x^= A -f (B-A) X + (C-B)x'+ (D-C)x'-I- (E-D)x* + etc
Pour que les deux membres de cette équation soient identiques, il faut que les coefEciens d'une même puissance de x soient les mêmes de part et diantre ; il faut donc qu'on ait
A=i, B— A=o, C— B=o, D— C=— 1, E— Dz=o, etc.j d'où A = i, B=:i, Czni, Dzzo, Enio, etc.
De sorte que le développement de 1 — x divisé par i — x, se réduit à 1 -j-x-l-x*, comme on pouvait aisément le prévoir.
47 1 . On voit que quand on introduit dans le développement, des termes qui ne doivent pas y entrer, on trouve zéro pour lies valeurs de leurs coefBciens. Mais si l'on omettait quelques termes , Falgèbre en avertirait en conduisant à des équations impossibles. C'est ce qui arriverait, p. ex. , si dans la division de
( si4 )
1 • — x^ par t — r, on représentait le quotient pan A + Bx -f- Cx + Dx* + Ex* -}- etc. ; car alors on trouverait
A=i, Bm, B=zo, C = o, D = o, Ez=o,elc.
47^' •^''^^^^^^'^^'^^1 lorsqu^on veut développer en-série une certaine fonction de x, on suppose que le développement procède suivant les diverses puissances ascendantes de cette variable, à partir de x**; et si cette forme n^est pas convenable^ on en ^ averti par des résultats absurdes. Mais on abrège les calculs en cherchant à connaître à priori la forme du développement; ce qui se fait à Taide des propriétés de la fonction donnée.
Par exemple , si Ton voulait développer la fonction , ■ ,
on observerait d^abord que cette fonction étant la même chose
que , , son développement devra contenir x"* : et comme
la fonction ne change pas lorsqu'on y change x en — x, il en sera de même de son développement^ qui devra conséquemment ne contenir que des puissances paires de x; on devra donc poser
TT-k = Aar"' + Bx^'H- Cx'+ Dx*+ Ex^+ etc.
De là on déduira A=i, Bzr: — i, Cm, Dm-— i^ Ezzi, F=:— 1,'elc.
473. Appliquons maintenant la méthode des coefBciens indéterminés, et proposons-nous en premier lieu dVlever le binôme
i-)-x à une puissance quelconque -^ p et q étant des nombres ' entiers.
D'abord remarquons que le premier terme du développement
de celle puissance est 1 v, car c'est à quoi ce développement se
£ réduit dès que x=: o. Et comme i^ a une valeur arithmétique
égale à i et (/ — 1 valeurs algébriques, nous prendrons seulement
la valeur arithmétique , et nous poserons
P (i+x)7=i4.Ax + Bx'+Cx*+Dx*+...(i),
A, B, C, D, ..., étant des quantités indépendantes de x. Pour déterminer ces quantités , on observe qu'elles ne changeront pas si l'on remplace x par jr^ et qu'ainsi
(i +j^/= 1 + Ar +,Br*+ C/+D/+ ... (a) .
Prenant (t + x)^= uP ei (^\ +^)v = vP, on aura i + x z=u9 et i+j-zutiV; d'où x—j-iziu^ — v^. Diaprés c« valeuiç^ si Ton retrandie (2) de (i), il viendra
«P-*/'=A(x-j')+B(x'-^«)+C(xV)+D(**-y)+-(î)
Avant d^aller plus loin , il faut distinguer deux cas ^ suivant que p est positif ou négatif. i^Si p est positif, on divisera Tégalité (3), d'un côté par u9 — v^ et de l'autre par sa valeur x — jr: observant alors que tou3 les termes, du second membre soUt divisibles par x — j- (72)> et que u — v divise aussi les deux
termes de la fraction -^ ;r, il viendra, en effectuant toutes
ces divisions ,
II/»"» J^. vuP^ + yniF"^ -f ««» + vP"'
Cette équation étant vraie pour toutes les valeurs de x et jr^
ii on y prend xz=zjr^ ce qui donne 11 =v, le premier membre pup"» puP
devient ^ ou '-^' De sorte qu'en multipliant de part et d'autre par mV, l'égalité précédente se réduit à
^tt/'=:(A + 2Bx+3Cr' + 4Dx'+5Ex*+...)«^.-(4) a' Si p est négatif et égal à — r, le i*' membre de (3) sera
u^ — v"^, ou -a p, ou enfin rr C"*^— •v')-
Si donc on divise d'iin côté par u^ — v^ et de l'autre par sa valeur x ^--X^ les deux termes de la fraction du premier membre seront divisibles par u — 1; : effectuant toutes les divisions , puis prenant x == j^, ce qui donne u = 1; , le premier membre
devient 1 m^« ^ru^ puP "n^ ' — s=ri ^^ ■ „ 1 ou encore î—^-
Hultipliant donc de part et d'autre par vfly on retrouvera Pidentité (4), qui a lieu cqnséquemment pour toutes les valeurs* entières àt-p^ positives ou négatives, ainsi que l'égalité (1).
