De même, à Paide de la règle précédente, on trouve

1 +2 + 3 + 4+. .. + n = iii(n + i),

1 +3 + 5 + 7 H |-(2ii — 0 = n%

2 + 4 + 6 + 8-1 h2fe = n(ii+i).

La première de ces valeurs est la somme des n premiers nom-

(*) Les trois poials repréientent toujours la suite des termes qui ne sont pas écrits. Ainsi dans la série 1 , a, 3, 4S "«i ^^ 1 1^ ^'^'i* points signifient 5, 6, 7, 8,* 9, lo. Ninis avons déjà fiût usage de cette notation diois ce qui précède (7a et 394 )•

( «74 ) bres entiers , la seconde celle des n premiers' nombres impairs , et la troisième celle des n premiers nombres pairs.

Sga. Les équations £=:a + (n — i)r et S = în(a + /) serviront à calculer deux des cinq iiombres qui les composent, dès que les trois autres seront connus ; et il en résulte dix problèmes généraux, dans lesquels il faut trouver, i*' f et S ^ s** <z et S ; 3' r et S 5 4^* r et f ; 5" tf et £ 5 6' r et n^ 7** n et S ; 8** fl cl r^ 9* a et n ; 10** n et r. Les deux derniers seuls conduiseut à des équations du second degré. Voici quelques applications.

SgS. Insérer six mojrcns arithmétiques entre 3 et 3i, c'^cst-àdire, placer six nombres entre 3 et 3 1 , de manière que les huit termes résullans forment une progression par difTérence. Pour cela, si Ton prend la formule /=;a + (n — i)r, dans laquelle fl = 3 , tz=zZi et H = 8 , on aura 3 1 = 3 + ^r ; d'où r =■ 4. La progression cherchée est donc 3, 7, 11, i5, 19, 23, 27, 3i.

' Et si entre les termes consécutif de cette progression , on iùsère trois moyens arithmétiques , la raison de chacune des progressions partielles sera i \ donc toutes ces progressions partielles n'^en font qu'une , qui est

3,4, 5, G, 7,8, g, 10, 11, 12, i3, i4i i5, 16, 17, 18, 19, ao, ai, aa, a3, etc.

En général , si entre les termes consécutifs d'une progression par différence y on insère le même nombre de moyens arithmétiques^ ces termes et les moyens réunis ^formeront une nouvelle progression par différence.

Il n^est pas difficile de démontrer que dans toute progression arithmétique, la somme des deux termes également éloignés des extrêmes , est égale à la sommé de ces extrêmes. Cela résulte immédiatement de la formule pour calculer le n"** terme.

394. Trouver le nombre x des années qui doivent encore s'écouler pour qu^un fermier ait retiré '^ZSo francs d'une métairie qui lui rapporte 1 00 fr. la première année ^ et dont le rapport de chaque année augmente de 1 ofr. Vannée suivante.

Puisque le rapport de chaque année augmente de 1 o fr. Tannée suivante , ce rapport étant 1 00 fr. la première année , sera 1 10 fr. la seconde, 120 fr. la troisième, i3o fr. la quatrième, et ainsi de suite. Par conséquent le rapport pendant les x années cherchées , sera la somme des x premiers tenues de la progression aritlunélique croissante 100, 110, 120, i3o, i4o, .... Mais

ce rapport est aussi ^SSo; ainsi, dans cette progression, le premier terme a =: 1 00 , la raison r = i o , le nombre de termes 11= X et la somme des termes S = 735o. On a par conséquent

£zi:ioo + (j: — 1)10 et 735orz^a;(ioo + /).

Résolvant ces équations, on trouve '2*1=30 et /zzSgo, xi= — 49 ^^ ^ ^^ — 4^^* ^^^ valeurs positives résolvent le problème proposé. Quant aux valeurs négatives , pour avoir le problème qu^elles résolvent, il faut changer x et t en — x ei-^t dans les équations proposées ; ce qui donnera

/=ii(j:-(- 1) 10*— lôo et 735o = Jx(£ — 100).

Ces équations n^appartiennent pas à une progression arithmétique ; mais en les résolvant, on trouve xzn /^g et / = 400-, xzz. — 3o et tzn — Sgo.

