On a r --- ^(^"0 C^-^) -' (^"A^H
Si n>/7, tous les facteprs de j- entreront dans j*„, qui pourra cons<!quemment s'écrire conuiic il suit :
.n—J-pX (^ + ,)(^^.,) ... ^
Prenons pzzzm — n ; alors les facteurs du numérateur de la fraction qui multiplie^-, pris dans Tordre inverse, seront. tous «gaux à ceux du dénominateur \ cette fraction se réduira donc à Tunilë , cl il viendra
J'n'--Xp ^^ yn^-'J'm^n î c*esl-â-dire que m lettres^ prises n à n , donnent le même nomhre de combinaisons que 'ces m lettres^ prises m — n à m — n. Ce principe sert à rendre plus faciles les calculs des nombres de combinaisons \ car s'il fallait trouver le nombre de tous les résultats fournis par 20 lettres, combinées 17 à 17, il serait beaucoup plus simple de chercher le nombre de résultats que donnent ces 20 lettres, combinées 3 à 3, nombre qui est le même que l'autre et qui se réduit à i i4o.
459. Il est aisé àt s^assurer que le nombre de combinaisons de m-f- 1 , lettres, prises n à n, est e'gal à la somme des nombres de combinaisons de m leUres, prises n à n et n — '1 à /i — 1 .
460. Parmi les m lettres proposées, on peut en désigner m', et chercher le nombre x des combinaisons n à n , dont chacune renferme précisément n^ des lettres désignées.
( so6 )
Pour abr^er, représentons par [m C n^ le nombre de tontes les com^ binaisons de m lettres, n à /i. Cela pose, on observe que chacune des combinaisons cherchées contient n lettres , dont n' sont prises parmi les mf lettres désigne'es et les n-— n' autres parmi les m^^mf non dësignécs. Opi^rant donc toutes les y combinaisons des mf lettres , n' à n\ et les z combinaisons des m — mf lettres , n — nf an — n'^ on aura
y=[wi'Cn'] et z=:[(»i — m')C(n — n')].
A la droite de chacune des combinaisons de mf lettres , /i' à n', écrirons chacune des combinaisons de m — mf lettres, n — nf à n — n'; alor^, comme chaque combinaison de mf lettres, n' à n', en fournira 2, /i à n, contenant chacune nf lettres d(»ignées; les f combinaisons, n' à n', en fourniront yz , n à ra , contenant chacune nf des m' lettres dÀign«ïes« Toutes ces combinaisons différent évidemment, et on ne saurait en trou-> Ver d^autres de n lettres, contenant chacune n' des lettres désignées : car chaque nouvelle combinaison de cette espèce, qu^on voudrait former, devant contenir n^ des mf lettres désignées, serait la combinaison de n lettres fournie par la combinaison de ces n^ lettres. Ainsi on a x '=.yz ,
ou x=:[m'Cn'] X [(m — w')C(/i — n')],
46 !• Cette formule résout les cinq problèmes particuliers que voici :
l» Dans combien de combinaisons entre la lettre at Alors ni'=fi'=:i
et xr=:[(m — i)C(n — 1)3* Par exemple, 10 lettres se combinent 4^4
de 210 façons, dont 84 contiennent a.
1^ Combien de combinaisons contiennent a sans h t\h sans af m'^a,
ii'=i et x=a X [(m — a) C {n — i)]. Des aïo combinaisons de 10
lettres 4 à 4 1 il ^n ^^ ^ 1 3 qui contiennent a sans h tKh sans a.
3® Combien y a-t-il de combinaisons renfermant a tx h ensemble ?
m'=:»'==a et x= [(m — a) C (n — a)]. Dans notre exemple, il y t
a8 combinaisons contenant a et h*
4^ Combien y a-t-il de combinaisons ne contenant ni a, ni 5 T m'=:a et »'*=:;: o ; d^où x= [(m -•- a) C n]. U j a ^o combinaisons de 10 lettres 4^4) ^^ ^ °^ ^*
. 5*^ Sur les combinaisons de m lettres n à n , combien en est-il qui contiennent deux des trois lettres a, 5, c? m'=3, n' = a et x=:3x [("* — 3) C (n — a)]. Voje* le vol. Il du Cours de Mathématiques pures de M. FluiiCQEUK , a* édition.
De la formation des puissances des poljmomes.
463. Occupons-nous d^abord des puissances des binômes, et observons que , pour mieux coonaitre la composition de ces puissances , il est nécessaire d'empocher les réductions qui proviennent de Tégalité des facteurs. Or, c^est à quoi Ton parvien-
( ao7 ) dra en multipliant entre eux plusieurs binômes qui niaient que le premier terme de commun, tels que x+^i ^+^1 ^+^1 etc.