Cela posé) remettant au lieu de u^, dans (4)^ le développement (1) de sa valeur ( i -|- xjfy et au lieu de uY, sa valeur
1 -f>â:; effectuant les mult^lications, et posant, pour abréger, m=:-, on aura
111 + ÀJnar + Bmx" 4-^111X^ + 0111X^-1- ••• =: A + (A+3B)x+(2B+3C)x'+(3C+4D)x'+(4D+5E)x^+..-
Cette équation a été obtenue sans assigner aucune valeur particulière à X ; elle aura donc lieu quelle que soit cette indéterminée \ ce qui exige que les coefficiens dhme même puissance de X , dans les deux membres , soient égaux entre eux (4^)* Ainsi , en comparant ces coefiSdens , on aura , A = m, puis
A + aBzrAm, d'où B = iA(m— i);
aB + 3C = Bm, d'où C = |B(m — ti);
3C + 4D = Cfii, d'où D = iC(m— 3)-,
4D + 5E = Dm, d'où E=|D(fii— 4);
et ainsi de suite.
La loi d'après laquelle les coeflîdens A, B, C, D, E, etc. dérivent les uns des autres, est facile à saisir, et on peut trouver autant qu'on voudra de ces coefHciens. Reportant donc leurs
valeurs dans le développement (i), où -=z m, on aura (i+x) i+mx+— j-^x+ j-^-3 X
+ "^""^f/"7'^^"""^^^^+etc. ... (A)
Telle est donc la formule du binôme , qui se trouve démontrée, par les raisonnemens précédens , pour toutes les valeurs entières ou fractionnaires , positives ou négatives de l'exposant m. Mais cette formule étant vraie pour toutes les valeurs rationnelles de m , sera vraie aussi lorsque l'exposant m sera incommensurable (375). Et la généralité de l'algèbre conduit à faire usage de la même formule, lorsque l'exposant m est imaginaire. ,
Remarquons d'ailleurs que quand m =-, la formule du binôme a une infinité de termes. Et si l'on veut avoir égard aux q valeurs arithmétiques et algébriques de (1 + x)^, il faudra multiplier le second membre de la formule précédente par l'expression des q valeurs de i"*; car en désignant par ^ cette expression , et opérant comme nous l'avons fait, on aurait A=iRf ,
tt ^ serai! fiicteur commun à tous les termes du second membre dé la fonnule résultante.
Enfin, comme (a + ôr = a'"(i+^)'"=a'«(i + xy", en faisant -= jt; on voit que le développement de la puissance »■• de tf + ft est ramené à celui de (i +xy".
On peat voir, pages 3 16 et suivantes des Mélanges d*ana!jrse^ par M. DB Staihtxllb, une démonstration très-belle et trés-génénde de la formule du binôme , à Faide de la méthode des indéterminée^
474* Après les séries hinomiaïes que nous venons d^établîr , les plus udles à considérer sont les séries exponentielles. Proposons-nous donc de développer en série la valeur de a'. Pour cela , si nous prenons d^abord a = 1 -|- v, nous aurons
a'z^fi + vYz^i+xv-i — i ^•H — ^ ^\ V + etc.
Ce résultat fait voir que , quelle que soit la variable :r , on a
a'=i + Ax + Bx'+Ca:* + Dx^+ctc. (5)
A, 6, C, D, ..., étant des coefficîens fonctions de v, qu^il s^agît de déterminer. Pour y parvenir, on observe que cçs coeffidens sont indépendans de x, et que par conséquent on a aussi
û^= 1 +A^ + Bj-'+Cy + Dy+etc. (6) et a'+r=i + A(x+r) + B(:r+j-)'+C(x+^)^+etc.(7)
Or, quel que soit j^, on aura toujours û*"^^z=a^a^; donc le développement (7) sera toujours égal au produit des développemens (5) et (6), et par conséquent le coefficient de la première puissance de jr^ dans (7), sera toujours égal au coefficient de la première puissance de jr^ dans le produit de (5) par (6) ; il vient donc, en identifiant ces deux coefficiens,
A+aBx+3(lr'+4Dx'+-..=:A+A'x+ABx'+AGr'+—
Cette égalité étant vraie pour toutes les valeurs qu^op voudra donner à j:, il en résulte (469)
!iB = A% 3C = AB, 4D = AC, 5E = AD,ctc.;
d^où Ton tire aisément
A» Aï A4 A5
B=^, C = .^, D = — 1-T^ E=: :\ ^,etc. a ^ a. 3^ a. 3. 4 a .3.4.5'
Substituant ces valeurs dans Pidentité (5), elle devient
a'=: 1 + Aa: H -\ -\ 5-7 + etc.