SgS. Voici quelques problèmes , faciles à résoudre :

Combien on propriétaire doit-il être d^années pour que renlretien d^une vigne, qu^il vient de planter, lui ait coÀté 3o louis? On sait que les frais de cbacpie année seront moindres d^un louis et que ceux de U première montent à 8 louis. ( R. 5 ans ou 1 à ans.) 1

Quelle est la progression arithmétique dont 9, 14 1 et 900 sont les sommes respectives des deux premiers termes , des deux derniers et de

tous les termes ? ( R. a = r =r 3 , f = 7a et n = !i4')

Deux voyageurs partent du même endroit, Tuu 5 jours avant Pautre, et vont dans le même sens. Le premier fait une lieue le premier jour et chaque jour une lieue de plus que la vciUe. Combien le second , qui j&it la lieues tous les jours, sera-t-il de temps pour atteindre le premier? (R. i5 ou 8 jours.)

Si le 1*' partait 6 jours avant Tautre, le problème serait imaginaire.

Un jardinier doit planter une rangée de i5o arbres dont chacun sera éloigné de son voisin de 4 mètres ^ combien fera-t-il de chemin pour cela et combien reccvra-t-il f On sait qu'ail doit mettre au pied de chaque arbre une brouettée de terreau, prise sur le prolongement de la Ifgile des arbres et à 30 mètres du premier, et que chaque brouettée lui est payée a centimes de plus que la précédente , la première coûtant 4 cen^ times. (R. n fera 954^0 mètres, et recevra 22gSo centimes.)

Des progressions par quotient.

396. On appelle progression par quotient^ ou progression géométrique^ une suite de nombres dont cbacim e^t égal à celui qui le précède immédiatement'multiplié par un nombre constant, nommé raison de la progression. Ainsi la suite de nombres

^41 1^1 36, 108, 3a4i 97^1 ^916, etc., est une progression par quotient, dont 3 est la raison. On indique quelquefois cette progression en écrivant 774I i^I^G* 108 * 3^4 * 971, etc., et en énonçant 4 est à 12;, comme la est à 36, comme 36 est à 108, etc. Mais cette indication est inutile.

Les nombres qui composent la progression géométrique en sont les termes \ et cette progression est croissante ou décroissanté ^ suivant que ses termes vont en augmentant on en diminuant.

397. Soit r la raison de la progression proposée; chaque terme sera donc égal au précédent multiplié par r (396). Aiiisî le 1" terme étant û , le a* sera or \ le 3* or*; le 4* (ir^\ le 5* ar\ le 6* ûr^5 et en général , le n"' terme t sera / = ar'^^

Donc un terme quelconque d'une progression par quotient est égal au premier multiplié par une puissance de la raison^ marquée par le nombre de termes qui précèdent celui que Von cherche. Au moyen de ce prindpe, si Ton a la progression géométrique croissante a, 6, 18, 54, ..., le 10* terme sera

2X3"»-' ou 39366, comme on peut le vérifier, en formant les termes successifs.

398. Soit S la somme des n premiers termes d^une progression par quotient \ nous venons de voir que ces n termes sont a, or, tfr', or*, ..., ar'^"^ \ ainsi on a

S = tf + tfr + or* -|- tfr* + ... -J^ ^ïr^' ; d'où rS=z:(2r+^w^ + ^ + tfr*+...+<ïr^.

Retranchant la première de ces égalités de la seconde, et observant que tous les termes du nouveau second membre se détruisent deux à deux, excepté le premier — a et le dernier ar^<^ on aura

rS — S = — tf + ûr", ou (r — i)S = flr'* — a.

Le n*' terme t:=zar^''^\ d'où /t=ar^et (r— i)S=r£ — a. Il vient donc, en divisant par r — 1,

Ainsi on calculera la somme des termes d^une progression géométrique^ en multipliant le dernier terme par la raison^

( »77 ) ^ en soustrayant du produit le premier terme et en divisant la reste par la raison moins Vunite\

Cette règle est encore applicable lorsque la progression çst décroissante. Hais dans ce cas, pour faciliter les calculs, il faut d^ abord former le dernier terme de la progression^ etja pren^ dre ensuite à rebours. Par exemple, sïl est question de trouver la sonpne des neuf premiers termes de la progression 3187, 729, ^43 , ... , dans laquelle la raison r est f ^ on cherchera d^abord le neuvième terme, qui sera 2187 (î)^' ou i ^ et alors, la progression prise à rebours sera 1, ..., 243, 729, 2187. ^^nc, puisse le premier terme de cette progression croissante est a= 1, la raison r= 3 et le dernier terme t =z 2187, il s^ensuit que la somme S de to\{s ses termes est

comme il est aisé de le vérifier directement.

