T« + Ty

Ce résultat peut -être rcprésenlé par

en faisant

X = Nu'" + P«^-' + Q/*"'-' H J- Tu + U ,

X, = mNii'"-* + (m-i)tu'"- + (r«-2)Q«'"-^H ^T,

X,=:m(m-i)Nu'"-^ + (TO-i)(m-.2)P£/'"-'+.- Xj = m(m-i)(m-2)Nu''^ + (m-i)(m-2)(in-3)P£i"'-^+.-. etc

On voit que X désigne le polynôme proposé, après avoir changé or en k ; que X, se déduit du poljrnome X en multipliant chaque terme de ce polynôme par V exposant de u dans ce même, terme ^ et en diminuant cet exposant d^une unité; sur quoi il faut observer que U ou Um° devient alors ©«Uw""' ou o. De même, X^ se déduit de X^ d'après La loi que Ton vient d'énoncer pour déduire X^ de X ; Xj. se déduit de X^^, d'après la même loi \ et ainsi de suite. De sorte que les quantités X, X^, X, , X3 , etc. , se déduisent les unes des autres d'après une loi constante. Cette propriété leur a fait donner le noni dejbnc' tions dérivées : X est la dérivée de X, X^ la dérifée de X.,

( a33 ) et ainsi des autres. En général, la dérivée dW polynôme en x est un autre polynôme formé en multipliant chaque terme du premier par Pcxposant de x dans ce même terme , et en diminuant cet exposant d^une unité.

498. Pour appliquer cette loi , proposons-nous de faire éva-, nouir le second terme de Péquation

Diaprés la règle du n" 498 , il faut poser x zzzy -f- 3 , ce qui donnera une transformée du quatrième degré de la forme

et tout se réduit à calculer X, X^ , X^ et Xj , d'après la loi précédente. Or, X est ce que devient le premier membre de Téquation proposée en y remplaçant x par 3 \ ainsi

Xi=:3^—ia. 3^+17. 3'— 9.3 + 7; d'où X=:— 110; X^zi:4.3 — 36.3'-4-34.3 — 9; d'où X, = — 123;

X,= 11. 3'— 72.3 + 34; d'oùiX, = — 37;

X3=z24'3 — 72; d'où 5X3 = 0.

Ponc la transformée devient

Nous aurons dans la suite de fréquentes occasions d'employer les polynômes dérivés ; et il est par conséquent utile de retenir la loi de leur formation.

Des limites des racines.

499* ^" appelle Umiie supérieure des racines positives d'une équation , tout nombre qui surpasse la plus jgrande de ces racines positives ; et Ton nomme limite inférieure^ le nomibre moindre que la plus petite racine positive.

5oo. Soit A — B une équation du degré m, dans laquelle A désigne la somme de tous les termes positifs et B celle de tous les termes négatifs. Soit S le plus grand coefficient et ra le plus grand exposant pris parmi les termes négatifs ; la somme B de ces termes sera donc moindre que si tous leurs coefficicns étaient égaux au plus grand S d'entre eux ; et on aura

B<S(a/»+x«-'H j-x' + x + i); d'où

> ( *34 ) i<S^^:^l:=l et B<^'

Soit 'Rj/' un terme ppsitif de Téquation proposée, dans lequel r^fi'^ il est clair que A^Ro/*. Prenons x de manière quW ait

Il est clair, à plus forte raison, qu^on aura Rx^^B et A^B.

Mais x'-"-' > {x-iy^-^' ; donc (x-i )x^-' > (x-i/"". Si donc on pose >

(r— .i7-» = |, ou x = i + p>^| = L,

Tinégalité (i) sera satisfaite; et toute valeur de x plus grande que la précédente L , satisfera , à plus forte raison , à cette inégalité , et donnera conséquemment A ^ B. D^où il suit que L et tout nombre plus grand, mis à la place de x, dans Péquation A — B = o , rendent la partie positive A supérieure à la partie négative B , et donnent constamment A — B ^ o. Donc L estune linlitc supérieure des racines positives de Téquation proposée.

Soi . Si B.=: 1 , cVst-à-dire, si R est le coefficient du premier terme de Téquation A — B = o ; comme ce premier terme est a^^ on aura r=zm^ et la limite supérieure des racines positives

sera i + I >^ S.

D^ailleurs , la racine (m — n)°** de S étant moindre que S , cette limite sera, à plus forte raison, i -f- S, ou V unité augmentée du plus grand coefficient négatif.

Soit Téquatîon x^ + 'ôx^ -|- 8x — ']x* — \ix — ^oz=io: d'après la première limite L trouvée plus haut (5oo), il est clair que dans cette équation , on aura toujours x < i -|- |/4 ^** x^Z\ c^est-à-dire que la plus grande racine positive est moindre que 3. La seconde limite trouvée au numéro précédent donner$dt x -< i + 1^4^ ou x -< 5 ; et la troisième i + S fournirait X'^^x.

