iz:5.6.n
6/i* = fi(rt4- i)(2rt+ 1) — (n — i)fi(2n — 1).
Ajoutant ces n égalités entre elles, et observant que tous les termes des seconds membres se détruisent deux à deux , à Texception de n (;i -f- *) C^'* + 0 ^ ** viendra
d'où Ton tire S^ = gfi(ii-f-i)(2n + i).
4 12. Par une métliode tout-à-fait semblable à la précédente, ou fera voir que
S^ = i-n\n+iy
S, = 5^n(fi+ 0(2114. i){3n[;i'(n+i>-i] + ij.
Ces formules font parties des séries numériques que nous avons considérées dans les Mélanges d^algèbre, pages 84 et suivantes. '
4i3. Le principal usage des premières puissances dos nombres naturels , est de sommer toute série dont le terme gênerai en y est une fouction entière et rationnelle de v. Par exemple, pour avoir la somme de la série dont le tcnne gént'ral est ît^C^^ + i), on développera ce terme, ce qui donnera -^i'(w-}- 0 ^^ î^'+ »*'• Prenant successivement, dans cette identité, k=:i , 2, 3, 4i «"i ''i
et ajoutant entre eUes les n égalités résultantes, on aura
i + 3+6 + io + i5 + -.+i«(n+i) = iS.+ iS..
Remplaçant S, et S, par letirs valeurs, et décomposadit en facteurs, U viendra . ;
iS-3 + 6+io + i5H |-^(« + i)=:^(„+,)(„ + 2).
Le premier membre de cette formule est la série des n premiers nombres triangulaires , et le second membre , la somme de ces n nombres.
4i4* Opérant dWe manière absolument semblable sur les
MB ^
termes généraux ^(v + i)(v + a) et -T{v-\-i)(y-\-i)Çy-{-3), on trouvera les deux formules :
La première de ces formules est la somme des n premiers nombres j^ramidaux^ et la seconde celle des n premiers, nomhres figurés du cinquième ordre. Voici quelques applications.
4i5. Deux courriers partent du même endroit^ au même instant et vont dans le même sens ; le premier fait ii lieues \ par jour ^ et Vautre n^ajrant parcouru qu'une lieue le premier jour^ fait chaque jour de plus que la veille , un nombre de lieues égal au rang de ce jour. Combien serait-il de jours pour atteindre le premier courrier ?
Soit n lé nombre de jours cherché, x^ ei x^,^ les nombres respectifs de lieues parcourues le v"** et le (v 4" 0"* j^'"'' P^ le second courrier*, on aura, diaprés Ténoncc,
^v+i = ^i/ + ^ + M d'où x^^, — x^=:i;+i.
Faisant successivement i; = i , 2, 3, 4<) •••l '^ — ^i ^^ ajoutant entre elles les égalités résultantes, réduisant dans le premier membre , observant que x", = i , et transposant i , on aura
ar^=:i+a + 3 + 4H \-m = im(m+ i).
Prenant successivement m=:i, 2, 3, 4i «"i ^i et ajoutant
> les n égalités, le nouveau premier membre sera le nombre total
X de lieues parcourues en n jours par le second courrier, et le
nouveau second membre sera la somme des n premiers nombres triangulaires ; on aura donc (4^^)
Le premier courrier faisant 2a lieues ? ou Ç lieues par jour, en n jours il fera ^n. Or, pour que le second courrier atteigne -le premier, il faut qu^il fasse le même chemin que ce premier \ il &ut donc qu^on ait
gii(n-|- i)(n+a) = 45|i5 d'où n=io et n = — 13.
Ainsi le second courrier atteindra le premier après 10 jours de mai^che. '
416. Un particulier achète tous les ans un pigeon /émette qui lui donne un pigeon femelle chaque année suivante; et comme chaque pigeon femelle né une année produit chaque année qui suit trois pigeons mâles , on demande combien le particulier aura de pigeons en tout au bout de n années ?
Soient x^ et x^ . , les nombres respectif de pigeons femelles nés avant et après la v"' année, et j-^, Xv±,x ^^' nombres de pigeons mâles produits avant et après la même année. Puisque chaque pigeon acheté une année donne un pigeon femelle chaque année suivante , les v pigeons achetés au bout de la v** année , donneront v pigeons femelles pendant la (i; -|- 1 )'^' \ on a par conséquent /
^t;+, = ^t; + ^; d'où x^^^^x^ = v.