899. On peut déterminer les formules pour calculer aisément les valeurs dç S', S", S"', dans les trois égalités :

S' = tf + 2a' + 3a* + 4^*4-5fl^H ^^a^

S"=a + 3fl' + 5a^+ 7a' H h {in—i)a*^''\

S"'= 2a*+ 4a^+ 6a^+ 8a*-f h %na^.

U suffit, pour cela, de retrancher la première de son produit par^, la seconde de son produit par a*, ainsi que la troisième; puis de remplacer chaque progression géométrique résultante par sa valeur (398). Les formules qui donnent S', S", S"\ deviennent I, dès que a= 1 ; mais alors elles se réduisent respectivement aux valeurs du n*^ 391 . Et si r=: 1 , au n^ S98, on aura S = an , bien que la formule devienne d'^abord S = §/

rt ^^ u 400. Les deux équations £ = flr"^' et S =: , serviront

à calculer deux des cinq nombres qui les composent , dès que les trois autres seront donnés ; et il en résulte dix problèmes généraux. Mais ceux où n est inconnu , ne peuvent être résolus , diaprés ce qui précède. Voici quelques applications.

4oi. Insérer cinq moyens proportionnels entre 9 et 656 1, c^est-a-dire , placer cinq nond>res entre 9 et 656 1 , de manière que Tensemble des sept nombres résultans forme une progression par quotient. Pour cela, il faut employer la formule t =

jr**"', dans laquelle ^ = 9 , / = 656 1 et w =r ^ • alors on aura 656 1 = 9«r ; d'où r = 729 =3 et r = 3. Ainsi la progression demandée est 9, 37, 81^ 243, 729, 2i87<, 656i.

Il est facile de démontrer, 1^ que si entre les termes consécutifs d^une progression géomctriqi^c , on insère le même nombre de moyens proportionnels, ces termes et les moyens réunis, formeront une progression par quotient ; 2* cpie dans toute progression géométrique, le produit de deux termes également éloignés des extrêmes , est égal au produit de ces extrêmes. Et si p désfgne le produit de tous Iqs termes, a étant le premier et t le n"% on aura p^=(at)'*.

4o2. On demande la somme des u premier f termes de la

^^^"^ 6, 66, 666, 6666, 66666, 666666, etc.

Il est visible que le 6"** terme de cette série est la même cbose que 6(111111), ou que 6(1 + 10 -f lo'-}- ^0'+ Jo^+ ïo^)n ou enfin que §(10* — 1). D'où l'on peut conclure que la valeur du v"" terme est ^Cio'^-^i). Prenant successivement, dans celte valeur, v= 1, 2, 3, 4i ••.! n , et ajoutant entre eux les m résultats, il viendra, pour la somme x chercliéc,

x=:§(io+io*+i.o'+io^-| j-io»-~«) = |Ç(io"— 1)— fw.

On trouverait, dHmc manière analogue, la somme des n premiers termes de chacune des séries

En général, si a dcfsignc un nombre de m cliiflVcs, et qn^on forme une sërie de termes en écrivant le nombre a une fois, puis deiix fois de suite, troit fois de suite, quatre fois de suite, elc*, la somme x des n premiers termes de la série résultante sera

rio'"(io'"''— i) T

4o3, On partage une somme d^ argent à n pauvres, de ma-nière que chacun reçoit h francs plus le a™* de ce qu*a laissé le précédent, et le dernier laisse .un reste égal à c/r. Quelle somme x a-t^on partagée ?

Pour faciliter la solution de ce problème , soit R ce qui reste ^vant que le v"' pauvre reçoive sa part. On donne à ce pauvre b francs plus le û"* du reste R précédent ; on lui donne donc

b-\ — •, il reste par conséquent R — b , ou R(i )

— fc, ou encore Rm — 6, en faisant 1 z=m.

L''expression Km — b montre que , pour avoir ce qui reste après quun pauvre a eu sa part , il faut multiplier par m ce qui restait au par avant et retrancher h du produit.

Diaprés cela , comme x désigne ce qui restait avant que ïe premier pauvre reçût sa part, il sVmuit qu'ion a, pour les restes successifs ; jj^j^ j^ •

m^x — bm — b

mx — fcm* — bm — b

m^x — bm — bm^ — bm — b etc

Sans qu'il soit besoin de continuer ces résultats , on voit que le reste c après que le fi"** pauvre a eu sa part, est exprimé pat

mV — bm^-' — hm"^ bm^-^bm — b -,

et qu'on a conséqucnimenl

d^oii m"x — b( I zz: c.