5o2. La limite i -|- S jouissant de la propriété de rendre le * premier terme sP* de Péquation , supérieur à la somme aritlunétique de tous les autres, on la préfère quand il ne s^agit que de démontrer des propositions générales , parce (pi^elle se forme à vue et sans aucun calcul. Mais lorsqu^on procède à la recherche

des valeurs numériques des racines, il ^importe beaucoup de choisir pour limite supérieure un nombre le moins élevé possible et le plus près qu^il se peut de la plus grande racine. U est donc plus avantageux d^employer, quand il est possible, la première limite i -)- 2iî racine (r-n)^* de :^^ou encore la seconde,

i -^ la racine (m-ny* de S. On doit même chercher à s'en procurer une plus petite que ces dernières ; et c'est k quoi Ton parvient souvent par ome transformation exécutée siur Péquatioa proposée. Par exemple , si Ton a Téquation

x^ — 3x^ 4- 8x' — aSx* +4"^ — Sg = o ,

on la mettra sous la forme

x^(x — 3) + 8a:*(ar— V) + 4(x — f) = o.

Sous cette forme on voit qu'en mettant pour x, lo ou tout autre nombre plus grand , on obtiendra constamment un résultat positif; donc lo est imc limite des racines positives.

L'équation x* — 5x^ — i Sx' + * 7^* — 69 = o , étant mise sous la forme x^ (x' — Sx — 13) + 17 C-^^' — Ç8) = o , on voit que si la moindre valeur positive de x, qui rend nul le trinôme* X* — 5x— i3, rend positif le binôme x' — ÇÇ, cette moindre valeur sera une limite supérieure. Or, x* — Sx — i3=:o donne x=-^ et x= — I : et comme (^)*>?Ç, il s'ensuit que x<7, dans l'équation proposée.

5o3. La méthode des transformations consiste, comme on voit, h décomposer le premier membre en plusieurs produits de deux facteurs , dont le premier soit un monôme positif et le second un binôme ou un trinôme en x \ puis à déterminer x de manière que tous les facteiu^ entre- parenthèses soient positifs.

Par exemple, l'équation

x^ — 20x*+ a6ox*-}- 3x' — looox* — 4®®^^* -^8600 = 0,

peut s'écrire comme il suit :

x*(x'- ÎOX+ 1 00) -)- 1 60X*-}- 3x*- 1 ôoox*- 4^^<>^®^ - 8600 = o.

Or, le trinôme x' — aox -}- 100 étant le carré de x — 10,. sera positif poiv toutes les valeurs réelles de x ; donc il suffit de prendre x de manière que i6ox^ soit ^ que la partie négative; on doit donc faire usage de la première limite (5oo), et on verra quex<i-fj/^; d'oùx<i6.

Considérons encore Téquation

X* — lox*-»- lia?' + 7-^** — ^9^ + 35 = 0 ^

elle devient x' (x* — lox — 1 1) -|- 7 (x* — ^x + 5) =: o.

Les racines de x* — ^x -|- 5 = o étant imaginaires, le second trinôme sera positif pour toutes les valeurs positives de x ; il suffit donc de chercher les valeurs de x qui rendent nul le trinome x' — lox — 1 1 . Or, ces valeurs sont x = 1 1 et x=— 1 5 1 1 est donc la limite supérieure des racines positives de Féquation proposée.

LVquation x^ — 8x^ + 17^ — 3ox + 3oox* — 4^ox -f- 4^ = o , devient x^ (x' — 8x + 17) — 3ox (x* — 1 ox + 16) -f- 4o :=: o.

Le premier trinôme sera toujours positif et plus grand que le second ^ si donc on prend x* =: 3ox , d^où x <^ 4 1 '^ premier membre sera nécessairement positif^ 4 ^^ donc une limite supé- ■ rieure des racines positives.

5o4* La méthode qui fournit la limite la plus simple , bien qu^elle donne lieu à des calculs assez longs , est celle des dt^ri" vées successives^ due à Newton. Voici cette méthode : Dans Téquation proposée, faisons x = a +^, u étant quelconque ; la transformée sera (497) X+Xj^-j-^X^^'+...-t-N^zzro. ' Prenant l'arbitraire u telle que tous les coeffîciensX, X^, X , etc. soient positifs, aucune valeur positive de j^ ne pourra satisfaire à cette équation ^. les valeurs réelles de x correspondent donc à des racines négatives de^ = x — u\ u sera donc plus grand que X. D'où il suit que tout nombre u, qui mis à la place de X dans F équation li=zo et dans ses dérivées successives X^ , X,, erc, n*en rend aucune négative^ est une limite supérieure des racines positives de cette équation.

Par exemple, soit l'équation

Gomme u est un signe indéterminé , on peut conserver la lettre X dans la formation des polynômes dérivés , et il vient

X^=z4^ — i5x' — 12X — 19^ îX^zzîfix* — i5x — 6, gXj =i^x — 5.

