4.3-^=— 12 et

On ne sait encore résoudre que par tâtonnemens les équations de l'une des formes ax^b'^zizc et px^'=zq.

Généralement, les équations exponentielles que l'on peut ramener à la forme a'=: b^ sont les seules que l'on sache résoudre directement. Telles seraient, par exemple, toutes les équations analogues aux cinq que voici :

a'^=b, a'''=b et a'^' = pb'^.

Des progressions par différence.

388. On appelle progression par différence^ ou progression arithmétique^ une suite de nombres dont chacun surpasse celui qui le précède immédiatement, ou en est surpassé, de la même

quantité, appelée raison de la progression. Ainsi la soite de nombres

4) 7i lo, i3, »6, ig, 22, 25, 28, 3i, 34i etc.,

est une progression par différence ; car diaque nombre surpasse celui qui le précède immédiatement de la même différence 3 , qui est la raison. On indique cette progression en écrivant

-f-4'7'io*i3«i6*i9«22«25- etc.,

et en énonçant, 4 est à 7 comme 7 estfi lo, comme 10 est à i3, etc. Mais cette indication est fort peu utile.

Les nombres qui entrent dans la progression, en sont les termes ^ et cette progression est croissante ou décroissante^ suivant que ses termes vont en augmentant ou en diminuant. .

389. Cherchons la règle pour calculer un terme quelconque d^unc progression par différence , sans passer par tous les termes intermédiaires. Soit a le premier terme, r la raison et t le n** terme de la progression proposée. Si cette progression est crois- ; santé , chaque terme surpassera celui qui le précède immédiatement de la raison r ; donc chaque trrme sera égal au précédent augmenté de r. Ainsi le premier terme étant a , le second sera a + r, le 3* a + 2r, le 4" a + 3r, le 5* fl+4r, le 6' a+5r, et en général, le nième terme t sera

Si la progrcfssion était décroissante, la raison devrait être retranchée de chaque terme pour avoir le suivant ; les termes successifs seraient donc a, a — r, a*— 2r, a — 3r, a — ^r^ etc., et le n ième terme t deviendrait

tz=a — (n — i)r.

Cette formule et la précédente font voir , qn^u/t terme queh conque d'une progression par différence est égal au premier^ plus ou moins autant de fois la raison quiljr a de termes avant celui que Von cherche , suivant que la progression est croissante ou décroissante.

D'^après cela , le douzième terme de la progression croissante 5, 9, i3, 17, ..., est 5+(i2 — i)4 ou 49. Le onzième terme de la progression décroissante 100, 97, 94^ ... , est 100 — (11 — 1)3 ou 70. Cest ce qu^on vérifie aisément en formant les termes successifs.

390. Cherchons maintenant la règle pour calculer sur-lechamp la somme des tenues d^une progression arithmétique. Soit a le premier terme , i le dernier, r la raison , n le nombre de terme^ et S leur somme \ si la progression est croissante , les termes successifs seront a^ a + r^ a -f" ^''1 ^ ~{~ ^^% ^ ~l~ ^t a -{- 5r, •••1 < (*) ) on aura donc

S = tf + (tf + r) + (tf + 2r) + (tf + 3r)+ ... + /.

Prenant la progression dans Tordre inverse, elle sera décroissante et les termes successifs seront f , i — r, t — 2r, t — 3r, t — 4^*1 ' — ^''1 '•• 1 ^ ) ^^ viendra alors

Ajoutant cette égalité à la précédente , et réduisant les r dans la sompae des termes qui se correspondent, on aura a-\-i pour chaque somme partielle ; et comme il y a n de ces sommes partielles, c^est-à-dire autant que de termes dans la progression , il en résulte que leur somme aS vaut n fois Pune \ on a donc

aS = n(a + Oî d'où S = iii(a + 0- On obtiendrait la même expression, si la progression était d'abord^décroiss^te \ et il en résulte, que la somme de tous les termes iTune progression arithme'tique est égale à la somme des termes extrêmes multipliée par la moitié du nombre de termes.

Par exemple, le i5' terme de la progression 860, 85o, 840, ..., étant 860 — (i5— >i)io ou 720, la somme des i5 premiers termes sera ^ (860 + 720) ou 1 1700 ;

comme on pourrait d'ailleurs le vérifier, en formant les 1 5 premiers termes et en les additionnant.