Posons a = e^ et x^r-r^ nous aurons , réductions faîtes ,
.' = , + x + ^+;^ + ^ + ^ + etc.(B).
série dont la loi est évidente jusqu^à Tinfini.
475. De là il est aisé de tirer les séries logarithmiques \ car à cause de a = e^ et de a= 1 +i;, on a e^=i^v\ ce qui donne e^= (i -{~ '^1^* Substituant dans celte identité, les développemens de ses deux membres , il viendra , en supprimant 1 de part et d^autre , et en divisant par x ,
AH h etc. =v4 v' + i i-ir : v' + etc.
Puisque les deux membres de celte égalité sont identiques, ce qui est indépendant de x est le même de part et d^autre. Or, on aura ce qui est indépendant de x en faisant xzzi o, hypothèse qui est d^ailleurs permise, puisque Tégalité précédente a lien quel que soit x : on a ddnc
A = r__ + __-+-__ + clc.
Mais e^= 1 +^1 donne A/c = /(i + v); donc enfin
476. Cherchons actuellement là valeur numérique de « ; et pour cela , observons que le nombre e est indépendant de z , dans la formule (B), et qu'^ainsl, en faisant 2 =z 1, ^ ne chanr géra pas , et aura pour expression
Quoique cette série s^étende à Tinfini , elle a cependant une valeur finie. En effet , si pour abréger on prend d=. a . 3 . 4 • • • v,
Te v"* terme sera évidenunent -i : soit donc S la somme de tons
ceux qui le suivent \ il est clair qu^on aura
-|-ctc.
( aig )
Remplaçant par i; ^ i tous les facteurs v -f- ^ ^ ^ + 3 , etc.^ les dénominateurs diminueront; donc les fractions augmenteront, ainsi que leur somme ; et S, qui était Igal à la première somme, sera moindre que la seconde ; on auoa par conséquent
Le second membre est la somme des termes d^une progression géométrique décroissante, continuée à Pinfini. Si donc on prend Fexpr^îon de cette somme (4o6) , on verra que
S -< ^ , ou que S < le t;"* de ^•
De sorte que la somme de tous les termes qui suivent le v"^, est moindre que la v"** partie de ce v"*, dans la série qui donne e. Donc, puisque le treizième terme est moindre que o,ooooooooo3 , il s^'cnsuit que la somme de tous ceux qui le suivent est <^ o,oooooooooo3. Réduisant donc les treize i*''* termes de e en décimales^ jusqu^aux dix-billionièmes inclusivement , ce qui est facile , en prenant respectivement le tiers , le' quart, le dnquième, le sixième, ..., des résultats successif, la somme de ces i3 prcn\iers termes donnera e =12,7 182818285. En poussant plus loin les calculs, on aurait
^477- Les formules (A), (B), (C), sont susceptibles d'un grand nombre d'applications importantes ; mais avant d'en faire usage, il est essentiel de remarquer que quand une expression en x, que nous désignerons par/* (or), et qui s'énonceybnc/ib/i de x, est développée en série , on n'a rigoureusement
/(x)z=z a + ix-|- cx'-{- Ar'+ etc.,
qu'autant que l'on conçoit, en s'arrétant à l'un des termes du second membre , la série complétée par une certaine expression de X.
Si dans les applications particulières, la série est décroissante^ le terme complémentaire peut être conçu aussi petit qu^on veut , et peut par conséquent être négligé. Mais si la série est croiS' santç^ le terme complémentaire devient de plus en plus grand , et on ne saurait se dispenser d'y avoir égard. Voilà pourquoi les sériés croissantes ne peuvent jamais servir à l'évaluation ap-
( ■ «ao ) prochée des nombres. C^est aussi pour cela ^et les algébriste» appellent conyergenies^ les séries dont les termes vont en diminuant, et divergentes celles dont les termes vont en augmentant. Dans les premières, plus on prend de termes, plus la somme approche d^être numériquement égale à Texpression dont la série est le. développement, taiidis qu^au contraire, dans les autres, plus on prend de termes, plus leur somme diflère de Pexpression réduite en série.