Posant successivement t;= i, a, 3, 4i ...1 n — 1 et ajoutant, puis observant que x, = o , car il n'est pas né de pigeons la première année , il viendra
D'un autre côté , comme chaque pigeon femelle né une année produit trois pigeons mâles chaque année suivante, il s'ensuit que les x^ pigeons femelles nés la 2;^* année , produiront Zx^ pigeons mâles pendant la (1; -)" i)*"* ; ainsi on a
jrvj^t=jrv + ^^v\ d'où j-^^,— ^^=|(i;-.i)i/.
Prenant vzzi, a, 3, 4^ •••) ^ — 1 ^^ ajoutant ,' observant que j^ zzLy^-zz. 6 , et que le second membre de l'égalité résultante est trois fois la somme des n -— a .premiers nombres triangulaires (4^3), on aura
On voit que le nombre x de pigeons que* le particulier possède au bout de n années , est a: = n + ^^ +^/i \ d'où , en substibiant et déduisant, •
417. QulA nombre x d'hommes y aura-t-il dans une société au bout de n années ? On sait que le fondateur enrôle chaque année un premier membre^ et que pendant chacune des années qui suivent celle de son enrôlement^ chaque premier membre en enrôle' 7, deuxièmes^ chaque deuxième y 3 troisièmes^ et cha^ que troisième^ 4 quatrièmes^ qui n'enrôlent personne.
U est d^abord clair que la société contiendra n premiers membres, au bout de n années. Or, soient x^^ jr^ et z^ les nombres respectifs de deuxièmes, troisièmes et quatrièmes membres contenus dans cette société au bout de v années, et x^ ^^ J'v+i 1 ^v+i ^®* nombres contenus après la (v -j«- 1)*'. Puisque chaque premier membre en enrôle a deuxièmes , les v premiers membres'de la 1;"* année, en enrôleront sv deuxièmes pendant la (v+i)""% et il vient
De même, on aura j-^^^ '=-Tv + ^^v^
et ^^. = ^^ + 4j-^.
Ces équations à indices étant résolues comme celles du problème précédent , ou d'après les méthodes exposées pages 97 et suivantes, des Mélanges d^algèbre , on en déduira
x^ = n{n—\), jr^ = n{n—\){n — i) et z^z=zn{n — i)(n — 2)(r — 3).
Substituant ces valeurs dans x = 1 + n -f- x„ -j-^'n *+" ^n ^^ réduisant, il viendra définitivement
41 8. On pent varier d^un ^and nombre de manières, l^à[lonco du problème que nous venons de résoudre. Par exemple, on peut supposer que le fondateur enrôle chaque année a membres qui , eux-mêmes , enrôlent chacun , pendant chacttne des années sui%fantesy a nonueattx membres^ enrôlant â leur tour chacun a membres , pendant chacune des années qui suivent celle de leur enrôlement ^ et ainsi de suite^ pour chaque membre enrobé. Dans ce cas, si Ton désigne par x^ et ^2/j.i 1^ nombres d^hommes contenus dans la société' après les années v™" et (t/-|-i)™', on aura jc^+i ^= (* + ^) ■''v V ^^^^ 1 ®^ observant que x^ = 1 -|- « , on
Si le fondateur et chiqae membre de la société devait enrôler chaque année un nombre d^hommca égal au rang de cette année, à partir dé Tépoque où la société a comnfencé ; au bout de n ^nnées, le nombre de membres serait 3. 3.4*5. 6*7 ••• (n-{- !}•
On peut encore supposer qiie le fondateur enrôle chaque année un nombre d'hommes égal au rang de cette année , et que chaque homme qu'il a enrôlé une année ^ enrôle à son tour^ un nombre d'hommes égal au rang de cette même année , pendant chacune des années suivantes. Alors au bout de n années, les hommes qui composent la société, sont aunombrede i + i„(„ + ,) |;„(„,) + 6].
Enfin on peut supposer que le fondateur enrôle chaque année un pre^ m^er membre et que les premiers membres en enrôlent des deuxièmes et ce^/f-ci d'antres , de manière que chaque premier ou deuxième membre enrôlé une année^ enrôle chaque année suivante un nombre de membres égal au rang de l'année de son enKlement, Dans ce cas, au bout de n années , le nombre total x de membres est
x=:i + in(ii+i)[/i(n-.3)+*6].