En effet , si Ton effectue ces multiplications et qu'ion réum'sse en un seul tous les multiplicateurs d^une même puissance de x, on trouvera :
(x-fa) (jc+^) = X» + (a + A) X -f a* ;
(x+a)(x+&)(x-fc)=x5 + (a+*-fc)x» + (a5+ac+^)x4-a*c; (x+a)(x + *)(x-H:)(x + ££)=:x* + (a4-« + c + d)x3 + (ah'^ac-^ad-\'bc'-\-hd-\-cd)x^-\'labc'\-abd-\'acd»\'6cd)x + nbcd^
et ainsi de. suite. Mais sans continuer plus loin ces produits^ on peut déjà reconnaître la loi de leur formation \ et en général , on voit que,
Si Ton multiplie entre eux m binômes dont le premier terme X est commun, tels que ar-f-^i ^-f-^^ ^ + ^1 or + rf, etc., et qu^on réimisse en un seul tous les multiplicateurs d^une même puissance de x, on obtiendra im produit de m -)- 1 termes. Dans le premier, x aura un exposant m égal au nombre de binômes ;* et cet exposant diminuera successivement d^une unité, jusqu^aii dernier terme, où il sera zéro. Le coelEcient de x, dans le premier terme du produit, sera Tunité ; dans le second, il sera la somme des m seconds termes des binômes ; dans le troisième , la somme de tous les produits des m seconds termes combinés a à 2 ; dans le quatrième , la somme de tous les produits des m seconds termes combinés 3 à 3 ; et ainsi de suite , jusqu^au dernier terme, lOÙ x° aura pour coefficient le produit des m seconds termes des binômes.
De sorte que le produit des m binômes proposés , peut être représenté par
x^ + Ax^' + Bx'^+Cx^^ 4. ...
+ Blr^''+' + Nx^'»-! h Zx^
Multipliant ce produit par un nouveau binôme x-|- ^, on obtiendra ,
ar^ + (^k^h)x^ + (B + Ah)x^' + ^C + Bh)x'"-^ -I KN + Mh) x^«+' ^ 1- Zhx\
Ce nouveau produit ayant m -f- 1 facteurs binômes x-f-^f, x+fc, x + c, a:+£f, ..., x+^, x+A, on voit que les exposaos de x suivent la loi énoncée. Mais les coefBciens de x
suivent aussi , dans ce produit -, ta même loi que dans le précédent. En effet,
i"* A étant la somme des seconds termes des m premiers binômes, k^ h sera la somme des m -{~ i seconds termes de ces binômes et du» nouveau x -{- h»
^^ A étant la somme des m premiers seconds termes, Ah sera la somme de tous les produits des m -{- i seconds termes , combinés 2 à 2 , où ^ se trouve : mais déjà B est la somme de tous les produits des m -(- i seconds termes , combinés a à 2 , où A n^entre pas ; donc B -|- A^ est la somme de tous les produits des m 4- 1 seconds termes, combinés 2 à 2.
3" B étant la somme de tous les produits différens des m seconds termes , combinés 2 à 2 , BA sera la somme de tous les produits des m -f- 1 seconds termes, combinés 3 à 3, où A se trouve. Mais déjà C est la somme de tous les produits différens des m -(- 1 seconds termes , combinés 3 à 3 , oh h n^entre pas ; donc C 4" BA est la somme de tous les produits des m '-{- 1 seconds termes, combinés 3 à 3.
4° En général , M étant la somme de tous les produits des m premiers seconds termes , combinés n — 1 à w — 1 , MA sera la somme de tous les produits des m-|-i seconds termes,' combinés nkriy où A se trouve. Mais N est la s^omme de tous les produits des m 4" 1 seconds termes, combinés n k n^ où An^entre pas; donc N 4- MA est la sonune de tous les produits des m -}- 1 s<^' conds termes, combinés n k n. ^
5^ Enfin , Z étant le produit des m premiers seconds termes , Zh sera le produit des m -f- 1 seconds termes des binômes.
On voit donc , que si la loi énoncée, pour les exposans et, les coefficicns de x , est vraie dans un produit de m binômes , elle sera vraie aussi pour un produit de m -f- 1 binômes. Or, cette loi est démontrée pour un produit de 4 binômes \ elle est donc aussi démontrée pour un produit de 5 binômes. Etant vraie pour un produit de 5 binômes, elle le sera donc encore pour le produit de 6 binômes , et par conséquent pour le produit de 7 binômes, de 8, de 9, et en général , pour le produit d^un nom- . bre quelconque de binômes.
463. Au moyen de cette loi , il est aise de trouver la formule pour calculer une puissance quelconque d^un binôme. En effet,
siq>posoiis qa^n y ait m facteurs égaux entre eux et à x^ a\ leur produit sera donc (x -{- â)'"i et Ton aura d^abord
Mx^«+* + Na^'*H h Z.
Le coefficient A du second terme, étant la somme de m lettres égales à a , sera ma. Le coefficient B du troisième terme étant la somme de tous les produits de m lettres égales à a, combinées
a à 2 , renfermera , conmie on Ta vu (456) , produits :
et comme tous ces produits sont égaux à a*, il s^ensuit que
B =: IL^^lZltla'.
Le coefficient C du quatrième terme, étant la somme de tous les produits difiërens de m lettres égales à a, combinées 3 à 3,
contiendra ^^-r produits (456) : et puisque tous ces
produits sont égaux à a^, il en résulte que € = — ^^^ — ^^ "" 'a^.
