Etant donné un nombre^ trouver son logarithme
Ce problème présente plusieurs cas particuliers, que nous niions examiner successivement.
Premier cas. Si le nombre proposé est un nombre décimal P'^p\ p étant sa partie entière et p' sa partie décimale \ on observera que les dincTcn<ys p' et i du nombre p aux deux nombres Z'+p' et z^^- I, sont entre elles comme les différences du Jogaritlimc de p aux logaritlimis de /? + A*' et do /t; -f- 1 (436), et que par conséquent ,
Ainsi, pour avoir le logarithme d\m nombre décimal donné, ' il faut ajouter au logarithme de la partie entière , le produit de )a partie décimale par la différence entre le logaritlunc de la partie entière et celui du nombre entier immédiatement supérieur, différence qui est toujours calculée dans les tables. Cest ainsi qu'on aura /(ai'Sg/S) =: ^(^i^g) -}- 0,8 X 0,00020 zr
Seco?(d cas. Comme la règle précédente donne des résultats d^autant plus exacts que les nombres sont plus ^ands, il faudra toujours avancer la virgule d^asser. de rangs vei-s la droite, pour que la partie entière soit Tun des plus grands nombres des tables, et cherclier le logarithme du nombre décimal résultant. Or, en avançant la virgule de trois rangs vers la droite, par exemple, on multiplie le nombre proposé par 1 000 ; son logarithme aug^mente donc de 3 unités (434)^ par conséquent, pour avoir le logarithme demandé, il faut diminuer celui qu^on a trouvé, de trois unités \ c^est-à-dire , d'autant d'imités que la virgule a été avancée de rangs vers la droite. Par ce procédé, on trouve que l(^\,5^) = l(^i5gfil ioo)z=l{2\5c^,8) — 2= i,3344i.
De même, / (0,021 598) =1 Z (2 159,8) — 5 zz: 3,334îi •— 5.
Au lieu de Soustraire le plus petit nombre du plus grand et
'de donner au reste le signe — , il rst préférable* de rendre la
caractéristique seule négative , en retranchant 3 de 5 ; mais pour
indiquer que le reste 2, est négatif, on met le signe — au-dessus
ALGÈBRE. l3
elnon avant; de sorte qu^on a Z (0,21598) :=: '2,3344 1 = -^ s
Le logarithme d^one fraction ordinaire est aussi négatif, lorsque le dénominateur surpasse le numérateur (4^5). Dans ce cas, pour que la caractéristique soit seule négative, on ajoute au logarithme du numérateur assez d^unités pour que la soustraction indiquée devienne possible, et on retranche le même nombre d^unités du logarithme restant. GV^t ainsi qu^on aura / (^) ==:
137 — ZijSzz: 1,56280 — 2,24304=^ i,325i6.
Troisième cas. Si le nombre proposé surpasse le plus grand des tables, on avancera la virgule d^assez de rangs vers la gauche pour que la partie entière soit Fun des plus grands nombres tabulaires , et on cherchera le logarithme du nombre décimal résultant. Mais en avançant ainsi la virgule de deux rangs vers la gauche, par exemple, on divbe le nombre proposé par 1 00 ; son logarithme diminue donc de deux unités (435) ; par conséquent, pour avoir le logarithme cherché, il faut ajouter à celui ti>ouvé, deux unités ; cVst-à-dire autant d^unités que la virgule a été avancée de rangs vers la gauche. De cette manière on trouve que Z(2i598) = /(2i59,8)+i=4r3344i.
