Voici le principe sur lequel cette métliode est basée

Si un poljrnome ordonné par rapport aux puissances posé» iives d^une variable x , est égal à zéro pour toutes les valeurs possibles de celte variable , les cùefficicns de diverses puis* sances de la même variable\ seront nuls séparément.

Par exemple, supposons qu^on ait toujours, quel que soit x^

a + ^x -f- ex* + dx -}-elc. m 0 ... (1}

Puisque cette équation a' lieu pour toutes les valeurs de x, si Ton y fait' x = o , Pégalité subsistera encore , et deviendra 11=: o. Mais a étant indépendant de x, Thypothèse x= o ne le change pas ; donc avant cette hypothèse, on avait au^i a=r o. Supprimant a dans (1) et divisant les deux membres par x, on aura 2r -|- ex + rfx* -|- etc. == o. Opérant sur cette égalité

comme sur la première, on en déduira &r=o, puis c=o, d=:ti^ et ainsi de suite (*).

(*-) Cette démonstration laisse peai-étre quelque chose à désirer ; car bien que la variable x puisse devenir aussLpetite qu^on voudra, il pourjrait se £ûre néanmoins qu^elle ne dût jamais devenir nulle. Daqs ce cas, Toici comment on démontre le principe éaamoé.

L^^alité (i } est évidemment la même chose que

a = — 5x — ex* — dx^ — ; etc.

Soit a la valeur numérique du plus grand des coefficiens du .second menlbre. Comme il ne s^agît ici que des valeurs absolues, a sera nécet« sairement moindre que ce que devient le second membre, lorsqu^on y suppose tous les coefficiens positifs et égaux à r ; xm aura donc

a<Cp(x + x* + xi-\ h x^)-, ... (a) .

d'où .<»(ill^).

'Puisque la variable x peut avoir telle valeur on voudra , si on prend jr<^ 1, les coefficiens a et s , qui ne renferment pas x, resteront toujours les mêmes \ et que n soit infini ou non , il viendra , à plus forte raison ,

Cette inégalité doit subsister quelque petite que soit la variable x; et -puisque atip sont des nombres constans, je dis -que q est nul. Car si a pouvait avoir ime valeur m au-dessus de zéro^ on pourrait toujours pren*

MX

dre la variable x assez petite pour que ■ fût moindre que m ; on

n^aurait donc pas m ou a^ ■ ; ce qui est absurde. Donc réellement

A=::o. Supprimant a dans (i) et divisant les deux membres par x, puis raisonnant comme on vient de le faire, on trouvera 5 = o. On verra pawillement que e=o, (2=3 o, et ainsi de suite.

De ar=:o, il résulte, que si une égalité (i) est vraie, quelque petite qu^on y suppose la variable x„ elle sera vraie encore lorsqu^on j fera x =0. Et si Fégalité résultante a:=zo avait aussi lieu quelque petite qu^on j supposai une autre variable^, cette égalisé existerût encore quand on j prendrait ^=o ; et ainsi de suite. Donc en général, si une égalité est vraie quelque petites qu'on y suppose les variables qu^ette reitferme^ cette •égalité sera vraie encore lorsque on y supposera nulles les mêmes varioBles»

Ce principe conduit à la méthode des limites , et serait encore vrai si la variable x était aflèctée d^un exposant fractionnaire positif^ car à cause de x<^i , la puissance fractionnaire de x serait moindre que la puissance entière ayant son exposant immédiatement inférieur à Pexposant firaction* !, et Ton aurait encore Finégdité (a).

469* Si Ton avait tf + ta? + ex* + etc. z= a' + Vx + c'x* 4- etc-1 et que celte égalité dût subsister pour toutes les valeurs de X ; alors en passant tous les termes dans le premier membre, la nouvelle égalité serait vraie aussi pour toutes les valeurs de x: donc on aurait a — a'^o, h — Uz=io^ c — c'nro, etc.; d'où a^=ia\ hz=ih\ c = cf^ etc. On voit donc, que si une égàUté est vraie quelque valeur qu*on attribue à la variable x, les coef- ^ciens éCune même puissance de cette variable^ dans les deux membres^ seront égaux entre eux. Et ce principe est au fondf le même que le précédent.

470. Voici maintenant Tobjet principal de la méthode des ooefficiens indéterminés : c^est de développer les fonctions en séries, en faisant trouver les valeurs particulières que Ton doit donner à des coeflîciens inconnus , pour rendre identiques les deux membres d'aune équation.

Par exemple, soit proposé de développer le quotient de 1—^ X divisé par 1 — x. Il est clair qu^on peut représenter ce quotient par À + Bx + Cx* + Dx' + Ex* + ^^^' \ ^' qu'ainsi on aura, quel que soit x,

1 — x^z=(i — x)(A + Bx + Cx'+Dx' + Ex*+etc.).

II s'^agit donc de trouver les valeurs des coefEdens A, B, C, D, E, etc., qui rendent identiques les deux membres de l'équation précédente. Or, en effectuant la multiplication par 1 — x^ et ordonnant par rapport à x, cette équation devient