C »37 ) . On voit que x:^a rend le dernier poljnome positif: a substitue dans le poljnome du second degré, donne un résultat négatif; il en est de même de 3 ; mais 4 ou tout nombre ^ 4 > donne un résultat positif : 4 substitué dans le poljnome du 3"** degré, donne un résultat négatif, mais 5 donne un résultat positif ; et il en serait de même de tout nombre plus grand. Enfin , 5 substitué dans X, donne un résultat négatif, et il en est de même de G \ mais x = 7 donne un résultat positif. Donc 7 eàt la limite supérieure des racines positives de la proposée \ et c^esC la plus simple en nombre entier, puisque x = 6 donne un résultat négatif.

505. Cherchons maintenant la limite numériquement supé^ rieure .des racines négatives, et les limites inférieures des racines positives et négatives.

i' Si dans Péqualion X=o, on fait x= — j-^ ce qui donne la transformée Y= o, qu^on trouve en changeant simplement les signes des termes à puissances impaires de X= o , il est clair que les racines négatives de x répondent aux racines positives de jTy et réciproquement. Si donc U est la limite supérieure des racines positives, dans' Y = o , — L' sera la limite numérique* ment supérieur r, des racines négatives de x, dans X r= o.

a* Si dans X = o , on fait or :^~, aux plus grandes valeurs

positives de^ répondront les plus petites de x, et réciproquement : donc L étant la limite supérieure des racines positives de

la transformée Y = o , d'où ^ -< L , on aura x ^ r- , et r- sera la limite inférieure des racines positives de x.

3* Enfin , si dans X=: o , on fait xzn , et qu'on cherche

la limite supérieure L des racines positives de jr dans la transformée Y=o, — Y sera la limite inférieure des racines négOr tiyes de la proposée.

De Vexistence des racines réelles,

506. L'existence des racines réelles d'une équation est fondée sur le principe que voici : Si deux nombres substitués à la place de x, é^ns une équation numérique y donnent deux ré'

sultats de signes contraires^ ces deux nombres interceptent au moins une racine réelle de la proposée.

SoitNx^+Px^-' + Qx'^H hTJt: + U = oréqua.

tion. Son premier membre renfermant en général des termes positifs et des termes négatifs , désîgûons par A Pensemble des termes positifs^, et par — B Fcnsemble des termes négatifs ; Péquation prend alors la forme A — B = o. -^

Supposons d^abord que les nombres p eiqy substitués à x ^ soient positifs , et qu^on sàip<^q\ supposons de plus que x^zp donne un résultat négatif ou A <^ B ^ et que xzzzq donne un résultat positif ou A ^ B. Comme les quantités A et B qe contiennent que des termes additifs,, et des puissances entières et positives de x , il est clair que ces quantités croissent Pune et Pautre à mesure que x a\igmente : concevant donc que Pon fasse croître x par degrés insensibles , depuis p jusqu'^à q , les quantités A et B augmenteront aussi par degrés insensibles (*). Cependant, puisque A, d^abord plus petit/ que B, devient ensuite plus grand , il faut nécessairement qu^il ait un accroissement plus rapide que B , qui détruise insensiblement Pexcès que B avait sur A , et finisse par produire un excès en sens contraire. On conçoit , diaprés cela , que du passage de A <[ B à A ^ B , ' il doit y avoir un point intermédiaire oî!i A devient égal à B \ donc le nombre positif qui produit cette égalité de A à B , donnant A — B = o , est nécessairement une racine positive de Péquation proposée A — B = o.

Supposons maintenant que les nombres substitués à x soient négatifs , et posons x rz — -^ : il est clair quVn faisant yzap

(*} En effet, conside'rons le polynôme A, par exemple, soit fait x=« et x=ra -|- u, les résultats Â' et .V-|~ Bu-|' Ci^' + Dm3 -|- etc. ont pour différence u (6 -j- Cu-f- etc.) \ il s^agii de trouver pour u, une valeur qui rende cette différence moindre que toute quantité h donnée. Tout est ici positif, u trds-petit et ^ i *, donc

u (B + Oi + etc.) < u (B + C -f etc.).

Si donc on prend pour u une valeur telle que n (B 4- C -f- etc.) =: A, valeur nécessairement f.nie et au-dessus de o , on aura réellement la dil^ férence u ( B -f- Cu -{- etc.) ^ A. On peut donc toujours donner à x une suite de valeurs telles, que les polynômes A et B croissent de qiumtilés aussi petites qu^on voudra, et finissent par différer Pun de Tautre d^uae quantité moindre que toute grandeur donnée.

et j^=^, dans la transformée, on aura précisément les mêmes résultats qu^en faisant x = — p et xzz, — q dans la proposée ; on aura donc deux résultats de signes contraires. Par conséquent, d'après ce qu'on vient de voir, Tcquation-cn ^ aura an moins une racine réelle positive , comprise entre pttq\ donc Péquation en x aura a\i moins une racine réelle négative entre — p et — q.

Enfin , siipposons que les deux nombres substitués à x, soient Fun positif et l'autre négatif; en faisant x = o dans l'équation, son premier membre se réduit à son dernier terme , qui est nécessairement d'un signe contraire à celui que donne x m p ouxzz: *—^ ; il y a donc au moins une racine réelle comprise entre o et p, ou entre o et — ç.