439. Etani donné un logarithme ordinaire^ trouver le nombre qui lui appartient.
Ce problème présente aussi plusieurs cas à examiner. '
Pbemiea cas. Si Ton ne trouve dans les tables que les premiers chiflres du logarithme donné 2n, le nombre coirespondant n sera compris «ntre les deux nombres entiers consécutifs p et p -)- 1-, le premier ayant un logarithme plus petit que le logarithme donné Z/i, et le second un logarithme plus grand. Or, les différences n •— p et 1 du nombre p aux deux it et p -{- i , sont entre elles comme les différences du logarithme de p à ceux de n et de /? -|- 1 (436) ; donc on a la proportion
n—p:i::in—ip:i(p+i)^ip^
d, , , In — Ip 'ou n = 17 + TZ -^
Cette formule fait voir que, pour trouver le nombre qui correspond à un logarithme ^donné , dont les derniers chiffres ne «ont pas dans les tables , il faut prendre le nombre appartenant au logarithme immédiatement inférieur, et ajouter à ce «ombre
( «95 ) la fracllûn ayant pour numérateur, la différence entre le logarithme donne et celui qui est immédiatement plus petit dans les tables, et pour dénominateur, la différence des logarithmes tabulaires qui comprennent le proposé. CVst ainsi qu^on aura le nombre correspondant au logarithme 3,4^936 : on verra que ce logarithme tombe entre 3,4^^4 ^' ^r4^^i T^ sontles logarithmes de 2879 et a88o ; et on en conclura que le nombre cherché est 28797I où 2679,8.
Second cas. Comme la règle précédente donne des résultats datant plus exacts que les nombres sont plus grands, il faudra toujours ajouter assez d'^unités à la caractéristique du logarithme donné , pour qu^elle soit la plus grande des tables , et chercher le nombre correspondant au nouveau logarithme. Or, en ajoutant, par exemple, 4 unités au logarithme donné, on multiplie le nombre correspondant par loooo (434)^ on aura donc le nombre demandé en divisant le nombre trouvé par 10000; ce qui se fait en avançant la virgule de quatre rangs vers la gauche; c^est-à-dii^e d^autant de rangs qu'ion a ajouté d^unités à la caractéristique du logarithme proposé. Par ex., si ih = 0,86784) on ajoutera 3 unités à la caractéristique, et Ton trouvera, conune au numéro précédent, que le nombre correspondant au nouveau logarithme 3,86784 est 7376,3. Par conséquent le nombre cherché 11^1:7,3763. Si Ton avait /nz= 2,86784, on en déduirait n z= 0,073763.
Enfin, si Ton a /h = — 0,82074, on ajoutera 4 unités et on effectuera la soustraction , ce qui donnera 3, 1 7926 = / ( 1 5 1 1 ) ; le nombre cherché est donc n = o, i5i 1 .
Troisième cas. Si la caractéristique excède la plus grande des tables, on en soustraira assez d^unités pour qu^'eUe lui soit égale , puis on cherchera le nombre correspondant au nouveau logarithme. Or, en ôtant ainsi 2 unités du logarithme donné //i, on divise le nombre n par 100 (435) ; on aura donc ce nombre n en multipliant le nombre trouvé par 100; ce qui se fera en avançant la virgule de deux rangs vers la droite ; c^est-à-dire d^Qutant de rangs qu^on a ôté d^unités de la caractéristique. Diaprés ce procédé , on trouve que si In = ^f/l'jS^Q , on aura 71 = 29963. En effet, il est clair que /ii = 4r47^59 =13,47659 + 1 = /(2996,3) -f ho = /(3996,3 X 10) = /(29963).
44o- Il est d^usage de réduire en décimales la fraction qu^il
faut joindre au nombre tabulaire pour avoir celui que Ton cherche. Mais alors, en se servant des tables de LalAnde, on ne doit pousser Topération que jusqiiWx^ dixièmes , parce que c^est lé seul chiffre décimal dont on soit sur. En eifet , on voit dans les .tables de Gallet, que quand les nombres surpassent 4o ou 5o mille, les logarithmes consécutifs ce diffèrent pas d'aune demiunité décihialc du 5"* ordre ; et par conséquent , si les tables employées n^ont que cinq décimales, il arrivera nécessairement ^e plusieurs nombres consécutifs au-dessus de Soooo auront le même logarithme. Si donc ce logarithme était donné, on ne serait pas sûr, avec ces tables, de trouver le nombre correspondant à moins d^une unité près. En général , lor;squ^on cherche le nombre qui correspond à un logarithme , on nVst pas sur de f avoir à moins d^une ^inité près , quand ce nombre doit 'être composé d'^autant de chiffres qu'ail jr a de décimales dans le logarithme donné.
44 >• ^^ appeOe logarithme limite relatif k une table, le plus grand de tous ceux qui font trouver les nombres correspondans à moins d^une nnitd prés ^ de manière que pour les logarithmes supérieurs, on ne serait pas certain, en gênerai, d^avoir Je nombre à ce degré d''cxactitude.