478. On voit qu^nne série ne doit être employée aux évaluations numériques, que quand ses termes vont en diminuant. Mais dans ce cas même, comme elle a une infinité de termes, il est nécessaire de s^assurer que la somme de tous ceux qu^oa néglige n^ihfluera pas sur la valeur trouvée. Or, si tous les termes sont positifs, il suffira de comparer la somme dç tous ceux quW néglige à une progression géométrique décroissante , continuées à Pinfini , comme nous Pavons déjà fait dans le calcul du nomkrc e (476).
479. Mais si les termes de la série sont alternativement po» sitifs et négatifs , et vont en diminuant , la somme des n pre» miers termes différera de la somme de tous les termes^ d'une (ptantité moindre que /^ (n -}- 1 )"^ terme. En effet, soit S la valeur totale de la série ; puisque ses termes sont alternativement positifs et négatifs, et vont en diminuant, il est clair que deux termes consécutifs quelconques donneront un nombre positif ou négatif, suivant que le premier sera positif ou négatif. D'^après cela, si Pon prend la valeur v de tous les termes, jusqu^à un terme négatif, inclusivement, tous ceux qui suivront feront un nombre positif; donc on aura la série S^v, Et si à 1; on ajoute le terme positif t suivant , tous les autres feront un nombre négatif; donc on aura S < v + '• ^^^ conséquent , S = v , à moins du terme t près. Si Pon avait pris la valeur v jusqu^à nn terme négatif *— / , exclusivement , on aurait eu S <^ v et S ^ t; — f ; d,^où S =: 1;, à moins de t près.
480. Nous pouvons maintenant appliquer les séries à la solution de quelques problèmes. Proposons-nous d^abord de trouver nne formule propre à calculer aisément les tables de logarithmes.
Pour cela , on observe que la formule (C) a lieu quel que soit V , et qu^on peut y changer v en — v ; ce qui donne
Soustrayant ce résultat de la formule (G), on ajira
Posant == 1 + -î ce qui donne v = — —- et II 1
= Z(r-)-c{) — In, la formule (D) devient
/(« + J)/« = ./.[^+-;(^ + etc.] ... (E)
De là on tire , en faisant J = i ,
7(«+.) = /« + a/*[^ + j^^+etc.]...(F)
Cette formule fera connaître le logarithme de n -}- i , dès que ceux de e et de n seront connus.
481. Cherchons la limite de la somme S de tous les termes qui suivent le v icme entre crochets , dans la formule (E), Soit
h z= — —L \ le (v+ iV" terme sera T= — --: , et il est visible
qu^on aura
ttV+l l.«V+* JL»V+5
d^où Ton tire successivement
S<T(i + A' + A*+ctc.), S<Tx^.
48a. Revenons à la formule (F), et prenons-j successivement n=: 1 et n=4) ^ cause de /i =0 et de H=2hy nous auronf
/a = a/e[i+jl5 + 5^, + p5 + etc.]
Diaprés la limite de S, trouvée au ùuméro précédent, It somme de tous les termes .qui suivent le 7"* entre crocheti, dans la 1" de ces deux séries, est moindre que o,oooooooo3«, et dans la seconde, la somme des termes qui smyent le 4** est plus petite que 0^000000001 . Négligeant doQc ces deux sommes,
et réduisant en décimales tous les termes qui les prëcëdçnt , on
*«'•* /a = 0,6931 47a. Ze,
75 = 1,6094379. Ze; d'où /i o = /a + /5 =; 2,30^585 1 . Ze. -
Pour abréger les calculs algébriques, on prend ordinairement le nombre e pour base du système de logaritlimes, ce qui donne Ze = 1 ; et sXars les logarithmes sont nommes Népériens, Mais comme ici nous ne considérons que les logarithmes ordinaires^ nous aurons Zi o = 1 , et par conséquent
Zezn 1 ; a,3o2585i nz o, 434^94 5* On voit que Ze <^ ^. Si Ton effectuait tous les calculs jusqu'à ao décimales , on trouverait
le :=. 0,434^9448 '9^^^5182765.