Des Logarithmes,
419* Dans réquation exponentielle b^zizn^ on sait toujours trouver pour x une valeur exacte ou aussi approchée qu^on le veut (38i), pourvu que 6 et n soient positifs et qu^on ait b ^ ou «^ 1 , jamais 6 =z 1 . Or, si on laisse toujours la même valeur à 6, et qu'ion donne à n successivement toutes les valeurs entières 1, 2, 3, 4i 5, etc., il en résultera autant de valeurs pour x, soit positives , soit négatives. Écrivant ensuite toutes les valeurs de n dans des colonnes , et à côté , les valeurs correspondantes de X, on formera des tables ou un système de logarithmes. La valeur de b^ diaprés laquelle on calcule toutes les valeurs de x^ est la base du système de logarithmes. Enfin, les exposans x, dont les valeurs dépendent de celles des nombres n, sont, pour celte raison , appelés les logarithmes de ces nombres n. Ainsi ,
4^0. Les logarithmes des nombres sont les exposans des puissances auxquelles il faut élever un nombre invariable b, pour obtenir successivement tous ces nombres. Le nombre in^ variable h est la base du système ou des tables de logaritlimes. Par exemple, dans b^zizn^ b est la base des tables et x le logarithme de n,
42 1 . Désormais nous désignerons logarithme de par la lettre initiale / ; et au lieu de a? =: logarithme de n ^ nous écrirons
x.rz: In. Pour indiquer le logarithme du résultat dWe ou de plusieurs opérations , on met ce résultat entre parenthèses , que Ton fait précéder de /. Ainsi l(a^^b) veut dire : logarithme de la différence a — b» Dans tout ce iqui va suivre , la base sera positive et >- 1 .
4^^* ^^'i^ ^out sjrstèmetîe logarithmes^ le logarithme de la base est V unités le logarithme de r unité est zéro^ et le logarithme de zéro est Finfini négatif. En effet , À cause de £» ]> i ,
qui donne t^ i ou è"' < i, on a (è*"')*:::© (296), ou />"•
= o. Et comme £»' = 6 et 6^ =z 1, il s^ensuit que 1 , o et — gd sont les exposans des puissances auxquelles il faut élever la base 6, pour avoir b^ 1 et o ^ donc 1^0 et *— oo sont les logarithmes de b^ i et o (4^o) ; c'est-à-dire qu'on a
i&=z: 1, Zi =e et Zo= — od.
Si b était >< ^i ^^ logarithme de o serait gd.
423. Le logarithme du produit de plusieurs nombres est égal à la somme des logarithmes de ces nombres; et récir proquement*
En effet, soient m, n, p, etc. plusieurs nombres quelconques^ leurs logarithmes sont désignés par /m, 2n, Ip^ etc. Or, ces logarithmes sont les exposans des puissances auxquelles il faut élever la base b pour avoir les nombres m^ n, p^ etc. (4^0) ; on a donc
b^'^^zim, b^''=n, b^P = p, etc.
Multipliant ces équations entre el^es et ayant égard à la règle des exposans (370), on obtiendra
l,lm^ln^lp—j^p^
Mais d'après la définition (4^0) l'exposant /m -|- /n -|- Ip de la puissance à laquelle il faut élever la base b pour avoir le nombre mnp^ est le logarithme de ce nombre \ par conséquent
l (mnp) = /m + Z'» + Ip* 424* Elevant les deux membres de l'équation b^'"z=:m\ à la puissance quelconque v, on aura (368) b^ =im^. Ainsi vlm est l'exposant de la puissance à laquelle il faut élever la base b pour avoir le nombre m^\ donc vlm est le logarithme de ce nombre (4^0)^ c'est-à-dire qu'on a l(Tn^):=Lvlm. D'où l'on voit que le logarithme d'une puissance quelconque d'un nomi^
• ( »89 ) Ire est égal au produit du logarithme de ce nombre multiplié par Texposant de la puissance»
4^5. Soit q le quotient de a par c \ on aura donc ^ =: - et
cqtzza. Prenant les logarithmes des deux membres , on aura
(4îi3) /c + Z^ = Zfl î d'où lq = la^lc et iQ^znla — lc.
Ainsi le logarithme d'un quotient est égal au logarithme du dividende moins le logarithme du diviseur,
436. Soit X la racine v^* de d; on aura x'^=a. Prenant les logarithmes de part et d^autre, il viendra (4^4) '^lxzz:la\ ^o\x
2!r:=— et l{]/a)z=. — Ainsi le logarithme dune racine quelconque d*un nombre est égal au quotient qu^on trouvelsn divisant le logarithme de ce nombre par V exposant de la racine •
4^7. Les quatre prindpes prëcëdens renferment tout le calcul .des logarithmes; ils ont lieu quelle que soit la base h. Mais les logarithmes dont on se sert ordinairement sont ceux dont la base est 10 ; on les nomme logarithmes ordinaires ^ et ils vont seuls nous occuper. Ainsi , le logarithme ordinaire dun nombre est . V exposant de la puissance à laquelle Ufaut élever la base 10 pour avoir ce nombre. De sorte que In étant le logarithme ordinaire du nombre n , on a 10^'^ = n.