On voit que le logarithme limite peut avoir plusieurs. valeurs. Mais comme on sait de me'moire que 0/3oio3oo''cst le logarithme de a, on est convenu de former le logarithme limite en prenant deux, fois celui de a, plus autant d^unités moins une qu^il y a de décimales dans ce logarithme. Ainsi pour les tables de Lalande, le logarithme limite est 4/6o2o6; qui répond au nombre 4oooo. Pour les tables à 6 décimales, le logarithme limite est 5,6oao6o , et pour celles de Callet il est 6|6oa6oo. Au delà de cette limite on ne peut plus compter en général, à moins d^unc unité, sur le nombre trouvé, quoique Ton puisse encore y compter pour quel* ^ues nombres.
44^.* Le résultat de faddition et de la soustraction de plusieurs logarithmes peut s^obtenir par une seule addition, à faide des complémens arithmétiques. On .appelle complément arithmétique dVn lo^rithme, co qu^il faut ajouter à ce logarithme pour avoir lo unités entières; en d^autres termes, t^'est le reste qu'*on obtient en soustrayant le logarithme proposé de lOtf
On trouve le complément arithmétique , en retranchant le pjemier chiffre à droite de lo, s''il est significatif, et tous les autres de 9. Ce cdtadplémént peut donc être formé, pour ainsi dire, diaprés Tinspection •du logarithme, ou diaprés sa dictée. •
Cela posé , voici Pùsage des complémens arithmétiques* Soit lx-=.la — |-M — Ic^^^ld — /<?, cl désignons, pour abréger, par Vc le complément
arithmétique de tc^ et ainsi des autres; nous aurons e'videmmeut, à càus« de/c=io — /'c, etc., Ix =z la -^ Ib — (lo — Pc) — (lo — Vd) -^ (10 — /'e)î d'oix /x == /a + /i + /'c + /'d + /'tf — '3o.
- De sorte que pour a*foir le logarithme cherché ^ il faut faire la somme des logarithmes additifs et des complémcns des logarithmes soustractfs^ puis retrancher de cette somme autant de fois lo qu'on d pris de com^ pUmens,
Diaprés cette régie, la proportion $7 \ aSg ; ! 497 • '1 donnsmt lx:=s. /a59 ^- /497 — r'37 ; on en déduira
Ix = /a59 + /497 + VI') — 10 = a;4i33o + a,6g636 4-
8^43^8® — 10 = 3,5414^* D'où jr = 3479fi) à 0;i prés.
443. Nous devons faire observer que, comme on n'a consfdcré et calculé dans les tables , que les logariUime$ des nombres absolus , il n'y a pas lieu h chercher le logarithme d'un tnonome soustractif. Cependant, le logarithme d'une quantité négative peut exister ; cai* si la base est 9 , le logaritlune de — 3 sera ~ ; et si la base était 64 ^ le logaritlime de — 3^ serait g. Lors donc qu'on sera conduit à une expression négative , on ne pourra en trouver la valeur numérique à l'aide des logarithmes , qu'apr& avoir fait disparaître le signe -;-. Et comme une expressioi» négative désigne une impossibilité (i5i), il en sera de même du logaintliilie d'une quantité négative.
Application de la théorie des logarithmes.
444* ^^^ logaritluncs abrègent tellement le calcul des nombres , que par leur moyen les multiplications , les divisions , le»élévations aux puissances et les extractions de racines , se changent respectivement en additions, soustractions, multipljcations^ et divisions très-simples. Aussi fait-ou un grand usage des logarithmes , quoique leur emploi ne soit indispensable que quand l'inconnue fait partie des exposans. Par exemple, si l'on a
2867a p/ifiJoaS
^■^ 675 lK:1o88 '
on prendra les logarithmes de part et d'autre , et on aura
Ix = 7^8672 + i /i 64025 — 7675 — I /74088 ,
ou ixzz: 2,6i236; d''où x:zz/^og,6.
Cette valeur est exacte , comme on peut le vérifier en décomposant les nombres proposés dans letus facteurs premiers.