En général, le coefficient M du n^* terme, étant la somme de tous les produits de m lettres égales à a^ combinées n— 1 à
n-^ 1 , c^mermera — i ^ r^ — =7 r — -. ou P produits,
tous égaux ka^^* (456), et on aura M=Pa'*'~\ De même, le coefficient N du (n + 1 )"• terme , sera N = P'"""^"^^'a^
Enfin , le dernier terme Z, étant le produit de m lettres égales k a , sera a"*. On a par conséquent la formule
(^x + ay^=zj^ + fnax^' + '!^^^^^ m(m-i)(m-3)^3y^^^ . .4. Pa»-'a^«+'+ plIlZ^a^X^"^
Dans cette formule , P 21- cl^jp^^ est le terme qui en a
n avant lui : c^est le terme général ^ pubquVn 7 faisant successivement n= 1, a, 3, 4<) *'"> ^t ^^ e^ déduit successivement les termes a', 3', 4*1 5', ... , ( m+ 1)*' -, et il fout bien remarqoer que la formule n'a jamais que m + 1 termes.
464* Le terme général étant comparé au terme précédent, fiût voir que , pour passer d^ un terme quelconque de la valeur de (x-f-iiy^, à celui qui le suit immédiatement , il faut multi'
ALOÙAE. l4
( «ïo ) pUer le coefficient au terme donné par V exposant de x dans ce même terme; diviser le produit par le rang de ce terme / puis augmenter de i Vexposant de sl^ et diminuer de i celui deTLi le résultat sera le terme cherché,
CVst dans cette loi que consiste principalement le binôme de Newton : elle sert à développer une puissance particulière, sans qu^on soit même obligé d'^avoir recours à la formule générale. Par exemple , si l'on veut trouver , diaprés cette loi , le développement de (^Tz-f- o) , on, formera d^abord les deux premiers termes x -^^ax^^ ce qui n^a aucune dilBcnllé, diaprés les premiers termes de la formule générale ; ensuite , on multipliera le coefficient 6 du second terme par Pexposant 5 de j: dans ce terme , on divisera le produit 3o par le rang 2 de ce même terme, on augmentera de 1 Pcxposant de a et diminuera de 1 .celui de JT, et il viendra i5a*x^ pour le troisième terme cherché. On aura de même le quatrième terme 20a x , à Faide du troisième. Continuant cette manière d^opérer, on verra que
(x4^a)^= x^+ 6jx^4- 1 5a'x^+ 10a x^^ 1 5a*j:'+ 6a*x + a*.
465. Ce développement conduit à penser, que dans la valeur de la puissance m™* d^un binôme x-|-a , les coefjficiens en m des termes également distans des extrêmes^ sont égaux entre eux,
C^est en effet ce qui a toujours lieu ; car dans ( j: -]- a y*, Qa^a^"'^ est le terme qui en a n avant lui, tandis que Q^a^^'^x^ est le terme qui en a n après lui. Or, il est clair que (x-^-ay^ reste le même lorsqu^on y change x en a cl a en x'^ donc son développement doit aussi rester le mcme, dans ce cas. Mais par ce changement de ^ en x et de x en û, le terme Qa^x^^ du développement devient Qa''*'""x'*; car Q, qui ne contient ni a ni :r, ne change pas. Donc, puisque le développement reste le même, il sVnsuit qu'il renfermait déjà le terme Qa'"'"''x". Et comme ce développement contient le terme Q'a'"'''*^/*, et que d'ailleurs , il ne peut avoir qu'un seul terme en a'"'"'*^:'*, il faut que les deux termes n'en fassent qu'un seul , et qu'on ait 4j = (y. Ce qu'il fallait démontrer.
L'égalité Q = Q' prouve aussi le principe du n* 458.
466. Il suit du principe qui vient d'être démontré, que pour avoir le développement de (x + ^)^i il suffira de calculer les
coefficiens en m des termes de la première moitié ; et ces coeiHdens seront, dans un ordre inverse, ceux des termes de Pautre moitié. Cest ce qu^on verrait encore dans les développemens de (x -f- ay et (x + a/.
Si Ton veut développer (jia 6— 3a*^*/, on posera ^a^b=x et 3u'^'=:j-; puis après avoir développé (x — ^-)^, on substituera les valeurs de x et de ^, et on formera les puissances indiquées des deux monômes 2a b et ôà*b^,
467. Le binôme de Newton peut servir à développer les puissances dW poljnomc quelconque. £n efTet, supposons qu^il faille trouver la puissance 4°"* du quadrinomc a-^-bf^c — d. On fera d^abord t + c — dz=ix^ et Ton aura à développer (a + x)*; ce qui donnera
(û + x)*z= a* + 4û'x + 6a V + 4ax' + x^
Remplaçant x par le binôme b-{'j-^ et formant les puissances ,a*, 3*, 4*1 ^^ ^^ binôme, on aura le développement de (a-|-^ '^y) ' Remplaçant enfin j- par sa valeur c — d^ et formant les puissances 2', 3*, 4* ^^ c — d^ on aura le développement cherché de (a + 6 + c ^- rf)^.
De la méthode des coe^ciens indéterminés , appliquée à la recherclie de quelques séries.