Avec cette valeur de Ze, qui est le module des logarithmes ordinaires , la formule (F) donnera aisément les logarithmes ordinaires de tous les nombres premiers des tables , en y faisant
successivement n = i, 1, 4^ ^i '^1 ^^1 '^1 '^i ^^1 ^^i ^^* ^ comme la somme S de ious les termes qui suivent le premier, dans le multiplicateur de 2/e, est moindre que i divisé par ian(n-{-0(^'*'i'^)i valeur plus petite que o,oooooo5, lorsque n = 100, on voit que si Ton veut obtenir les logarithmes ordinaires avec 7 décimales exactes, la formule (F) donnera, pour tous les nombres n au-dessus de 1 00 ,
Z(/i+i)=zZn+-^...(G)
D'où il est aisé de se convaincre que quand n y> Soôoo , les logarithmes de deux nombres consécutifs ne diffèrent pas d'une demi-unité décimale du cinquième ordre (44^)*
Il existe , pour calculer les logaritlimes , des formules encore plus expéditives que la formule (F), et qui servent à exprimer des logarithmes en fonctions d'autres déjà connus. Mais ce qui précède suffit pour donner une idée de la facilité avec laquelle on pourrait construire d^s tables.
483. Maintenant soit proposé de calculer l'erreur que l'on ■ commet en établissant la proportion que prescrit l'usage des tables de logarithmes. Soient n^ n'\-d et n-\- 1 trois nombres qaelconques, dans lesquels on suppose rf^ i. Soient Inzzix^
l(n + rf) = X + ^ïc cl Z(n + i) = a: + ^ > îl est clair que c<^ 1, et qu^on aura, diaprés la définition des logaritlimes , b étant la base , ^
n = 6', n + d=l('+'"' et n + i=b'+''.
La dernière .de ces équatioDS et la première iburaissent
Elevant de part et d^autre à la puissance c, et multipliant ' ensuite par Téquation b'=n^ on aura
i-^+' = n(i+iy ou n + J=:/^(i+iy.
Développant le second membre diaprés la formule du binôme, et effaçai^l n de part et d^autrc , on trouve , en observant que
Les termes de cette série sont alternativement positifs et négatifs , et vont d^aillcurs en diminuant ; donc si Ton prend seulement le premier, Terreur sera moindre que le second , et à plus
forte raison , moindre que — : on aura donc
an
rf = C— -< — , ••.(6)
résultat auquel on parviendrait d^ailleurs en observant que tous les termes qui suivent le i*' c, dans 1^ série, font une somme
négative <iQ + l 4.^4- etc., àTinfîni^.
Cela posé, i* pour trouver le logarithme ordinaire de n+rf, on fait la proportion :
i:d::Kn+i) — ln:I(n + d) — ln, ou ildUalac,
et 6n en tire acrzad. Mais d'^après la valeur (6), on doit avoir
tfc =: arf + <-^ ; Perreur due à la proportion est donc < — •
Or, a design^ la différence entre deux logarithmes consécutif; et quand les noml^res sont plus grands que iQOo; cette différence est moindre que o,ooo45. D^où il suit que pour tout kl nombres au-dessus de 1000, la proportion doime au loga-
rithme cherché , une valeur qui ne differe pai de la Teritahle d^une quantité égale à
-^ — ^ ou à 0,00000020.
aooo
Ainsi pour tous les nombres plus grands que 1 000, Terreur de la proportion ne portera jamais sur les n^Uionièmes du logarithme cherché,
a* Lorsqu^on veut trouver le nombre correspondant au loga< rithme donné /(n -}-</), on fait la proportion
^làyJ(n'\-\)'-^ln\l{n'\'d)~ln, ou \ld\\alac.
et on en tire dznc. Mais diaprés Téquadon (6), on doit avoir
dz=:c — -^—'y Terreur due à la proportion est donc moindre
que — ou que o,ooo5, lorsque n ^ 1000. Ainsi pour tous les
nombres au-dessus de 1000, F erreur de la proportion ne portera jamais sur les millièmes du nombre demande'. '
Ce que nous venons de dire se rapporte aux tables de Lalande. A regard de ceHes de Gallct, on trouve^ d^une manière analogue, que quand les nombres sont au-dessus de 10000, Terreur de la propoction nVst pas de o,oooo5 pour le nombre , et de 0,0000000025 pour le logarithme. Ce principe et le précédent supposent néanmoins que les logarithmes consécutifs difièrent dans les dernières décimales conservées. Autrement Terreur de la proportion pourrait porter même sur les unités du nombre cherché (44^)*
On trouve dans les Mélanges d^algèbre , un grand nombre d^applications deis séries , et entre autres , Fextractios des racines des nombres au moyen des séries binomiales.
De la composition des équations.