On voit donc , dans tous les cas , que si deux nombres etc.

607. Il est bon d'observer qu'il pourrait exister plusieurs racines réelles a^ &, c, etc., entre les deux nombres substitués p et q. Or, soity(a:) le produit des facteurs simples en x correspondant aux racines réelles non interceptées et aux racines imaginaires. Le premier membre de l'équation proposée sera nécessairerbent de la forme

f{x){x — d){x — h){x — c)(x — rf)....

Substituons maintenant p et 9 & la place de ir, nous aurons

Ap){p-a){p-b){p-c)(^p-d)...,{i)

Les deux quantités y (p) ei/(q) sont nécessairement de même signe, puisqu'autrcment, en vertu du principe précédent, y*(j?) :=: o aurait au moins une racine réelle comprise entre p etq^ ce qui est contre l'hypothèse.

Cela posé, p étant supposé moindre que q^ et les racines a^ & , c, etc., se trouvant entre p et 9, il s'ensuit que p est moindre que chacune de ces racines et q plus grand ; donc tous les facteurs q^^a^ q — h^q — c, ..., sont positifs, et le produit (2) a le même signe ^p^fi^q^ o^ ^^J'ip) • ^^^* '^* facteurs p — a^ p — l^ p — c, ...^ sont négatifi ; donc suivant que le nombre de ces acteurs est impair ou pair, le produit (1) a un signe contraire ou un signe pareil à celui dey*(p), c'est-à-dire à celui du produit (:»). Par conséquent , suivant que le nonSre des racines réelles ^ comprises entre les nombres ^substitués petq^

est impair ou paity les résultats (i) et (2) des substitutions sont de signes contraires ou de même signe.

On voit par là que si deux nombres substitués à la place de Xy dans une équation, donnent deux résultats de signes contraires, ils interceptent au moins une racine réeUe \ mais ils peuvent aussi en intercepter un nombre impair quelconque : et s^ils donnent deux résultats de même signe, ou ils n^inierceptent pas de racines, ou bien ils en comprennent un nombre pair quelconque.

Le principe fondamental que nous avons considéré (5o6) fournit plusieurs conséquences importantes que nous allons faire connaître.

508. Toute équation de degré impair^ dont les coefficiens sont réels y a au moins une racine réelle de signe contraire à son dernier terme.

En effet, soit Nx'^+Px^-' + Qir^-^H |uTx+U = o

Téquation proposée , et considérons d'^abord le cas où le dernier terme est négatif. En faisant x = o dans Féquation, le premier membre se réduit à — U : d^un autre côté , si Ton substitue à la place de x, S-|- 1, c^est-à-dire le plus grand coefficient de Péfjuation augmenté de Punité , le premier terme "Nx^ sera positif et plus grand à lui seul que la sonmie arithmétique de tous les autres termes (5o 1 ) ; le résultat de la substitution sera par conséquent positif. Donc il j a au moins une racine réellç comprise entre o et S -}- 1 , laquelle racine est positive , c^est-à-dîre de signe contraire au dernier terme.

Supposons actuellement le dernier terme positif^ en faisant toujours j: = o , on trouve pour résultat -}- U : mais en mettant pour X, — (S-f-i)i on obtiendra nécessairement un résultat négatif, puisque le premier terme "Nx"^ devient négatif par cette substitution , et donne son signe à toute Pexpression (Soi) : donc Téquation a au moins une racine réelle comprise entre o et — (S -|- 1)1 c'est-à-dire négative ou de signe contraire au dernier terme.

509. Toute équation de degré pair^ à coefficiens réels ^ dont le dernier terme est négatifs a au moins deux racines réelles^ V une positive et Vautre négative»

En effet , soit — U son dernier terme ; en faisant x =: o , on trouve^our résultat — rlJ ;'mais en substituant à x, soit S +1, soit '— (S-f 1), S étant toujours le plus grand coefficient; alors,

comme m est pair, lè premier terme "Sfa/^ sera positif : d^ailleurs il devient plus grand , par ces substitutions , que la somme de tous les autres (Soi)^ donc les deux résultats sont positifs et de lignes contraires à celui que donne jcz:zo. Ainsi Téquation a au moins deux racines réelles , Tune comprise entre o et S -f- 1 ou positive , et Pautre entre o et — (S -}- i ) ou négative.

5 10. En rapprochant les conséquences précédentes, on voit qu'il est prouvé, sans se fonder sur le tliéorcme du n* 487, que toute équation a au moins une racine réelle : le seul cas oîi cette proposition ne soit pas démontrée , est celui où le degré de Téquation est pair et le dernier* terme U positif; car alors , en substituant à or, S + i ou — (S -f- O1 ^^^ ^^"^ résultats sont positifs et de même signe que le nombre U fourni par or zn o : donc on ne peut rien en conclure pour Texistence d^une racine réelle. Mais si dans ce cas , les racines de Téquation ne sont pas réelles, on conçoit du moins* qu'elles peuvent être imaginaires, comme on le voit dans les équations du second degré. On est donc fondé à admettre le principe que toute équation a une racine, (Test d'ailleurs ce que MM. de Stauiville et Câucnr ont démontré \ mais leurs démonstrations ne sont pas de nature à trouver place dans les élémens.