Observant que mm m , d'où" m — 1 = , il

'ta a

viendra, toute nnluction faite,

x = {nb + r) (^^^y — ab.

Si rt = 2, /; = 1 o, c :=: 4 et fi = 5, on aura ar= 748 francs , comme il est aisé d'en faire la preuve. On peut clianger a ert — a on b en — bl

404. A donne le c"*' de ses jetons à B et reçoit le c"' de ceux de ce dernier. Apres avoir répété (n— -i) autres fois cette opération , A er B ont Vun a et Vautre b jetons. Quels nombres \ et j de jetons avaient-ils d'abord?

A cause de .r -j- 7^ z:za~\' b ou de j' ziz a '^' b — x, si l'on opctc comme dans le problème précédent, on trouvera

Si tf=i2, i^rmo, c=3, et n=a, on aura jrznao et j-ziia.

405. On trouve, dans les Mélanges d^algébre, pages 69 et suivante» ^ an grand nombre de problèmes résolubles par les progressions. En voici encore quelques autres , faciles à traiter, diaprés ce qui précède.

Un homme gagne diaque annëe le a™* de ce qu^îl possède pendant cette innëe ^ et quoiqu**!! préléye b francs tous les ans sur son bien , pour sa dëp^pse, il poss^e apr^ n années, c fois ce qu^il ayaiC d^abord.

Quelle somme x avait-il r l R. x = — -j^ et m = i + - I •

A donne à B , e fois autant de jetons que B en a , et 6 en rend à A , e fois autant que A en a gardé; cette double opération étant répétée (n— i ) jiutres fois, A et B ont alors Pun a et Tautre & jetods. Quels nombre^ x

et r de letons avaient-u» d'abord fin. x =: ■ , , ^, H — V-^ — ^i

Les biens d'aune personne augmentent tous les ans de leur c™* partie, et elle dépense ai francs sur ces mêmes biens, au bout de chaque année ; après n années, elle possède B fr« Quelle somme x avaitr-elle d'abord?

Si Ton multiplie par n successivement la racine r*"* de n , la racine r™* du produit, la racine r™* du second produit, la racine r"* du troisième , et ainsi de suite ; quelle sera la racine r"* du v™« produit ?

Quelle est la progression géométrique dont 2049 est la somme de^ termes extrêmes, ao48 leur produit, et l^ogS la somme de tous les ter* mes? (R. 1, a, 4» 8, 16, Sa, ..., ao48.)

Quelle est la somme x des n premiers termes d^une série, dont chaque terme vaut a fois la somme de tous ceux qui le précèdent , le premier éUm 1? [R. x=5(i + a)'»-».]

4o6. Proposons^nous maintenant de tromper la somme S de tous les termes d^une progression géométrique , lorsque cette progression décroit sans jamais s^ arrêter.

Dans ce cas, il estxlair que la raison r <^ 1 et que le nombre n de termes est infini. LMnfinième terme est donc ar*'\ et il

vient Sz=.a + ar + ar' + ar^'\ \-ar'^\

Spostrajant de cette égalité son produit par r, et réduisant, on aura S — rS=:a — ûr*.

Op, r< 1 î donc r* est infiniment petit ou nul (296), aussi » bien <jue ar"^ \ il vient donc S — rS =z a , ou (i — r) S = a 5

Sz=— -.

Ainsi on aura la somme de tous les termes d^une progression géométrique décroissante et continuée à Pinfini , en divisant le premier terme par Timité moins la raison. Cettj règle donne

i + f + f +î? + etc., à rinfini, =4.:(i-.^) = a.

(Test ce qu^on vérifie en observant que s valent a tiers -}* 4 tiers, que 4 tiers = 4 neuvièmes -f* 8 ^neuvièmes, 8 neuvièmes =1 8 vingt-septièmes -(-16 vingt-septièmes, 16 vingt-septièmes = 16 quatre-vingt-unièmes -}- 3a quatre-vingt-unièmes, ec ainsi de suite , à Pinfini.