44^* Opérant par logarithmes, on yen*a que, dans les deux expressions ,
7» r ^^ ' ^ -^ 1/576 i>^a43 . aia?
on a :r = 3921,25 et ^ = 168, valeurs exactes.
446. Le logarithme de adtib n^est pas la^izlb* En général , les logarithmes n^abrégent le calcul d'une expression numérique, qu'^autant que cette expression peut se décomposer en facteurs ; il faudra donc toujours tâcher d'effectuer cette^ décomposition. Et c'^ à quoi Ton parviendra le plus souvent, à Paide diUnconr nues auxiliaires. Par exemple , si Ton a
(2a'— h^c + 4c') x^id'b — hc* ;
on en déduira d'abord
[2a' — c (b 4- 2c)(6 — 2c)] xz=:b(a + c) (a — c).
Ensuite , si Ton pose c(6 + 2c) (b — 2c) =: 2a^u , il viendra
2û'(tf — u)x=: b(a']'c)(a — c). ^
La valeur de u pouvant se calculer aisément par logarithmes, il en sera de même dç celle de x.
De même, si Ton avait à calculer par logarillmics,^ les valeurs de x, j^, ^, dans les trois équations
x^=za^+b\ x = {!^^—^^T ^t (a^— i*)^ = (a'+0''; la première de ces équations donnerait
t*=znab et x' = (fl + è4-^)(û + è — «);
et l'on décomposerait les deux autres équations en facteurs, d'une manière analogue.
447* La résolution des équations exponentielles s^opère facilement par logarithmes , pourvu que ces équations puissent se décomposer en facteurs , ou bien se ramener à Tune des formes
pa^'pzq, ^a"**'' = fc*'^ a^zzzpb'"^, a"^-" — pb''\ etc. Par exemple, si on a a'*+ c^'= 2a»^"*", on en déduira
}x ^ax
= a''(2fl — 1).
Prenant les logaiûthme^ des deux membres , on obtiendra
3j:Zc=: 2arfa-4-/(2a— 1), équation du premier degré en x.
C '99 ) Pour avoir la valeur de x dans Féquatioty
< = t p/ ^-^)" atc, on posera y = jp/^-^)". Si Pou avait a^ =ia ya'b {\/aVf , on en déduirait '
équation du second degré,, qu^on sait résoudre.
Si Téquation à résoudre était double exponentielle^ comme
a =c, on en tirerait d^abord b^lw^ilc^ b'^zj-zizd^ et
la
ensuite xlb =: Id, On traite de même les équations triples e%r ponentielles.
On peut s^exèrcer à résoudre par logarithmes , les équations que voici :
ii*'-^z=i33i; |?^è^'-' = a^'.3''-»5 (i/S^y^Li^-^
et a7.3'*-3'=(^T^.
448- Trouver la somme à rendre au bout de n années^ pour une somme a qu^on vient d'emprunter. L'intérêt annuel de i est r, et Von a égard aux intérêts des intérêts.
Il est clair que i'^ au commencement de Tannée, vaut à la fin 1 -f- r. Soit b cette valeur, ou ^ = i -|- '^ • puisque i^ vaut ir, a vaudra a» fois b ou ab, D^où il suit que la somme à rendre an bout de Vannée s'obtient en multipliant le capital de cette année par b. Mais les intérêts étant composés, la somme à rendre à la fin de chaque année est le capital de Tannée suivante ; par conséquent, le capital de la première année étant a, les sommes à rendre au bout des années i'*, a*, 3*,. ..., n™*, seront ab , â/»*, al?^ . . . , ab^. Si donc S désigne la somme à rendre au bout de la n™* année , on aura S = ab^.
Prenant les logarithmes de part et d^autre, cette formule con* duit aux quatre suivantes :
IS = fa + n», la=lS — nlb,
lb:=z
IS^la
et nziz
/S— Jtf Ib
Ces quatre formules résolvent quatre problèmes généraux ^ dont voici des cas particuliers : i** Trouver ce que deviendr»
C *oo ) la somme 876^, prêtée à 6 p. f par an , pendant 20 ans ,. les in« téréts étant composes. (R. i2o5*^, 88.)
a^ Quelle somme devrait-on pr(;ter pendant 25 ans, à 5 p. ^100, pour recevoir 3386^, tant en capital qu'^inléréts composés!' (R. 1000^.)