484- Jusqu^à présent les algébristes ont fait des eÉorts inutiles pour résoudre généralement les équations des degrés supérieurs au quatrième ; et les formules qu^ils ont obtenues pour les valeurs de Tinconnue dans lés équations du troisième et du quatrième degré, sont si compliquées et dW usage si peu commode, lorsque toutefois on peut les appliquer, ce qui n'^est pas toujours possible, qu^on doit regarder le problème de la résolution des
équations générales de degrés supérieurs au second , comme n^é* tant réellement d^aucnne utilité. Aussi les analystes ont-ils dirigé principalement leurs recherches vers la résolution des équations numériques \ et ils ont trouvé des méthodes au moyen desquelles une équation numérique quelconque étant donnée, on peut tou^ jours déterminer les racines qu^elle renferme. Nous allons nous occuper de ces mé^odes \ mais nous ne parlerons pas de la recherche des racines imaginaires, parce qu^elle nous paraît beau* coup plus curieuse qu^utile.
485: Quelle que soit Téquation à une inconnue x , on peut toujours , sans altérer les valeurs de cette inconnue , chasser les dénominateurs , transposer les termes dafts le premier membre , réduire et diviser par le coefficient de la plus haute puissance * de x ; ce qui donnera une équation de la forme
^1 Qy •••1 T et U étant des nombres positifs, nul^ ou négatifs. Nous supposerons toujours qu^on ait préparé Pcquation ainsi qu^on vient de Tindiquer \ et pour abréger, nous représenterons Péquation transformée par X = o.
On sait quWe racine de Péquation X =r o , est une quantité a qui , mise à la place de a:, réduit X à zéro , ou donne
Or , une équation devant toujours être considérée comme la traduction algébrique des relations qu^ont entre elles les données et Pinconnue d^un problème , on est conduit naturellement au prindpe que ioute équation a au moins une racine. A la vérité, les conditions de Pénoncé peuvent être incompatibles \ mais alors on doit supposer qu^qn en serait averti par quelques symboles d^absurdité , tels que des expressions infim'es ou imaginaires , et il nVn existerait pas moins une expression algébrique qui , substituée à la place de x, dans Péquation , y satisferait. Nous admettrons donc le principe précédent, qui sera d^aiUeurs vérifié pour le plus grand nombre d^équations.
486. Soit a une quantité prise au hasard : divisons le polj^ nome X par x — n, soit q le quotient et r le reste, qui sera ih' dépendant de x ^ nous aurons Pidentité X =: </ (a: — a) -|- r.
Si Pon fait x = 11 , le reste r ne changera pas , puisqu^il ne contient pas x : et conmie alors on avra X = r, il s^ensuit que
JLLGÊBRE. i5
r est précisëiçent ce que devient le polynôme proposé X lorsqu'on j change x en ^ . D'après cela , si a est ou n'est pas racine de X=:o , le reste r sera ou ne sera pas nul ; et le poly^ nome X sera ou ne sera pas divisible exactement par x — a. Réciproquement , si X est ou n'est pas divisible exactement par X— -a, le reste r sera ou ne sera pas nul, et /z sera ou ne sera pas racine de X == o. Donc si a est une racine de V équation TL.zno^le premier membre X sera divisible exactement par X — 2l^ et ne le sera que dans ce cas.
Si l'bn efTectue réellement la division du poljnome X par X— -a, le quotient q sera de la forme
et on verra que , dans ce quotient , on a P' =z a + P ;
Q'=:û* + tfP + Qi ou Q' = ûF + Q;
R' = a* + û'P + aQ + R, ou R'=zaQ' + R5
S' = û^ + fl'P + û'Q + £ïR + S, ou S'=:ûR' + S; et ainsi de suite.
^ D'où il suit qu'on aura un coefficient quelconque du quotient de X par x — a , en multipliant le coefficient précédent par a , et en ajoutant au produit le coefficient qui^ dans le dividende ^ occupe le même r/mg que celui que Von cherche. C'est, ainsi que , dans la division de x — 5a:* + 4-a^ — 6 par x — 2 ,' on trouve , pour les coefUciens successifs jdu quotient : 1 , puis 1X2 — 5 ou— 3, et — 3X2 + 4 ou — a: le reste est — 2 X a — 6 ou — - 10. Et en effet, on obtient x* — Zx — 2 pour quotient et — 10 pour reste.
487, Nous venons de voir que l'équation X=: o ajant q pour racine, le premier membre X est divisibl^exactement par x— « , et donne tm quotient q du degré m — 1 en x : on a donc
Si h est racine de l'équation q = Q^ q sera divisible exactc- .ment par x — t , et donnera im quotient q^ du degré m— 2 en X ^ de sorte qu'on aura qz=iq* {x — 6) et
De même , c étant racine de l'équation q'=zo^ q' sera divisible exactement par x— c, et il viendra ^= ^"(x — c) \ d'où
( a27 ) Raisonnant de même pour ^"=0, 9'"=:o, et ainsi de suite, on Terra que le plus haut exposant de x diminue, continuellement d'une unité dans les quotiens successifs q^ q\ q^\ ç"', ... • et qu'^après m — a divisions, il y aura m — 2 facteurs binômes en évidence, et un quotient du secoYid degré, décomposable lui-même eu {x — K) {x — /). Donc, en admettant que toute équation ait une racine^ le poljrnome X sera formé du produit de la facteurs binômes du premier degré en x , et l'on aura
X = (x— fl)(x—i)(a:— c) (a:— rf)...(x— A) (x— /)...(!).