407. Les raisonncmens qui ont fourni la règle précédente , ne sopposent pas que r soit positif^ cette règle s^applique donc encore lorsque la raison est négative , mais <^ 1 . Ainsi on aura

î-i-Hî-TÎî+^-à-H ««Cm à l'infini, =f:(i+0 = f

C^est ce dont on fait la preuve en réduisant les termes de a en a , ou bien en convertissant \ en parties de a en 2 fois plus petites , et en prenant tous les quotiens en dehors^

Réduisant les fractions de 3 en 3 , on obtiendra

ii + 4; + 4î + 4* + r» "*• 46 + ***=* =T» ■*" F + *'"• = J'

On vérifie le premier résultat en réduisant -f en parties de 4 en 4 fois plus petites et en prenant tous les quotiens en dedans. Réduisant de même -^ en parties de 5 en 5 fois moindres, et ne prenant en dehors que les quotiens a*, 5', 8*, 1 1-*, etc., on retrouvera la seconde série précédente.

408. Si Ton divise a par 1 — r ou par a" — r, il viendra — ^ = a + dr+iir* + ûr' + ^'^+^'c., à Tinfini ..; (i)

Mais cette identité n'^est exacte qu^en supposant le second

or'*

membre complété par un terme de la forme • En eâèt , si

Ton négligeait ce terme, lorsque r=i a , on aurait

— â = a4-2a + 4^4'8a4- 16a + etc., à Tinfini \ ce qui est évidenmient impossible.

Lorsque r < * , le terme complémentaire — -- diminue à

mesure que n augmente et s^anéantit à Tinfini (396) *, alors Tégalité (1) est rigoureusement exacte, et conduit à la règle du ii*4o6.

( tSa ) ^

' 409* ^ ^' ^^^ ^® s^assur^r, par des multiplications successives, (pie ^[uand r <^ i , on a

(i + r) (1 + r») (1 -hr^) (i + r») (i +r'6) etc., à Pinfini, =:

i-f-r4-''* + ''^ + '^ + '^+'*+ €tc., à Pinfini , =: ■ .

On voit donc qaof le produit d^nne infinité de acteurs, tous plus grands/ que Punitc, n^est pas toujours infini.

Divisant Punité par le produit précédent et par sa valeur, on verra £icilfement que le produit d^une infinité de acteurs, tous plus petits que Tunité, n^est pas toujours infiniment petit.

Ainsi, bien qu^il paraisse évident que s^il y a dans le produit, une infinité de facteurs, tous plus grands, ou tous plus petits que Punité, ce produit est infiniment grand ou infiniment petit, on voit que cette pro^ position pourrait être fausse, et qu^eHe a besoin d^étrc démontrée, dans tous les cas.

4 10. Voici deux prioblémes que Pon peut résoudre par les progressions à Pinfini , ou plutôt par les séries que fournit la division :

Trouver ce que vaut en argent comptant, un bien-fonds dont le revenu annuel est a florins. Un florin en produit r d''intérét par an , et Pou doit

avoir égard aux intérêts des intérêts. ( R. — florins.)

Un ouvrier, qui travaille toujours également vite, aurait mis a heures k sortir Peau b contenue d^abord dans un bassin , et a été c heures pour sortir Peau h et ceUe qui est arrivée uniformément dans le bassin pendant ce temps. On demande combien il arrive dVau dans le bassin pendant

que Pouvrier en ôte un litron ? ( R. 1 — - ; valeur négative , lorsque

Des premières puissances des nombres naturels.

4i I. Pour abréger^ nous désignerons par S^ la somme des n premiers nombres entiers, et par S^, Sj, S,, ..., celles de leurt carres, de leurs cubes, de leurs puissances 4"*% ^Ic. S^, S^, S3, S,, ..., sVnoncent en disant ; S premier, S deuxième, S iroisième, S quatrième, etc.

Cela pose, on a déjà vu (Bgi) que S^ r= à w ( w -f" *)• ^^ ^'* maintenant que S^ =z ^n (« -f- 1 ) (aw + 1 ).

En eflet, pour vérifier cette expression, prenons la valeiupareille k(v-|-i)(^*'-|-i); changeons-y v en v — 1, ce qui donnera {v — \^jv(jxy — i), puis retrandions ce résultat de IVxprcsftion qui Pa donné \ nous aurons

Or, diaprés la multiplication des poljYioincs, on a

Bctranchant le second résultat du premier, on verra que le

reste (i) se réduit à 6v*^ et que pai* suite, on a, pour toutes les'

valeurs de v^,

6i'' = *'(f»+ i)(aK+ i) — (v — i)»'(aK — i). Faisant successivement k=i:i, 2, 3, 4i ""i ^^ ^^ ^^^ 6.i*=z 1.2.3