3* A combien p. 100 par an devrait-on prêter 1 Soo*^ pendant 3 ans. pour recevoir 2592*^, tant en capital qu'^intérêts composés!' (R. à 20.).
4*''Pendant combien d^années doit-on placer une somme a^ à intérêts composés , à 3 et à 10 pour 1 00 par an , pour recevoir lat (R. Pendant i4 ans 76 joui*s, à 5, et pendant 7 ans 93 jours, à 10.)
449* Une personne doit une somme a, et demande combien elle doit payer au bout de chaque année ^ pour qu après n an» néeSy elle ait acquitté sa dette avec les intérêts composés pen^ dant ce temps. L'intérêt annuel de 1 est r.
Soit X la somme à payer au bout de cluujue année et b la valeur annuelle 1 -}- r de l '^ : il est clair que la somme x^ payée à la fin de la v"** année , reste n — v années chez le prêteur, et y vaut, au bout de la /i"*, xt""^ (44^)* Prenant dans cette valeur, successivement 1;= 1, 2, 3, 4i •••<« n^ on aura successivement les valeurs , au bout de la n"** aimée , des sommes x payées à la fin des années i*^*, 2% 3% 4*i ••• ii°"; ces valeurs sont donc
a&"-', xb''-^ xb"^, xV'-^, ..., xb"" ou X. Or, la somme de ces valeiu^ doit former aJ'*, qui est ce que. vaut la dette a après n années (44^)* -^^^ ^^ somme des mêmes valeurs, prises à rebours, est une progression géométi*ique dont le premier terme est x, le dernier jffc""' et la raison ^; on a donc (398) ;^^,i,„ ...(.)'.
Posant j'=ri''==:(i-}-r)'*, et prenant les logarithmes de part et d'autre , on aura
/r = n/(i+r) et lx^ = l(ar) + lj-^l(j-—i) ...(7)
Par ex., si tf = 864'^, rmo^oS ou flr=:::43,2o et n=::i5, on trouvera x = 83,2529 ou simplement x = 83*^; 25.
Pour trouver /i , on a les deux Ibrmules
/>-=:/i/(i + r) et la=zlx'r\'l(y-^i)—lx-^lr.
( aoi ) Par exemple, fi /i^=:3, x=: i33i et r = o,i, on aura a=- 33io.
Enfin, si Ton veut avoir /t^ Tëquation (i) donnera d^aLord
X ' . ^ — /(x — ar)
(i + r)^ = , puis n = — ,, , , — ••
Lorsque x < ûr, x — ar est négatif et la formule conduit à prendre le logaritlime d^un monôme négatif; ce qui ne saurait avoir lieu , puisque les tables ne renferment que les logaritLmei des nombres. Celte circonstance fait soupçonner une impossibilité lorsque x <^ar om que x<^a{b — i ).
Et en effet , on voit qu'^alors le premier membre de Téquation ( 1 ) est moindre que le second ; cettp équation est donc impossible , ainsi que le problème qui Ta fournie.
450. Trouver quelle somme S un débiteur redevra après n années , s* il paye x au bout de chaque année sur une somme a qu*il vient d'emprunter ? U intérêt annuel de i est r, et Von a égard aux intérêts des intérêts,
U est clair , d'après le problème précédent , qu^on ama S =z ût« — - (i'»— i), t zn 1 -f r.
Si le débiteur, au lieu de payer x^ au bout de chaque année, empruntait au contraire x^^ x deviendrait — x dans la formule précédente. Suivant que cette formule donnera S positif, nul ou négatif, le débiteur redevra, se sera acquitté, où on lui redevra.
45 1. Un particulier qui^ pendant n années^ a placé une somme a au commencement de chaque année , veut se faire rembourser ce qui lui est dd à la fin de la n**, en m paiemens égaux , effectués au commencement de ahacune des m années qui suivent la n"**. On demande la valeur x de chaque rem* bour sèment.
