Faire évanouir le second terme d'une équation

Soit Nx'^-f- Px'»-' + Qx^* + ••• + Tx +Uc= o Téqui-

tioo proposée. Faisons x = m+^Î développons diaprés le hinome de Newton, et ordonnons par rapport aux puissances descendantes dejr\ nous aurons

Njr^+ mNw r^-* 4- ç (m — i ) Ni*y"-* +— + Nu*"

-{- etc.

Comme m est arbitraire , on peut en disposer pour satisfaire à

Féquation mNii-f-P=^o, condition qui fait évanouir le second

p terme de la transformée en r, et qruî donne m = r? ; d'où

X zrj* — • Ainsi pour faire disparaître le second term^ d'une

équation , il faut remplacer Tlnconnue par une autre, augmentée du coefficient du second terme, pris en signe contraire et divisé par autant de fois le degré de Féquation qu'il y a d'unités dans^ le coefficient du premier terme.

Par exemple, si l'on a l'équatloa 2x^ — 4-^^+5a:'— ^rzo, et qu'on veuille faire disparaître le second terme, on posera X z=,jr +T4 ^^^y + î > ^' ^^ transformée en y sera ij^ -f- aj/*

496. Au lieu de faire disparaître le second terme, on peut demander que l'équation soit privée du troisième, du quatrième, etc. Il suffit, pour cela, d'égaler à zéro le coefficient dej'^*^, de j^^''^^, etc. \ ce qui conduit à résoudre une équation du second, du troisième degré en u, et il en résulte par conséquent plusieurs valeurs de u qui satisfont à la condition demandée.

Enfin, pour faire disparaître le dernier terme, il faudra r^ soudre l'équation

Nu'" + Pu'"- + Qa'"-' ^ h Ta + U = o,

qui n'est autre chose que la proposée , dans laquelle on a reni> placé X par u. Et en effet, égaler à zéro le dernier terme de la transformée en y^ terme qui est le produit de toutes les valeurs de f^ c'est supposer nulle une de ces valeurs \ la valeur corres* pondante à^ x est donc xznu.

U eçt bon de remarquer que les racines de la transformée e^^.

trouvée plus haut , sont égales à celles de Tcquation proposée , 'diminuées chacune de u. .

497* Trouver une méthode pour obienir aisément^ dans la pratique^ le poljrnome que fournit la supposition de x=u-^y dans un polynôme donné*

Soit Nwc^+ Vj^"' + Qx^' 4. . : . 4- Tx + U le polynôme proposé. Si Ton y fait x=m+^i ^^ qu'on djéveloppe, d'après la formule du binôme, on aura, en ordonnant suivant les puissances ascendantes de jr^

+ Pb"^' + (m - 1 ) P^u"^ -f ^ (m - 2) Pr'a"»-* + . . •

+ Qu»^ + (m-a) Q^tt'»-' + ^ (m- 3) Q^V"-* ^ ...