Cette équation est identique ^ c'est-à-dire quil n'y a d'autre différence entre les deux membres que dans leur expression ana« lytique, différence qui cesse dès qu'ion exécute les opérations indiquées.
488. Maintenant, si a* est différent de cliacune des quantités n, fr, c, </, ..., /, je dis que le polynôme X ne sera pas divisible exactement par x — a'. En eflët, si cette division était possible; en désignant par A le quotient exact, on atu-ait X = A(x — a'S: donc, en faisant xz=za*^ il viendrait X=r o, et par suite
(a'—aXa'—b)(af—c)(a'—d) ... (a'^l)z=zo ... (a)
Or, a' n'étant pas égal à tf , a' — a n'*est pas nul : de même, aucun des facteurs a' — &, a' — c, a' — //, •.., a' — /, n'est zéro. Donc en divisant les deux membres de Téquation (a), succès sivemeut par diacun des iactcurs du premier , à l'exception de a^ — / , tous les quotiens successifs *du second membre seront nuls, et l'on aura u' — /= o, ou a'=l^ ce qui est contre l'hypothèse. Donc X n'est pas. divisible par x — a'. Donc enfin , tout polynôme du degré va en -s. a m facteur s binômes du pre* mier degrés et ne peut en avoir davantage.
489. L'identité (1) montre que l'équaUon X = o i^st satisfaite par chacune des m valeui-s j::=tf , x=&, x=:c, ±=zd^ .,., X = /. Mais elle ne peut Fétre par aucune autre valeur différente; car l'existence d'une racine a' différente de ^ , 2», c, ^, ..*, /, entraîne l'existence d'un diviseur x — a' différent de X— -a, X — fc, X — c, X— rf, ..., X — 1\ ce qui est imposable (488). Donc en général, toute équation du degré m am ra^ cines , et ne peut en avoir davantage.
Ce principe est vrai encore quand Inéquation X = o a » factenn égaux à x^^a^p facteurs égaux à x — ^, etc.; mais aiorT
( "8 ) on dit que cette équation a n racines égàks <^ a , p racines égales à b , etc. .
490. Multipliant deux à deux, trois à trois, etc., les m diviseurs binôme^ de X, lesquels sont du premier degré en x, on formera {m{m — 1) diviseurs du second degré (456), 5111(111 -^ i)(iit — 1) du troisième, et ainsi de suite.
491 . L^identîté (1) étant la même chose que aJ»+Px^'4-Qx'^+...=(x-a)(a:-&)(r-c)...(x-/)î
si Ton effectue la multiplication des m facteurs du second membre, les coeffîciens d\me même puissance de x, dans les deux membres, seront nécessairement égaux (468) : donc, en se rappelant là loi établie (462) pour avoir le produit de m facteurs ' binômes, et observant que les seconds termes de ceux que nous considérons ici, sont sous la forme négative, on verra que,
1* Le coelncîcnt P du second terme, pris en signe coçtraire, est la somme des m racines ; 2* le coefficient Q du troisième terme est la somme de tous les produits différens des racines , combinées deux à deux \ 3* le coefficient R du quatrième terme, pris en signe contraire , est la somme de tous les produits des racines; combinées trois à trois ; et ainsi de suite. Enfin , le dernier terme U, pris en signe contraire, si le degré est impair, est le produit de toutes les racines (*). Cest ce qu^on vérifie aisé-
(*) Les relations que nous venons d^énoncer entre les racines et les eoéffidens d^one équation, ne suffisent pas pour de'terminer les racines de cette équation. Par exemple , considérons Téquation du troisième degré x^ -f- Px' -|- Qx -|- R = o, et soient a, ^, c, ses trois racines, nous aurons donc'
a -|- i -j- c == — P , a& -)- ac -|- &c == Q et ab€ r=; — R.