428. On sait que io'*=i 1 suivi de n zéros^ donc n est le logarithme ordinaire de 1 suivi de n zéros. Les logarithmes ordinaires des nombres i, 10, 100, 1000, loooo, etc., sont donc o, 1, a, 3, 4<) etc. Quant aux logarithmes ordinaires des nombres compris* entre 1 et 10, entre 10 et ioo, entre 100 et 1000, etc., on peut lés trouver par la résolution des équations exponentielles. Par exemple, x désignant le logarithme ordinaire de a, on aura à résoudre Péquation 10^:1= a. Or, c^esi ce qu'on a déjà fait (384) ; et on a trouvé /a ou x = o,3oio3oo. Les logarithmes ordinaires des autres nombres premiers s'obtiennent d'une manière absolument semblable.
Cette méthode de calcul est fort pénible ; mais elle l'est encore moins que celle employée par les inventeurs des logarithmes. Aussi les tables furent-elles d'abord peu volumineuses. On a trouvé depuis , comme on le verra plus bas , des formules qui conduisent très-promptement aux logarithmes des nombres pre« miers. Quant aux logarithmes des nombres non-premiers on les
obtient par de simples additions^ car, par exemple, /(!2io) = Z(3.7.io) = /3 + /7 + ii/(i6oo)=/(ioô.a*)=a+.4fa,etc. Enfin, il suffit de placer dans les tables des logaritlimes des nombres entiers, puîsqu^avec ces logarithmes, on a facilement ceux des fractions (4^5)* *
429. Connaissant les logarithmes des nombres dans un système dont b est la base, il est facile dVn déduire les logarithmes des mêmes nombres dans un autre système dont c serait la base. En effet, soit n un nombre, x son logarithme. dans le système donne et jr son logarithme dans le système cherché ; on aura donc nzizb^ ci n = c^; d'*où c^zizb'. Prenant de part ^ct d'autre les logarithmes relatifs à la base b^ Ib sera 1 , et Ton aura
j'lc=:xz=zln, ou jrz=:-^=z In X--
Or, j- étant un nombre qui restera toujours le même , quel
que soi{ n , on voit qu^une première table étant déjà formée, si Ton veut en construire une nouvelle , on n^aura qu^à multiplier
les logaritlimes du premier système p^r la quantité constante -r- •
Cette (piantilé constante , qui sert à passer d\me table à une autre, s 'appelle module de la nouvelle table par rapport à Fan* cienne.
430. Soit la proportion géométrique â*2r**c*c2^onen déduit successivement adzizbc^ la -^ Id ziz Ib -{- le et Id :i=. Ib -^-Ic — la\ c'est-à-dire que dans toute proportion géométrique, le logaritlimc d'^un extrême est égal à la somme des logarithmes de deux moyens , moins le logarithme de Tautrc extrême.
43 1. Considérons la progression par quotient
a,aq, aq\ aq^, aq^, ... , aq^' ;
si Ton prend les logaritlimes de ses termes, ces logarithmes.formeront la progression par diflérence que voici :
7a, la + lq, la+^lq, la+ZIq, /a+4/</, ...^la+(n—i)Iq.
D*où Ton voit que quand des nombres sont en progression géométrique, leurs logarithmes sont en progression par di^érence.
Et de là résulte que les logaritlimes sont une suite de nombres en progression arithmétique, qui correspondent, terme à terme, à une autre suite de nombres en progression géométrique.
CTest là prcciscment la définition des logarithmes adoptée par leurs inventeurs', et qu^on retrouve encore dans quelques traités d^Aritlmiclique. Ainsi la définition des logaritluncs, diaprés les exposans, et la définition diaprés les progressions, rentrent Func dans Fautre et n^en font quWe.
De Vusage des tables ordinaires,
43^. L^usage des tables de logarithmes ordinaires suppose plusieurs principes. D^abord, soient m et p deux nombres et /i», Ip leurs logarithmes^ on aura donc b zz.m et b f =/?. Si my>p^ on aura aussi b^^b P^ et par suite /m> Ip (378). D*où il suit que plus un nombre est grande plus son loga^ riihme est grand ; et réciproquement.