5 i 1 . Lorsqu'un poljrnome X ^fonction de x , égalé à zéro , n'tf pas de racines réelles^ il conserve le signe de son dernier terme^ quelque notnhre qu'on jr substitue pour x. Car on peut toujours donner à x une vuleur telle, que le premier terme^Na;"* surpasse la sonune de tous les autres (5o 1 ) ; et alors le poljrnome aura le signe de ce premier terme. Si ensuite une autre valeur substituée à jc pouvait changer le signe du polynôme X, Féquation X = o aurait au moins une racine réelle comprise entre Iqs deux nombres substitués ; ce qui est contre Thypothèse.

La rédproque de ce théorème est fausse, c'est à-dire que de» polynômes en or, qui ne peuvent jamais changer de signe, sonC qoelquefois réduits à zéro par des valeurs réelles de a:. LVqualion {a: — 3/ (ar — 1 )' =z o est dans ce cas.

5i2« Toute équation qui n^a que des permanences de signe, c^esl-à-dire , dont tous les termes sont po'sitifs, ne peut avoir pour radnes réelles que des nombres négatifs ; car tout combrv positif mis à la place de x , rendrait le premier membre essentiellement positif.

' * ALGÛBE. 16

5i3. Toute ëquatîon complète dont les jtermes sont alternativement positifs et négatifs , c'est-à-dire , qui n^a que des variations de signe , ne peut avoir pour racines réelles que des nombres posiliik; car il est aisé de reconnaître que tout nombre négatif Inis à la place de x dans la proposée, rend tous les termes positifs, si Téquation est de degré pair, et tous les termes négatifs , si Péquation esl de degi*é impair. Donc , dans aucun cas \ la somme des termes ne peut devenir nulle.

Il en est de même de toute équation incomplète, telle que, si Ton y change x en — y^ il en résulte une transformée n'ajrant que des permanences.

De la recherche des racines commensurables,

5i4' Nous observerons d -abord que toute équation dont le premier terme a pour coefficient V unité et dont tous les autres coejjficiens sont des nombres entiers^ ne peut avoir pour raci" nés commensuràhles que des nombres entiers.

•Soit en efict Péquation

dans laquelle P, Q, ..., T, U, sont des nombres entiers, et supposons qu^clle puisse avoir pour racine une fraction commen-

•urable et irréductible — \ nous aurons par conséquent

Multipliant par c"^' et transposant, il viendra — = — Pa'^' — Qca'^ — Trtc^--» — Uc"^.

Or, c étant premier avec â, c est premier avec chacun des facteurs du produit a'^ ^ c ne divisera donc jamais ce produit \ Péquation précédente est donc impossible , puisque le premier membre est une fraction et le second un nombre entier. Ainsi Péquation ne peut avoir pour racine une fraction commensurable et irréductible.

Si 5. Et comme on peut toujours ramener une équation dont les cocfHciens sont des fractions rationnelles, à une autre dont )es coefHciens sont entiers et le premier Punité (49^) i OQ ^^^^

que la recherche des racines commeosurables d^tme équation se réduit à trouver les racines entières de la transformée.

On y parviendra sans doute en remplaçant Tinconnue par tous les nombres enlici*s potitifs ou négatifs, depuis i et — i jusqu^aux limites supérieures + L et — L' (5oo el 5o5) ; car les nombres qui satisferont à Péquation à résoudre seront reconnue racines. Mais on conçoit que ces essais deviendront souvent longs et pénibles ^ et il faut chercher une n^éthode plus expédi* tive et phis facile à pratiquer.

5 16. Pour mieux fixer les idées, considérons Féquation x^ + P:c^+ Qa?' + Ra7' + Sa: + T = 0.

Soit a une de ses racines ; on aura

û^ + Prt^ + Qd' + Ra^ + Sa + T = o ;

a^où î = — S — Rfl — Qa' — Pu'— a^

Le second membre de cette égalité étant un nombre entier |

T il faut que — soit aussi un nombre entier. Ainsi les racines en*

tières d*une équation sont comprises parmi les diviseurs du dernier terme.

Maintenant , passons — S dans le premier membre de la dcr»

nière égalité précédente , et faisons pour abréger — |- S r^ S',

il viendra , en divisant les deux membres par a ,

^r= — R — Qa — Pa* — a%

S' d^où Ton conclut que — doit être un nombre entier.

S' Passant — R dans le premier membre , faisant 1- R szi R'

et divisant de part et d^autre par a , on obtient

--=: — Q — Pij — a^

d'où Ton conclut que — doit être un nombre entier.