Il est clair que la somme des valeurs des n placemens , an bout de la ( n -{- m )*• année , doit être égale à la somme des valeurs des m rembourscmens , à la même époque : on a donc Péquatiou
De cette équation , où 6 = 1 -f- r, on tire
( 2oa Jf'
S! tf = 131700, n = a, 111 = 3 et r = o,i, on aura x = 195557.
' Faisant successivement mz=:n et m =: 00 , on aura successivement ^ — ab^ et a: =^ (fc'* — 1 ).
453. Vn particulier^ âgé de m années^ place une somme a' en rente viagère. On demande la valeur x de cette rente^ dans rhjrpothèse que ce particulier doit encore vivre n années. Dans ce problème , il s^agit de rembourser la sonune a et ses intérêts composés en h paîemens égaux effectués à la fin de chaque année ; chaque paiement sera la valeur x de la rente viagère. On aura x par la formule (2) du n° 449*
Lorsqu^un homme place une somme a en rente viagère ^ il ' ignore <:ombien il a encore d^annécs à vivre ; mais oti détermine ce nombre n au moyen de la table de mortalité que voici :
o. 5.io.i5.ao.a5.3o.35.4o*45.5o.55.6o.65.7o.75.8o.85 ans. i5.43*4i*37.35.3i. 39.37. a4.ao.i8.i4*i3*io. 8. 5. 4* 3.
Dans cette table on a mis sous chaque Âge, le temps qui reste à vivre, diaprés les prohabilités. Cette table n^est applicable qu^à un grand nombre d^individus , parce que les uns gagnent , en durée de la vie ce que les autres perdent. Par exemple , les probabilités indiquent qu^une personne âgée de 45 ans, a encore ao ans à vivre ; pour déterminer le taux de la rente viagère qui correspond à cette probabihté, on fait a=. 100, ra = ao et r= o,o5 dans la formule (a), et on trouve x=8; de sorte que la rente viagère est à 8 p. |.
453. Quelle somme doit-on placer à présent, pour retirer pendant 13 ans et à la fin de chaque année une somme de 1 5oo^, de manière à «kre remboursé du capital et de ses intérêts composés au bout de ces 13 années, Targent étant à 7^|5o par an? (R. 11602,91.)
Quelle somme doit-on donner au bout de chaque aunée, pour acquitter en 10 ans une dette de 14000^, avec ses intérêts composés pendant ces 10 ans, Pargent étant à 5 pour 100 par an? (R. 181 3^.)
Un particulier qui doit 33 10^, voudrait s^acquitter en donnant i33i^ au bout de chaque année. A quelle époque ne dcvra-t-il plus rien? L^argent étant à 10 p. -^ et les intérêts étant composés, (R. Dans 3 ans.)
Une population augmente chaque année de I9 100* partie de ce qu'oeil» était Tannée précédente; combien faudrait-il encora d^années pour qu^elle fut 10 fois plus grande? (R. a3i, environ.)
Des arrangemens et des combinaisons. >
454- Lorsque des expressions, sommes ou produits, sont composées de lettres semblables ou différentes, placées dans divers ordres , chacun de ces assemblages est appelé un arrangement des lettres qui le composent ; mais si Tune au moins de ces lettres est diflérente dans chaque expression et qu^on n^ait pas égard aux rangs des lettres, ces expressions se nonmient des combinai^ sons. Ainsi trois lettres â, /», c, ajoutées a à a, donnent les six arrangemens a-^- b^ fc + fl, a-^- c^ c-f-^i ^ + ^1 ^' + ^1 et seulement les trois combinaisons a -{-b^ ^ *|- ^1 b -{- c. Les mêmes lettres multipliées 3 à 3, donnent les six arrangemens oa permutations abc^ bac^ acb^ cab^ bca^ cba^ et seulement la combinaison abc.
On distingue les permutations des arrangemens^ en ce qu^on réserve le premier nom aux arrangemens de p lettres entre elles, ou p k p : mais cette distinction est fort peu utile.
