du même exposant, pris en signe contraire^ et réciproquement. De là on déduit que

r-an an

Eo général, on trouve que y—a zz l ; [/— tf.

3^3. Il est bon de remarquer que le calcul des radicaux peut se faire par celui des cxposans fractionnaires, en remplaçant chaque radical par Texposant fractionnaire équivalent (362). Mais il faut des règles particulières pour opérer immédiatement sur les radicaux , tandis qu^il n'^en est pas de même des exposans fraclionaaires^ dont le calcul ne dififère pas des exposans entiers ; et cela montre combien le .choix du signe d^unc opération peut influer sur la simplicité du calcul.

374* Au moyen du calcut des exposans firactiomiaires, il est aise de résoudre les deux prohibes que voici : i® Si Ton multiplie la^ puissance — 5 sixièmes de 73g par la puissance 2 tiers de 27, et qu^on cléfe le produit à la puissance — S neuvièmes; combien anTa-l-H>n? (R. S.)

3° Si Ton multiplie la puissance — 3 quarts de 1 396 par la puissance 3 demies de 9, et qu^on prenne la racine — 6 cinquièmes du produit elevc ai la puissance — 3 ; combien aura-t-on? (R. 3^*)

Les principes des n^' 39$ et 396, conduisent à résoudre ce problème : quelles sont les valeurs des radicaux dont les indices sont, od , *- 00 at o, la. quantité a soumise à ces radicaux, étant ^ou «^ 1.?

875. Le calcul des exposans irrationnels se fait d'après hs mêmes règles que le calcul des exposans fractionnaires. En effet, on ne peut obtenir que p€ir approximation la valeur Bimiérique d'étui exposant iBCxmuncnsiind>le (3 1 5) : donc opérer sur un exposant irrationnel , ce n^est réellement opérer qiie sur Fexposant rationnel, qui en est la valeur- aussi approchée qu^on le veut ; donc le calcul du premier exposant se réduit à celui du second , et sc-ficiv par conséquent diaprés les mêmes règles. On ^ 'connaît donc déjà le calcul des exposans irrationnels ; et il est d^ailleurs facile de se donner des exemples de ce calcul.

876. QuaiH aux exposans imaginaires ^ comme ce nVst que par convention que Ton opère sur eux diaprés les mêmes règles que pour les exposans réels , il n^j a évidenuncnt lieu à aucune démonstration.

Il est nécessaire de bien retenir le calcul des exposans d^une nature quelconque , parce qu''il est employé dans un grand nom- Jbre de circonstances. Nous allons en faire usagjc pour résoudce les équations exponentielles, sur lesquelles est basée Timportante diéorie des logaritlmies.

Des équations exponentielles,

' 377. Oq appelle équation exponentielle^ toule éqiialioB où rinconnue est à Texposant.

378. La résolution des écjiiations exponentielles est fondée sur le principe que voici : Si une quantité h est plus grande que Punité, 1* les valeurs de ses puissances positives augmentent ou diminuent, suivant que les exposans de ces puissances augmentent ou diminuent; 7,^ réciproqnement, si les valeurs des puissances augmentent ou diminuent , les exposans eux-mêmes augmenteront ou diminueront.

En effet, 1** puisque & ^ 1, il est clair qu^on aura

fc'»>i, !/&''> 1, 6'*>i et y '^>^'^.

a* Réciproquement, si l^ > fc", on n^aura pas x = n , sans quoi on aurait aussi h^ z=ih'*\ ce qui est contre la supposition : on n^aura pas non plus x<C,n^ puisqu^alors , diaprés la propo> sition directe (i*), il viendrait b^^ <C ^^ î ce qui est encore contre la supposition. Donc on aura nécessairement x^n.

Si b était plus petit que Tunité , les propriétés contraire auraient lieu : Texposant positif de la puissance augmentant ou diminuant, la valeur numérique de la puissance diminuerait ou augmenterait ; et réciproquement,