Cherchons la valeur de x dans Téquation

— 5»' On voit d^abord que x ne saurait avoir de valeur positive ; car en faisant x = o , on aurait un nombre 1 ^ ^ ; ci x surpassant o , 8' surpasserait à plus forte raison ^ : donc x doit être négatif. Prenant donc xz=: — u , il viendra

,-tt > ï 1

8 = — , ou ^ z= — , ou enfin 8" = 32- 3a 8" 3a

Les hypothèses m m et w rz: 2 doniicnt 8'<C 3a et 8* > 32 ; donc 8">8' et 8"<8'; donc M>i et ii<2 (378). Par conséquent on peut faire w zii i -|- - , ^* étant plus grand que Punilé.

Substituant cette valeur de u dans 32 = 8", on aiva successivement , diaprés le calcul des exposans fractionnaires ,

3a = 8 ^ = 8">c8^-, d'où 4 — 8>^ et 4^=8.

Les suppositions de ^=1 et j*i= 2, donnent 4*<C8 et 4'> 8 ; donc 4'^>4' et 4-^<4*i donc^> 1 et^<2 (378). On peut

donp faire j-zizi -{ — , v étant plus grand que i . Substituant, cette valeur de j- dans l'équation 4*^ = 8 , on aura

8 = 4 ^ = 4'x4''î d'où x=4^eta^=4.

n est évident que 1; = a , dans cette dernière équation* Or,

^ =: 1 + - ; donc jr z=z i -[- i zn l* Mais u = i + - ; donc

iim I -{- 1 = I* Ainsi on a j: = — m = — | : telle est donc la . valeur de x dans l'équation 8*=^' '

C'est ce qu'on peut vérifier aisément ; car à cause de 8 z= 2 , il est clair qu'on aura successivement :

Par une marche analo^e à la précédente , les deux équations 128' = 4*^ ^^ 243-^= 2187, donneront x = y et^ii:^-

380. Considérons maintenant Téquation générale a' = ^ , dans laquelle a cl b sont des nombres positifs 'donnés et a ^ 1 . D^abord , on observe que dans cette équation , x ne saurait avoir qu'une seule valeur réelle ; car si x avait deux valeurs réelles m et v, on aurait à la fois a^ = b ci à^ znb \ d'où a"* = a^ et par suite miiiv^ ce qui est absurde.

38 1. Actuellement, pour avoir la valeur récUe de x dans Téquation a'zn t, on commencera par substituer au lieu de x^ successivement les nombres o , 1 , 2 , 3 , 4 ^ ^^^' î ^^ ^î ^^^ deux nombres m et m+ 1 donnent a'^K^b et a^^*y>b^ on en conclura que a'^a!^ et a'<a'""*''5 d'où j:>m et x<m-f- i

(378) : par conséquent 2: iz: ?n -|- - , ^ étant nécessairement plus^

grand que 1 . Substituant cette valeur dans l'équation b =.a't on en déduira , en faisant b^aJ^zzLC^

mH —

fc ; a'^ = «^ ; c-rzaX et c^ = a.

Par hypothèse,' a'" >< b ; donc le quotient c de £ divisé par a^ est plus gr^ind que Punité. Ainsi cJ^nza est une équaÛon pareille à celle qui contient x ^ on trouvera donc^ précisément- . comme on a trouvé x\ et ainsi de suite. Pai* ce procédé, on aura la suite de valeurs :

x = m + i, j- = ii + ^, z=p+^, i; = 9+^, etc.

Si Ton arrête cette suite de valeurs kuzurj^u sera trop petit \

donc - sera trop grand, ainsi que v\ - -sera donc trop petit, de

même que z ^ - sera donc trop grand , ainsi que^ ; - sera donc

trop petit, de même que la valeur x* qui en résultera pour x. Mais si Ton arrête la suite de valeurs à / =i 5, on aura / trop

petit, - trop grand, u trop grand, - trop petit, v trop petit,

- trop grand, z trop grand , - trop petit, j- trop petit, - trop

grand , ainsi que la valeur x" qui' en résultera pour x. Ainsi la valeur de x sera toujours comprise entre deux valeurs consécutives x' et x"; elle difTcrcra donc moins de Tune de ces valeurs, que celles-ci ne dificrent entre elles : par conséquent, on pouira toujours connaître le degré d^approximation obtenu.

Nota. En continuant plus loin le procédé, ob trouve des valeurs de plus eu plus approche'es de la véritable; car si Ton remplace dausx, chaque inconnue auxiliaire par Vexprcssion de sa valeur, on aura pour x, cette fraction continue

x = m, «,;?, ^, r, *, etc.

dans laquelle on sait que les rcduiies successives approchent de plus en plus de la vraie Valeur de x, et que Terreur commise en prenant une réduite pour cette valeur, est toujours moindre que Tunité avisée par le carré du dénominateur de cette même réduite. (Voyez PArithmétique.)