455. Trouver le nombre x^ de tous les arrangemens diffé» rens que Von peut former avec m lettres^ prises n ^ n.
Soient x^ et x^,^ les nombres respectifs de tous les arrangemens différens que Ton peut former avec m lettres , placées v à V e\. V '\- i àv-f-i- Si Ton prend Tun des arrangemens de v lettres , et qu^on écrive à sa droite, successivement chacune des m — V lettres restantes, on formera m — v arrangemens différens de i; -f* > lettres : et si Ton agit de même pour chacun de x^ arrangemens différens de v lettres, on aura à chaque fois m — v arrangemens différens àtv-\'\ lettres ; donc en tout , on aura (m — v)^v arrangemens àev-\-\ lettres : or, ces arrangemens diffèrent tous ; car si deux d^entre eux étaient égaux à cdef.,. ab^ on aurait écrit deux fois de suite la même lettre b à c6te.de Parrangement cdef..* aàev lettres ; ce qui est contre Thypothèse : les même» arrangemens sont tous ceux qu^on peut former avec m lettres , prises v-\-\kv-\'\\ car si un arrangement , tel que defg ... ck^ ne s'y trouvait pas, il faudrait qu^on eût oublié d^écrire la lettre A à la droite de Parrangement defg ...c de V lettres \ ce qui est encore contre lliypothcse. Donc réellement, (m — v)x^ est le nombre x^, ^ de tous les arrangemens différens que Ton peut former avec m lettres , placées 1; -|- 1 à t; + 1 , et Ton a ^^^^ = (m— v) x^.
( ao4 ) ' 7
Faisant successivement 1;= i,a,3,4s*-*^'> — M multipliant entie elles les n — 1 équations résultantes , supprimant les facteurs communs aux deux membres et observant que m lettres , prises 1 à 1, donnent m arrangemens différens d^uue lettre^ d^où j:^ = 171 , il viendra
x^z=:m(mT-i)(m — 2) (m — 3) ... (m — n-f" 0*
Ainsi le nombre de tous les arrangemens différens que Ton peut former avec m choses, en les plaçant n à n, est égal au^ nombre m multiplié par le produit de tous les n — 1 nombres^ entiers inunédiatement inférieurs à m.
Diaprés cela, les nombres de tous les an*angemens différens de m lettres, prises 2à2,3à3, 4^4i ^^^' -î' ^^^^ respectivement : m (m — 1), m (m — i)(m — 2), m(jn — i)(m— 2)(m — 3), etc.
456. Déterminer le nombre y^ de toutes les combinaisons différentes que Von peut former avec m lettres^ en les plaçant nàn.
Si dans chaque combinaison de n lettres, on aiTange ces lettres n à n, on aura, diaprés ce qui précède (4^5), n(/i — 1) (1^ — 2) ...2.1 arrangemens différens, pour chaque combinaison de 71 lettres ; donc , pour les r^ combinaisons, on aura 1 . 2 . 3 . . . (71 — 1 ) nj-^ arrangemens. Or, puisque toutes les r„ combinaisons diffèrent au moins d^une lettre, le même arrangement n^cst pas répété dans tous ceux qu^on vient de former : de plus , on ne saurait en former d^autres ^ car chaque nouvel arrangement ne pourrait renfermer que n des tti lettres proposées^ il se trouverait donc avoir précisément les mêmes lettres que Tune des jr^ combinaisons, et serait par conséquent Pun des arrangemens fournis par cette combinaison. D^ôù il suit que le nombre de tous les arrangemens différens que Ton peut former avec m lettres, prises 7rti7i, est 1 .2.3 ... (n — i)njr^ : et puisque ce nombre est aussi 7n(7n — 1)(77» — 2)...(77i — n-f-i), (4^^)i ^^ ^° résulte
m (m — 1) (jw — a) ... (m — n-^i) ^^
* Ainsi pour avoir le nombre de toutes les combinaisons différentes que Ton peut former avec 771 lettres , prises 71 à rt , il faut multiplier le nombre tti par le produit de tous les ti — 1 nombres entiers immédiatement inférieurs à tti, puis diviser le produit par celui de tous les nombres entiers , depuis 1 jusqu'^à n , inclusivement.
C ao5 ) .
D'^après cette rcglc , les nombres de combinaisons différentes (sommes ou produits), qu'on peut former avec m lettres, prises aà2, 3à3, 4^4i ^^^'^ ^^^^ respectivement : m (m — i) m (m — \) (rn — a) m (m — i)(m — 2) (m — 3) i.a 1.31.3 i.a.3.4