Multipliant la première de ces équations par' a', la seconde par — a, et ajoutant la troisième à la somme des deux résultats,' il viendra a^ -f" Pa« -f- Qa H- R = o. On aurait de même, 5^ -|- P*« -|- Q* + ï^ = o et c} -f- Pc* -f- (^c 4- R= o. De sorte qu^on doit résoudre une équation semblable à la proposée, soit pour avoir a, soit pour avoir b ou c. Et c'*est ce qui devait arriver; car les quantités a, 6, c, étant toutes disposées de la m^e manière dans chacune des trois équations à résoudre, il n^y a pas de raison pour que Pune soit déterminée par une équation différente de celle qui détermine Pautre ; les trois quantités a, 5, c, doivent donc être racines dWe même équation qui, par conséquent, doit être du troisième degré. En général, lorsque des inconnues entrent de la même manière dans des équations^ ces inconnues sont toutes racines de. la même équation Jinale»
ment dans Tëquation x^ — x^ — aSx' -{" ^7 j: + 60 == o , dont les racines sont 4 1 — 1 <» + ^ ^'' — 5.
Au moyen de ces relations , on trouve facilement Téquation dont les racines sont données , et Ton ramène au second degré les problèmes que vt>ici :
1* Résoudre une équation du troisième jiegré dont les racines sont en progression géométrique, comme x^ — i4x' — 84^? + 316 = 0.
2^ Résoudre Péquation du quatrième degré dont les racines forment une équidifierence , telle que x^ — i^ +67X* — 1 ii6x + 73 = 0.
3* Résoudre une équation du quatrième degré dont les racines sont en proportion géométrique, comme x^ — aox'-|-io8x'' — 36oa: + 824 = o.
4* Enfin , résoudre une équation dont les racines sont en progression arithmétique , telle que x^ — 4^-^^ + SgSo?^ — 4^4^-*^' -}- 12164X — ia32o =: o.
De la transformation des équations.
492. Le but général de la transformation des équations , est de les ramener à d^autres plus faciles à traiter ; ce qui donne lieu à plusieurs questions , dont nous allons examiner les plus importantes.
Proposons-nous d^abord €2e transformer une équation en une autre dont tous les coejjiciens soient entiers^ et dont celui du premier terme soit V unité. Pour cela , on commence par chasser les dénominateurs et par transposer les termes dans le premier membre , ce qui donne une équation de la forme
Nx^+Px^-' + Qx'^H l-Tx + U = oi ...(r)
Ensuite, on pose x =z ^ , et il vient
j;!!L 4. ^[^ -L. 2Z^ -1 l^4-U = o: d'oà
y"+ py^' + îïQy^+ ••• + N^Tr + îî'^'^' = O .
équation demandée dont les racines sont N fois plus grandes que celles de Téquation proposée (1), car^r= Nx. Ainsi pour Iramiormer une équaâon en une autre dont tous le» coeffideos
C «3o ) soient des nombres entiers et celui du premier terme Punité , il faut /après, avoir chasse les dénominateurs et avoir transposé , égaler Hnconnue à une autre divisée par le coefficient N du premier terme \ calcul qui revient à multiplier le^ côefficiens , à partir du second terme, par N*, N', N', ... , N"^'.
Soit par exemple, x^ — ^x +|r* — |jr — ? = o; on en déduira d'abord i2x^ — 8x +ï^"^' — 9^ — 4^ = 0; faisant ensuite X = jiX'i c^est-à-dire , multipliant les côefficiens 10, 9 et 4a par 12, la* et i!»^, il viendra kf transformée^
493. < On peut quelquefois obtenir une transformée ayanrdcs côefficiens plus simples que par la méthode précédente : il suffit ,
pour cela , dans or zz ~ , de choisir D de manière que D"* étant
divisible par N, Pexpression -=^ soit un multiple de^D"*"'.
Dans Pexemple précédent, on prendra arzngj*, et la transformée sôrâ j"^ — 4j* "4" ^9/* — * ^V — 4536 = 0. D'après cette méthode, si Ton avait les équations 3 7x> , iix a6 ,5 3 / , 5x» nx , a3
3^36 ^2 ^ 4 ^ la 9^108 ^'
on poserait xz=^ dans la première et a: = ^^ dans la seconde.
. Si Ton avait x^— ^x'^ + lix' + -^x — ^ = o , on prendrait X = j^jr.
494* Etant donnée une équation , trouver sa réciproque. ] SoftNx^ + Pj^^' + Qr^--| |-Tar+U = o l'équation donnée. Si l'on fait z* = - , les plus grandes valeurs de x
répondront aux plus petites de ^*, et réciproquement : la transformée sera donc la réciproque de la proposée , et deviendra
Ce calcul revient, comme on voit, à distribuer les puissances
de Y en ordre inverse de celles de x. Et si Ton veut en outre
chasser le coefficient U, on posera x == — , transformation qui
remplit d'un seul coup les deux conditions imposées;