382. Cherchons maintenant lés conditions nécessaires pour que X soit commcnsurable dans Péquation a'z= &, 0 et 5 étant

deux nombres entiers positifs. Supposons x z= -- , m et r étant

entiers \ alors il viendra a'' ziz b ci a^ zn h'' . Soit p un des facteurs premiers de a ; en divisant les deux mend>res de cP^zizV par /7, le premier quotient sera uq nombre entier ; le second en sera donc un aussi \ ce qui exige que p divise b \ car si p ne divisait pas &, p serait premier avec cliacun des facteurs du produit b''\ donc il ne diviserait pas ce produit \ ce qui est ab-

surde : donc p divise h. On voit par là que a et & admettent précisément les mêmes facteurs premiers.

Soient petqces facteurs ; on aura donc a = p'^q'^ et bzzz f^q^'-i d^où en substituant dans Téquation a"* =: V^ il vient

Si Ton pouvait avoir mn'^ru^ ou mn'=zru'\-t^ en divisant les deux membres par p*"", le premier quotient serait un nombre entier, tandis que le second , qui se réduit à çf^ * /?', serait un nombre fractionnaire , puisque les deux nombres (f^ et p^ sont premiers entre eux : donc les deux quotiens ne seraient pas égaux ; ce qui est absurde. Donc mn ne saurait être plus grand que ru. On verrait de même que mn ne saurait être plus petit Cette que ru : donc mnzuru. On aura pareillement mv^zrz, équation et la précédente donnent

On voit donc que si x est conuncnsurable dans Téquation û'=: ^, 1° a e£ b renfermeront précisément les mêmes facteurs premiers; a* les rapports des exposons des facteur s premiers de b aux exposons des mêmes facteurs premiers dans a , se^ ront égaux^ et x vaudra Vun de ces rapports.

Si ces deux conditions ne sont pas satisfaites , x sera incom- ' meiisurable ; car si j: avait alors une valeur rationnelle) on vient de voir que les deux conditions dont il s^agit seraient satisfaites.

383. Toutes les fois que les facteurs premiers de a se trou" vent ou premier degré ^ dans a'=b, les valeurs rationnelles de X sont des nombres entiers ; car ayant alors /t=i et vz^i ,

il vient x=: — = ii = z, et b=zp"q^=z(pqy*=za'*.'

Ainsi, à cause de lo = 2.5, les valeurs commensurables de X, dans 10^= ^, sont des nombres entiers, qui rendent b une puissance parfaite de lo ; et x n^est rationnel que dans ce cas.

384* Qu^on ait par exemple, à résoudre Pcquation 10^=2. On voit d^abord que x est incommcnsiu'abic, et que les suppositions de x=zo et X = 1 , donnent deux résultats , Tun plus petit et Tautre plus grand que 2 ; de sorte que x est compris

entre o et 1 , et qu^on a j: = - , u étant plus grand ^uc i . Sub-

stîtuant cette valeur, il vient i'o^= 2 \ d'où 10 = 2". Il est facile de voir que les hypothèses m = 3 et m = 4 1 donnent 2' <^ lO/et tx*> 10 ; donc il en résulte 2**>a et ^"-^a^, ou w^ 3

et u <^4 (^7^)* P^ conséquent, u = 3'-{- — Substituant cette valeur, on aura

lo:^ j "= a* X a"= 8 X a**; d'où -f- = a" et (i)^= a.

On trouve aisément que v est comprb enti'c 3 et 4 7 et que

par conséquent v =1 3 + — On a donc

'=ar'=w(-4)^'T3=a)'"(T3x=-4-

Apres un petit nombre d'essais, on trouve que jr'=. 9 ^ — On

pourrait continuer plus loin les calculs ; mais en s'arretant k y = 9 et remontant aux valeurs de v, r<, x^ on aura successivement i, = 3 + i = f, « = 3 + i = !S et x = |? = o,3oi07.

En continuant suilisamment les calculs, on aurait obtenu, à moins d^un di!L-millionième près, j:^zo,3oio3oo \ d'où il suit qu'on a , d -mie manière très-approchée ,

En apph'quant la méthode précédente , on verra que l'équation 10^=3, donne a:=o,477i ^ moins d'un millième près, et que l'équation 5'=| fournit xzz: — o,a5, à moins d'un centième près.

385. Lorsque a et & peuvent être négatifs. In résolution de Téquation £2*=:& se fait encore d'après la niélliode précédente, poiu-vu qu'on ait égard aux signes qu^il faut donner aux puissances et aux racines (291 et 3oo). Par exemple, si Ton a les équations

on trouvera xzz. — |, j-zz f^, 2 zz ^ et m imaginaire.

386. Ijorsqu'on peut décomposer en facteurs les nombres ou les deux membres de Téquation exponentielle, sa résolution devient beaucoup plus facile. Qu'on ait, par exemple, Téquation