433. Les logaritlimes ordinaires sont exprimés en décimales, et renferment une partie entière^ appelée caractéristique^ parce quVllc a toujours une unité de moins que le nombre n''a de diiffrus entiers ; ce qui permet de fixer ce nombre de chînVos , lorsque la caractéristique est donnée, et réciproquement. Par exemple, si la caractéristique a trois unités, le nombre aura quatre chiffres entiers.
En général , soit a un nombre de fi chiffres entiers ; ce nombre sera donc >• 1 suivi de (^n — 1) zéros ou > lo"""*, qui est le moindre nombre de n cliiffres, et a sera <[ 1 suivi de n zéros ou <[ 10", qui a n-J- 1 cliiffres entiers •, on aura donc/i^io'*^' et a<C >o''. Prenant les logarithmes de part et d'autre, il viendra la^n — 1 et /a <C n. Ainsi le logarithme du nombre a, composé de n chiffres entiers , est compris entre n — 1 et n ; ce logarithme n*a donc que n — 1 unités entières ; sa caractéristique est par conséquent n — 1 . Ce qu'ail fallait démontrer.
434. 11 est clair, d'après ce qui précède (4^3 et 4^8), qu'on a /(a.io)n: la + 1, l{a. 100) zr Ztf + ^i ^(<^' 1000) iz: la + 3 , et en général , Z (rt . 1 o'*) zz Za + r. Donc , si Von multiplie un nombre a par 10, par 100, par 1000, e/c, son loga^ rùiane augmentera dei^ n^ 3, etc. unités. Réciproquement, si le logarithme d*un nombre a augme^^te d!e 1 , a, 3, etc. unités^ ce nombre sera multiplié par 10, par 100, par 1000, etc.
435. Prenant le logarithme de chaque quotient (325), il viendra Z(tf •io)rzZa — 1, l{al\oo)z=,la — 2, Z(rt;iooo)=:4i
( 19* ) — 3, et en général, l{a \ icr):nla — r. On voit qpe siFon divise un nombre a. par lo, par loo, par looo, e/c, son logor rithme diminuera de i, a, 3, etc* unités. Réciproquement, si Von diminue <2e i , a, 3, etc. unités le logarithme tTun nombre a, ce nombre sera divisé par lOj par loo, par looo, etc.
Les principes de ce numéro et des deux préccdens n^ont pas lieu dans un autre système ^ et cVst sur-tout ce qui fait préférer les lo'garithmes ordinaires.
436. Les différences des nombres sont entre elles comme les différences de leurs logarithmes. Cette proportion nVst pas rigoureusement exacte ; mais voici comment on peut s^assurer quVllç est vraie par approximation :
En examinant les tables de logarithmes, on voit que quand les nombres consécutifs sont un peu grands, les accroissemens de leurs logarithmes ne dificrent pas dW cent-millième d^unité. £t ces accroissemens seraient encore moins différens, si les nombi:es, au lieu de croître successivement d^une unité, ne croissaient que de la quantité £{ <^ i . Ainsi , en supposant que la totalité des augmentations de chaque nombre ne surpasse pas Punité, on pourra toujours admettre^ sans erreur sensible^ que chaque fois que le nombre croîtra de d, son logarithme croîtra de à': donc , si le nombre a augmente de b fois d ou de c fois <i, son logarithme x augmentera de b fois d' ou de c fois d' ; on aura par conséquent
lazzzx^ l(a + bd) = x + bd! et l(a + cd)=:x + cd'.
Or, bd et cd sont les différences du premier nombre a aux deux autres a-^ bd et â 4- ^^ 9 bd' et cd' sont les différences du premier logarithme x aux deux suivans X'\'bd' et x-f-cd': donc, puisqu'^on a évidemment
bdlcdllbd'lcd',
il s^ensuit que la proportion énoncée est vraie , dHme manière approchée , tant que les nom^brcs sont un peu grands et qu^ils ne diffèrent pas entre eux de plus d^une unité.
437. Nous verrons plus bas, que pour les nombres au-dessus de 1 000 , Terreur de la proportion ne porte jamais sur les millièmes du nombre chcrclié, ni sur les millionièmes du logarithme demandé. Dans ce qui va suivre , nous supposerons entre les mains des élèves , les petites tables composées par Lalaivde ou
celles de M^ Reykavo.- Les tables de Callct seraient préférables ; mais elles sont bcmicoup plus chères.