R' Transposant — Q , prenant — }- Q zz Q' et divisant par a^

il vient 0/

ainsi — doit être un nombre entier.

Plissant enfin •— P dans le premier membre , et faisant ~ -f* P = P', ou trouve P' = — a

En rapprochant les conditions précédentes^ on verra que pour qu^un nombre entier a , positif ou négatif, soit racine de Péquation proposée, il faut, i^ que ce nombre a soit un des divbeurs du dernier terme ; 2* qu'yen ajoutant au quotient le coe£Bcient de x^ pris avec son signe, la somme soit divisible par a \ 3** qu^en ajoutant au second quotient le coefficient de X*, pris toujours avec son signe , la somme soit divisible par a ; 4* quVn ajoutant au troisième quotient le coefficient de or', la somme soit divisible par à ^ et ainsi de suite. Enfin , qu^en ajoutant le coefficient du second terme de IVquation , au quotient précédent , la somme soit égale au diviseur a , pris en signe contraire.

Tout nombre qui satisfera à ces épreuves réunies, sera racine, ti ceux qui n'y satisferont pas devront être rejetcs.

5i7« De là résulte la méthode suivante, pour déterminer à la fois toutes les racines entières d'une équation donnée :

Après avoir trouvé tous les diviseurs du dernier terme , qui sont compris entre les limites + L et — L', on écrit ces diviseuics sur une même ligne horizontale , et tant avec le signe -fqu'avec le signe — ; on place au-dessous de ces diviseurs les quotiens du dernier terme par chacun d'eux ; on ajoute ensuite à chacun de ces quotiens le coefficient de x , ce qui donne des sommes qu'on écrit au-d^ous des quotiens qui leur correspondent. On divise de même chacune de ces nouvelles sommes par le diviseiu: placé dans la même colonne , et on écrit le quotient sous lé dividende , ayant soin de rejeter les quotiens fractionnaires et les diviseurs qui les ont donnés. On ajoute aussi le coefficient de x*^ et l'on continue le même procédé , en observant que si quelques termes manquaient dant l'équation particulière proposée, on en tiendrait compte, en regardant chacun de leurs coeffîciens comme égal à zéro.

5 18. D'après cette méthode, cherclions les valeurs entières de X dans l'équation

x^ — 5x^ — 6x'+ 4^"^ — 24 ^^ ^' D'abord on observe quïl est inutile d^appHquer le procédé aux diviseurs + 1 et — i , parce qu'on les éprouve plus facile-

ment par leur substitution immédiate dans Pëqtiation proposée : on trouve^ ainsi qu^ils ne satisfont pas à cette équation. Et puis* que X > 1 donne. ^6x > ^4 1 on voit que la limite supérieure des racines positives est la valeur positive de x qui rend nul le trinôme x* — 5a? — 6 ^ celte limite est donc 6. Changeant x en — ^, on verra que la limite supérieure des racines négatives est — (t + 1/^^) ou — 8 (5oi). Ainsi on doit soumettre aux épreuves tous les diviseurs positifs dé ^4 compris entre i et 6 ^ et tous les diviseurs négatifs entre — i et — 8 ; il faut donc.em* ployer les diviseurs a, 3, 4i — ^i — ^t — 4^^ — 6» Void le tableau des calculs où * marque les diviseurs à rejeter :

— la

+ ii

La 1 '* ligne horizontale est celle des diviseurs ; la seconde celle des quoticns du dernier terme -— 24 par chacun des diviseurs ; Ja troisième ligne est celle des quotjens que l'on vient d'obtenir, augmentes du coefficient + 4^ ^^ -*^i ^' '^ quatrième celle des quodcns de ces sommes par les diviseurs correspondans : cette seconde condition exclut les diviseurs 3 et --S. La cinquième ligne est celle des derniers quotiens , augmentés du coefficient — 6 de x', et la sixième celle des quotiens des nouvelles sommes par chacun des diviseurs : cette troisième condition exclut les diviseurs 2 , — 2 et — ^. Enfin la septième ligne est celle des troisièmes quotiens , augmentés du coefficient •— > 5 du second terme de la proposée. Comme alors les deux sommes — • 4 c' + ^ sont respectivement égales aux diviseurs -f- 4 ®' — 3, pris en signes contraires, ces diviseurs sont les seules racines entières de la proposée, et Ton a x = 4ctj: = — 3.

'Divisant x^ — 5x^ — 6x* + 4^^ — ^4 P^ i^ — 4) (-^ + 3) ou par x\ — X — 12 , on aura le quotient exact x* — 4-^ + ^ qui , égalé à zéro , donnera x = 2:±= ^2 pour les deux autres racines de Féqualion proposée.

( a46 ) Sous laissons & ràoudre, diaprés la méthode précédente, let trois équations :

gc^ — 4^' — i6x* -f- 1 1 Sx — 1 5o = o ,

x^ — hj:^-|-3ij:' + 4^' — I28x-|- 1^2 = 0,

x^ — 5;i:'-|-^5x — ai r^io.

519. Lorsque le nombre des diviseurs du dernier terme, qui te trouvent compris entre les limites -)- L et — U, est très-grand, il est fort important de restreindre ce nombre. Or, soit Péquation

x^+Pa/^' + Qx'^H l-Tx+U — o.

%oit a Tune de ses racines, le premier membre sera divisible exactement par x -*-* a , et il viendra Tidentité

Diaprés la loi de formation des coefHciens P', Q', ..., U'(486), ces coeiHcîens sont entiers, avec P, Q,R,-*',U. Gela posé, Pidontité précédente ayant lieu quel que soil x, si Ton j fait x ;= 1 , et qu'ensuite on divise de part et dWtre par a — 1 , on aura

iUhI±^±:i±5 = - (, 4- F + Q' + ... + u').

Le second membre de cette équation est un nombre entier ; donc il en est de même du premier. Ainsi a étant un nombre entier positif ou négatif, ne peut être racine , qu'^autant que a — 1 divise le résultat de la substitution de -{- 1 dans la proposée. On verra de même, en faisant x=: — 1 , que a^x doit diviser le résultat de la substitution dç -* 1 ; d^où résulte la règle que voici 2

Substituez sucoessîi^ement + 1 et — 1 dans la proposée , et soient M et W les deux résultats : i* Tout diviseur positif du 4ernicr terme y qui^ diminué de i, ne divise pas M, ou qm\ augmenté de 1, ne divise pas M', doit être rejeté^ a* Tout di^ viseur négatifs dont la valeur numérique augmentée de 1 , ne divise pas M , et diminuée de i^ ne divise pas M', doit être rejeté,

520, Soit proposé, par exemple, de déterminer les racines fQfières de Téquation ,

^^— ;^:' — Sçx* + 1 38a; + 43a = o-

Il e5t clair que le premier membre de cette équation sera positif pour toutes les valeurs positives de x égales ou plus grandes que celle qui rend nul le trinôme x* — x — 80 ^ la limite supérieure des racines piositives est donc 10. Quant à la limite supérieure des racines négatives, elle est — (i + l/*38)ou — i3w Donc les diviseurs de 432, que Ton doit soumettrez aux épreuves du n' 519, sont : a, 3, 4i ^1 81 9^ — 2, — 3, — 4i — ^« — 8, — 9 et — la.

Substituant -f- 1 et — i au lieu de x ^ dans la proposée , les résultats seront M = 490 =10.7' et M'= 216= a'. 3 . Cela posé , examinons les diviseurs positifs : 9 — 1 ou 8 ne divise pas M = 490 ; ^nsi 9 doit être rejeté : 8 — 1 ou 7 divise M, el 8 -(- 1 ou 9 divise M' = 216 ; donc 8 doit être conservé. On re* jetera 6 et 4i et Ton conservera 3 et 2. A IVgard des diviseurs négatifs, cconme 12 -|- 1 ou 1 3 ne divise pas /\€)0^ 12 doit être rejeté; et il en est de même de 8. Mais 9 doi( être conservé, ainsi que 6 et 4 7 tandis quMl faut rejeter 3 et 2. On voit donc qu^on ne doit soumettre aux épreuves de la méthode du n** 5i8, que les diviseurs 8,3,2, — 4i ""^ ^' — 9- ^® ^^^^^ manière, on trouvera x=z6 et x= — 9; d^où Ton déduit xz=\=t:l/*].

On peut traiter diaprés la méthode que nous venons d^indlquer, les deux équations :

X* — 5x — ^']x*-\' ilS'jx — 36o == o ,

Dans la dernière équation, les limites supérieures sont 1 3 et — 11.

52 1 . On sait maintenant trouver les racines commensurables de toute équation dont les coefliciens sont rationneb, entiers ou fractionnaires. Mais dans ce dernier cas , il faudra d^abord ramener Péquation à n^avoir que des coefficiens entiers, et 1 pour celui du premier terme (49^)* Cependant, si Tinconnue proposée ne doit avoir que des valeurs entières, on n^aura pas à opérer cette transformation, qui a Pinconvcnient de conduire à des coefiidens très-grands \ il suffira d^appliqucr sur-le-champ la mOlhode du n* 5 18; et lorsqu^on sera parvenu à la dernière des conditions, le résultat, au lieu d'être — a^ devra être — ûN, N étant le coefficient dn premier terme.

Ccst ainsi que, dans Téquation &x + 5x*— 33x-|- 18=0, on verra qu'^après avoir ajouté aux derniers quotiens le coeffi-

cient 5 du second leniic , la somme correspondante au diviseur •— 3 , sera -f" >di ou -le produit de -{^ 3 par le coefficient 6 du premier terme \ donc — 3 est une racine entière de réquation proposée, laquelle admet en outre les deux racines fractionnaires

Diaprés ce q«^on vient de dire, il sera ais^ de résoudre les trois pro* bHmcs qui suivent, dans lesquels les inconnues doivent être d^ nombres rniiers positifs :

Quelle est la base x du système de numération dans lequel le nombre cinq cent trcnte-liuit est exprime par les caract4:res (4' 33) T [R. jr=:5.] *

Quelle est la base x du système dans lequel S 1479, 'sy'^lème ddcimal, est représenté par ( 456356 ) , syslèipe cherche' ? [ R. x = 7.]

f^es trois chiffres d^un nombre sont tels, 1* que leur produit fait 54; s* que le chiffre du milieu vaut la sixième partie de la somme "des deux autres; 3° quVn les écrivant dans Tordre inverse, le nombre résoitant surpasse de 59^ le nombre propose'. Quel est ce nombre ? [ R. 933.]

5îî. La recliprche des racines conmiensurablcs sert à trouver, quand cela se peut, la racine n*"* d^une expression telle que a =±= [/b , conune on le voit da'ns les Môlanj^es d\ilgèbre , pages ^8 et suivantes. Pour donner une idée de la méthode que noua avons suivie dans ces Mélanges, et qui est plus simple que celle dont on fait ordinairement usage, proposons -nous d^extraire^ s^il est possible^ la racine cubique de a=i=[/b.

D^abord, puisque le cube de (1 +l/2)|^3 est 2i4-|/45o, on voit que la forme la plus générale de la racine cubique demandée est ap^z, et que par conséquent on a [^(£i=±=[/A)=z: xl/z. Elevant de part et d'autre au cube , puis faisant dispa^ raître le radical carré, il vient a' — 2azx^ + z'a'^= b ; d^où

3 , «* — 4 aa

On peut disposer de rarbitrairc z pour que le second terme du premier membre de celte équation soit uu cube parfait de

la forme ~ ; ce qui se fera en posant

c = — ;;j— 5 d ou il vient X 4- -- zn — .

Faisant j: + ~ = "i puis élevant au cube de part et d'^autie, on aura ^

^ï + 3cx+ - + -,=«% d^où u'3cu-^ = o.

Et comme x-^-^zzu donne x =-;« =t y^u* — c, on voit

que u doit être rationnel ponr que la racine demandée soit posrible. Ainsi on a, pour résoudre le problème 'proposé,

• c = - y(a^ — ^yâ 1 u — Zcu =1 o

et ^az±z^/bz=z (i(i ± ^^^u* — c) \yz.

Par exemple , s'^il faut trouver la racine cubique de 78 —»

J/6075 , on aura a 2= 78 , 5 = 6075 et a' — ^ = 9 ; d'où , en . prenant z n: 3 , on a c =: 1 et u — 3ii — ^ 52 = o. La seule racine commensurable de cette équation étant u=:4i on en condutque 1^(78— 1/6075) = (2 — 1/3) ^3.

On peut chercher la racine cubique de 5a -{- ^^ 1/^3 et celle de 2 -]- 2 [/ — 1 .

.5a3. La méthode des racines commensùrables (5i8) sert aussi à faire connaître combien chacune des racines de cette espèce entre de fois dans Téquation proposée : il suffit pour cela, de diviser le premier membre par le produit des binômes qui proviennent des racines a^ b^ c^ ..., déjà mises en évidence, et de soumettre la nouvelle équation aux épreuves de la méthode ; ou bien, après avoir divbé le premier membre par x — a, on divisera le quotient par x — a , le second quotient par x — a , et ainsi de suite , jusqu'à ce que la di\îsion soit impossible. Par exemple , soit Téquation

X*— - ixr*+ 57^' — iZ^x'* •\- i56x — 72 = 0. »

Cette équation complète n'^ajant que des variations de signes, n'^a point de racines négatives (5i3). La limite des radnes po* sitives est 12; et si Ton soumet Téquation aux épreuves de la méthode (5 18), on aura d'abord les deux radnes x=:a ot x=z 3. Divisant le premier membre par (x — n) (x — 3), il vient pour résultat

équation qui a encore pour racines x = 2 et x= 3. Divisant cette équation par (x — i)(^ — 3), le quotient exact sera x — 2, Donc Téquation proposée peut se mettre sous la forme

On résoudra , d'après cette méthode , les deux équations :

( aSo )

9X*+3ox* + aia:^+ 10x^4- *7^* — aoj: + 4=:o.

Le. procédé que noos venons d^emplojer ne détermine qme les racines égales qui sont rationnelles ; pour obtenir ;aussi les racines égales irrationnelles ou' imaginaires, il faut connaître la recherche du phis grand commun diviseur algébrique , qui va nous occuper.

Du plus grand commun diweur algébrique^

Si^. Dans tout ce qui va suivre nous ne considérerons que des polynômes entiers et rationnels^ c^est-à-dire des polynômes dans lesquels il n^jr a ni divisiohs ni racines indiquées. Ces polynômes ne contiendront par conséquent que des coefHciens entiers et des exposans entiers positifs.

SaS. Lorsqu^en divisant un polynôme par un autre , le quotient est entier^ le premier polynôme est divisible par le second, et le second divise le premier. Ce second polynôme est alors facteur exact ou simplcmcntyizc/eiir de Pautre.